专题15：锐角三角函数-2026年中考数学一轮专项练习

专题15：锐角三角函数-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 2．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点D在伞柄上，，则的长度可表示为（     ） A． B． C． D． 6．如图，中，直径于点，为上一点，交于点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将扇形沿射线方向平移得到扇形，点D为的中点，， 当点D的对应点落在上时， 阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 9．如图，在中，，，是等边三角形．如图，将四边形折叠，使D与C重合，为折痕，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 11．如图，正五边形的中心为，连接交对角线于点，则的值为 （参考数据：取）． 12．如图①是广西传统“干栏式”民居，是壮族最具标志性的民居形式，是壮族先民适应自然生存智慧的集中体现，其屋顶可看作等腰三角形（如图②），其中，若是的中点，，，则的长约为 m．（结果保留整数，参考数据：） 13．甲乙两人约好一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线的长为，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是 ．（精确到，参考数据：） 14．在网格中，每个单位小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点都在格点上，则的值是 ． 15．如图，两扇相同的窗户从关闭状态（），向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米，，则点之间的距离是 ．（参考数据：） 16．在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传，现在也深受儿童的喜爱．如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为，当摆角为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为．则座板距地面的最大高度为 ． 17．如图所示为一张矩形纸片，E为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点若，则的值是 ． 18．如图，点为边长为6的正方形的边的中点，点是边上一点，交于点，连接，，当最小时， ． 三、解答题 19．计算： 20．图1为水平放置在地面上的穿衣镜，其支架形状固定不变，镜面可任意角度调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的水平收纳架，支架为水平地面，经测量得． (1)求支架顶点A到地面的距离； (2)如图3，将镜面顺时针旋转，求此时穿衣镜顶部端点O到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：） 21．如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 22．如图，，点分别是射线上的点，连接，以为边在右侧作矩形，已知．是的外接圆． (1)使用直尺和圆规画出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的半径长； (3)直接写出点间的最大距离． 23．如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 24．【问题背景】 如图1，在矩形中，对角线与交于点O，且，，将沿方向平移，得到，分别与，交于点H，M，交于点． 【问题探究】 （1）如图1，在平移过程中，始终有，请证明该结论． （2）如图1，在平移过程中，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【问题创新】 （3）如图2，在平移过程中，当点E与点O重合时，将绕点O顺时针旋转，此时边交于点P，边交于点Q，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题15：锐角三角函数-2026年中考数学一轮专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A C C D C C A D 1．B 【分析】本题考查方向角，根据方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， ∵一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上， ∴由图可得，这艘渔船的大致位置可以在点处． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了矩形与折叠，垂直平分线性质，解直角三角形，勾股定理，连接交于点，设，则，由矩形性质可得，则，然后证明，垂直平分，所以，，，然后通过勾股定理求出，，最后由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点，设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点，分别落在点，处， ∴点与点关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据勾股定理可得的长，再根据正切的定义即可得答案． 【详解】解：由勾股定理，得， ∴． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接交于点G，根据已知易得四边形是菱形，然后利用菱形的性质可得，，平分，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：连接交于点G， ， 四边形是菱形， ，，平分， ， 在中，， ， 故选D． 6．C 【分析】如图，过B作于点F，连接，由题易得，设，则，然后解直角三角形可