第一章 三角形（单元测试·提升卷）数学鲁教五四制2024版七年级上册

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第一章 三角形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C D B B A C B C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11． 12．3或6 13．3或5.5 14．1 15． 16．①②④⑤ 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2分） （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （4分） 18．（本题7分）(1) 如下图1 （3分） (2) 如下图2 . （4分） 【点睛】本题考查折叠问题，此题要理解折叠的实质是重合，要求学生理解折叠的实质是解题的关键. 19．（本题8分）（1）和是等边三角形， ， ， ； （2分） （2）和是等边三角形， ， ，    ， ； （2分） （3）．理由如下： 延长到，使得，连结CM，BM． 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. ∵， ∴． （4分） 20．（本题8分）（1）如图，即为所求： （3分） （2）如图，取格点，使且，连接交于点，点即为所求： （5分） 21．（本题9分）（1）延长至，使，连接，则． ， ． 平分， ． ， ， ． 设，则， . ∵， ． 在中，， ，解得， ； （4分） （2）∵，且， ， 在BC上截取，连接DF． 平分， ． ， ， ， ， ， ， ， ． （5分） 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义等，构造全等三角形是解题的关键． 22．（本题10分）（1）解：，， ， 平分， ， ， 故答案为：25；； （4分） （2）解：如图所示，即为所求． （6分） 23．（本题11分）（1）解：由题意，当点P在上运动时，； 故答案为：； （1分） （2）由题意，， 此时， ∴； 故答案为：7； （1分） （3）点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：， ①时，则：， ∴， ∴，解得：； ②时，则：， ∴，解得：； ③时，，， ∴，解得：（舍去）； 综上：或； （4分） （4）当点P在上运动时，则：， ∴，， 当时，则：，即：，解得：； 当时，则：，即：，解得：； 综上：或． （5分） 24．（本题13分）（1）证明：， ， 同理， ，， ； （3分） （2）证明：， ． ，， ． ． 是等边三角形． ，． 在上取点，使，连接， 是等边三角形． ，． ． 在和中， ， ． ． ，， ． ； （3分） （3）证明：， ． ． ，，． ． 延长至点，使，连接， 在和中， ， ． ，． ． ， ． 在和中， ． ． ， ． （7分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第一章 三角形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（    ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 2．如图，中，三条中线相交于点，若的面积是36，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，三角形纸片中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论：    ①平分； ②； ③若，，，则的周长为7； ④； ⑤若平分与交于点，当时，．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，用尺规作出，所作痕迹（    ）    A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 5．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(    )． A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．∠A=∠1+∠2 D．∠A=2∠1+2∠2 6．如图，在中，，，是的一条中线．已知的面积为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 7．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为 （   ） A． B． C． D． 8．“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C． 求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA． 作法：如图（2）， （1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E； （2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C； （3）作射线CC． 所以∠CCA就是所求作的角 此作图的依据中不含有（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线 9．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是 ． 12．如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP= 时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等． 13．如图，长方形中，，，E为的中点．动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当 时，的面积等于． 14．如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ． 15．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ． 16．一副三角板如图摆放，点F是 45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当 30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点 M， N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN 长度的最小值为 2；④四边形CMFN的面积保持不变； ⑤△CMN面积的最大值为 2．其中正确的个数是 .（填写序号）. 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）已知的三边长分别为． (1)化简：；（2分） (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状．（4分） 18．（本题7分）在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合： (1)三个三角形是全等的直角三角形．（3分） (2)三个三角形均为等腰三角形． 分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度．（4分） 19．（本题8分）如图，在等边中，点D、E分别是、上的点，，连结与交于点O，以为一边作等边． (1)若，试求的度数；（2分） (2)连结，求证：；（2分） (3)若点G是的中点，连结、，试判断与有什么数量关系？并说明理由．（4分） 20．（本题8分）如图是由的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为，的三个顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图①中，作出的高；（3分） (2)在图②中，边上找到一点，使．（5分） 21．（本题9分）如图，在中，，是的角平分线. (1)当时，求的度数；（4分） (2)当时，求证：.（5分） 22．（本题10分）如图1，，，平分 (1)______，______；（4分） (2)尺规作图：如图2，以点O'为顶点，射线为边作，使（不写作法，保留作图痕迹）．（6分） 23．（本题11分）如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示）（1分） (2)当点P运动到中点时，求线段的长；（1分） (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值；（4分） (4)当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值．（5分） 24．（本题13分）如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：；（3分） (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：；（3分） (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度．（7分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第一章 三角形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（    ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】B 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念． 2．如图，中，三条中线相交于点，若的面积是36，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的面积，根据三角形的中线得出，，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，再根据三角形的面积公式求出即可，熟知上述知识是解此题的关键． 【详解】解：中，三条中线，，相交于点， ，， ， ， 故选：D． 3．如图，三角形纸片中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论：    ①平分； ②； ③若，，，则的周长为7； ④； ⑤若平分与交于点，当时，．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，可知∠BDC=∠BED，BC=BE,DE=DC,可判断①③正确，再由三角形的面积计算公式可判断④正确，再根据角平分线的性质及三角形的内角和定理可判断⑤正确.用逆推的方法可判断②错误，从而得到正确的结果. 【详解】解：∵三角形纸片中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为， ∴∠BDC=∠BED，∠ABD=∠CBD，∠BED=∠C，BC=BE,DE=DC, ∴平分； 故①正确； 假设，则 ∵∠ADE+∠CDE=180°，； ∴∠ABC+∠CDE=180°， ∵∠ABC+∠CDE+∠BED+∠C =360°， ∴∠BED+∠C =180°， ∵∠BED=∠C， ∴∠BED=∠C=90°， 而题中并没有已知∠C=90°，故假设不成立. 故②错误； ∵，， ∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2. ∵AD+DE=AD+DC=AC=5. ∴的周长=AE+AD+DE=2+5=7； 故③正确； 如图，过点D作DF⊥AB于F，则 ∵ , ∴ ∵BC=BE, ∴ ∵ ∴； 故④正确；    ∵平分与交于点，∠ABD=∠CBD， ∴∠BCI+∠CBI= = ∵, ∴. ∴∠BCI+∠CBI=65°， ∵∠BCI+∠CBI+∠BIC=180°， ∴∠BIC=115°， 故⑤正确； 综上所述，①③④⑤正确，故正确的个数有4个. 故选C. 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质，求两个三角形面积比时作出辅助线，进行转化是解题的关键. 4．如图，用尺规作出，所作痕迹（    ）    A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【分析】根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可． 【详解】解：作的作法，由图可知， ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线、于点，； ②以点为圆心，以为半径画弧，交射线于点； ③以点为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，作射线即可得出，则． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答本题的关键． 5．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(    )． A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．∠A=∠1+∠2 D．∠A=2∠1+2∠2 【答案】B 【分析】过点D、E分别作反向延长线交于A’点，设值，根据折叠的性质、三角形的内角和定理及平角的定义即可得出两者的关系. 【详解】 设∠A’ED＝x，∠A’DE＝y， ∵△ABC纸片沿DE折叠， ∴∠AED＝x，∠ADE＝y， ∵∠A’＋x＋y＝180，∠2＋2x＝180， ∠1＋2y＝180， ∴∠2＋∠1＋2（180－∠A）＝2×180， ∴∠2＋∠1－2∠A＝0， 2∠A＝∠1＋∠2. 故选B. 【点睛】本题考查了折叠问题和三角形内角和定理，熟练掌握翻折变换和三角形的内角和定理是本题解题的关键. 6．如图，在中，，，是的一条中线．已知的面积为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，根据三角形的中线可得的面积的面积，再根据已知，可得的面积的面积，然后根据，可得的面积的面积，最后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是的一条中线，的面积为， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积的面积， 故选：B． 7．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，可得△ABC是等边三角形，然后证明△PFD≌△QCD，推出DE=AC，即可得出结果. 【详解】过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE=． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形是关键. 8．“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C． 求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA． 作法：如图（2）， （1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E； （2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C； （3）作射线CC． 所以∠CCA就是所求作的角 此作图的依据中不含有（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可． 【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确； 结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确； 作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断． 9．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【详解】解：如图，连接、，设的面积为，    ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键． 10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断． 【详解】在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE＝（∠A+∠B）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 又∵∠ABP＝∠FBP， BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． 在△APH和△FPD中， ∵∠APH＝∠FPD＝90°， ∠PAH＝∠BAP＝∠BFP， PA＝PF， ∴△APH≌△FPD， ∴AH＝FD， 又∵AB＝FB， ∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确． 连接HD，ED． ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故④不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积，根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解： 由题意得：，，， ， 的边上的高为，， ， 故答案为：． 12．如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP= 时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等． 【答案】3或6 【分析】AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，分别利用HL定理进行判定即可． 【详解】AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等， 理由是：∵，AQ⊥AC， ∴ ①当AP=3=BC时， 在Rt△ACB和Rt△QAP中 ∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)； ②当AP=6=AC时， 在Rt△ACB和Rt△PAQ中 ∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)， 故答案为3或6 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，注意分类讨论思想在解题中的应用. 13．如图，长方形中，，，E为的中点．动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当 时，的面积等于． 【答案】3或5.5 【分析】本题考查了三角形的面积计算，一元一次方程的应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分三种情况讨论：①分P在上；②P在上；③P在上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴． 分三种情况讨论： ①当P在上时， ∵， ∴， 解得：； ②当P在上时． ， ∴，， ∵的面积等于， ∴， ∴， 解得：； ③当P在上时， 则， ∴， ， ∵ ∴， 解得：． ∵当时，点P在上， ∴不合题意，舍去． 综上所述，当或时，的面积等于． 故答案为：3或． 14．如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ． 【答案】1 【详解】连接CO，如图所示： ∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点， ∴CO=AO，∠A=∠OCB=45°，且∠AOC=90°， ∵∠DOE=90°， ∴∠AOD+∠DOC=∠DOC+∠COE=90°， ∴∠AOD=∠COE， 在△ADO和△COE中 ∴△ADO≌△COE（ASA）， ∴AD=CE， ∴CD+CE=CD+AD=AC=1， 故答案是：1． 15．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】过C作的延长线于点F，由条件可证，得到．再由条件，由，由全等的性质可得，问题可得解． 【详解】证明：如图， 过C作的延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵cm，cm， ∴， ∴cm， ∴cm． 故答案为：3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为： 是解决问题的关键． 16．一副三角板如图摆放，点F是 45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当 30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点 M， N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN 长度的最小值为 2；④四边形CMFN的面积保持不变； ⑤△CMN面积的最大值为 2．其中正确的个数是 .（填写序号）. 【答案】①②④⑤ 【分析】利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可． 【详解】解：①连接CF， ∵F为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°， ∴AF=BF=CF，CF⊥AB， ∴∠AFM+∠CFM=90°． ∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°， ∴∠AFM=∠CFN． 同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°， ∴∠A=∠FCN， 在△AMF与△CNF中， ∴△AMF≌△CNF（ASA）， ∴MF=NF． 故①正确； ∴②∵F是AB中点，△ABC是等腰直角三角形， , 当M，N分别是AC，BC中点时，, CF=MN，故正确； ③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为，故③错误； ④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CMFN是正方形． ∵△AMF≌△CNF， ∴S△AMF=S△CNF ∴S四边形CDFE=S△AFC． 故④正确； ⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当FM最小时，FN也最小； 即当DF⊥AC时，FM最小，此时， ， 当△CMN面积最大时，此时△FMN的面积最小． 此时S△CMN=S四边形CMFN-S△FMN=S△AFC-S△FMN=4-2=2， 故⑤正确． 【点睛】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题． 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2分） （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （4分） 18．（本题7分）在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合： (1)三个三角形是全等的直角三角形． (2)三个三角形均为等腰三角形． 分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度． 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【分析】先将点C对折到点E，将对折后的纸片再沿DE对折.此题要理解折叠的实质是重合，根据重合可以得到BC＝BE，AD＝BD，∠DBE＝∠DAE＝30°，∠BDE＝∠ADE＝60°，∠AED＝∠BED＝90°. 【详解】(1) 如下图1 （3分） (2) 如下图2 . （4分） 【点睛】本题考查折叠问题，此题要理解折叠的实质是重合，要求学生理解折叠的实质是解题的关键. 19．（本题8分）如图，在等边中，点D、E分别是、上的点，，连结与交于点O，以为一边作等边． (1)若，试求的度数； (2)连结，求证：； (3)若点G是的中点，连结、，试判断与有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键． 对于（1），根据等边三角形的内角都等于，再计算即可； 对于（2），结合等边三角形的性质，并根据证明即可； 对于（3），延长OG到，使得，连结CM，BM，先根据证明，结合证明，可得答案． 【详解】（1）和是等边三角形， ， ， ； （2分） （2）和是等边三角形， ， ，    ， ； （2分） （3）．理由如下： 延长到，使得，连结CM，BM． 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. ∵， ∴． （4分） 20．（本题8分）如图是由的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为，的三个顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图①中，作出的高； (2)在图②中，边上找到一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，三角形的高，等腰直角三角形，熟练掌握三角形的高的定义和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形高的定义画图即可； （2）结合等腰直角三角形的判定与性质，取格点，使且，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求： （3分） （2）如图，取格点，使且，连接交于点，点即为所求： （5分） 21．（本题9分）如图，在中，，是的角平分线. (1)当时，求的度数； (2)当时，求证：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1），延长至，使，连接，则，再证明 ，可得，设，则，可表示，及，然后根据三角形内角和定理得出答案； （2），求出，再截取，可证明，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）延长至，使，连接，则． ， ． 平分， ． ， ， ． 设，则， . ∵， ． 在中，， ，解得， ； （4分） （2）∵，且， ， 在BC上截取，连接DF． 平分， ． ， ， ， ， ， ， ， ． （5分） 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义等，构造全等三角形是解题的关键． 22．（本题10分）如图1，，，平分 (1)______，______； (2)尺规作图：如图2，以点O'为顶点，射线为边作，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)25；； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图-基本作图，角的计算，角平分线的定义，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据可求出，由角平分线的定义求出，然后根据求解即可； （2）根据作一个角等于已知角的作法作出图形即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 故答案为：25；； （4分） （2）解：如图所示，即为所求． （6分） 23．（本题11分）如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值； (4)当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值． 【答案】(1) (2)7 (3)2， (4)和 【分析】本题考查列代数式，与三角形的高有关的计算，一元一次方程的应用，正确的列出方程和代数式，是解题的关键： （1）用的长减去点的路程，列出代数式即可； （2）求出点运动的时间，进而求出点的路程，利用线段的和差关系，进行求解即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可； （4）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，当点P在上运动时，； 故答案为：； （1分） （2）由题意，， 此时， ∴； 故答案为：7； （1分） （3）点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：， ①时，则：， ∴， ∴，解得：； ②时，则：， ∴，解得：； ③时，，， ∴，解得：（舍去）； 综上：或； （4分） （4）当点P在上运动时，则：， ∴，， 当时，则：，即：，解得：； 当时，则：，即：，解得：； 综上：或． （5分） 24．（本题13分）如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键； （1）根据，得到，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论； （2）根据，，进一步证明是等边三角形，在上取点，使，连接，证明是等边三角形．证明，即可证明； （3）根据，，进一步证明，延长至点，使，连接，，得出，同理，，． 【详解】（1）证明：， ， 同理， ，， ； （3分） （2）证明：， ． ，， ． ． 是等边三角形． ，． 在上取点，使，连接， 是等边三角形． ，． ． 在和中， ， ． ． ，， ． ； （3分） （3）证明：， ． ． ，，． ． 延长至点，使，连接， 在和中， ， ． ，． ． ， ． 在和中， ． ． ， ． （5分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第一章 三角形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（    ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 2．如图，中，三条中线相交于点，若的面积是36，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，三角形纸片中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论：    ①平分； ②； ③若，，，则的周长为7； ④； ⑤若平分与交于点，当时，．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，用尺规作出，所作痕迹（    ）    A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 5．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(    )． A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．∠A=∠1+∠2 D．∠A=2∠1+2∠2 6．如图，在中，，，是的一条中线．已知的面积为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 7．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为 （   ） A． B． C． D． 8．“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C． 求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA． 作法：如图（2）， （1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E； （2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C； （3）作射线CC． 所以∠CCA就是所求作的角 此作图的依据中不含有（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线 9．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是 ． 12．如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP= 时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等． 13．如图，长方形中，，，E为的中点．动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当 时，的面积等于． 14．如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ． 15．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ． 16．一副三角板如图摆放，点F是 45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当 30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点 M， N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN 长度的最小值为 2；④四边形CMFN的面积保持不变； ⑤△CMN面积的最大值为 2．其中正确的个数是 .（填写序号）. 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）已知的三边长分别为． (1)化简：；（2分） (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状．（4分） 18．（本题7分）在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合： (1)三个三角形是全等的直角三角形．（3分） (2)三个三角形均为等腰三角形． 分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度．（4分） 19．（本题8分）如图，在等边中，点D、E分别是、上的点，，连结与交于点O，以为一边作等边． (1)若，试求的度数；（2分） (2)连结，求证：；（2分） (3)若点G是的中点，连结、，试判断与有什么数量关系？并说明理由．（4分） 20．（本题8分）如图是由的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为，的三个顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图①中，作出的高；（3分） (2)在图②中，边上找到一点，使．（5分） 21．（本题9分）如图，在中，，是的角平分线. (1)当时，求的度数；（4分） (2)当时，求证：.（5分） 22．（本题10分）如图1，，，平分 (1)______，______；（4分） (2)尺规作图：如图2，以点O'为顶点，射线为边作，使（不写作法，保留作图痕迹）．（6分） 23．（本题11分）如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示）（1分） (2)当点P运动到中点时，求线段的长；（1分） (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值；（4分） (4)当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值．（5分） 24．（本题13分）如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：；（3分） (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：；（3分） (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度．（7分） ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$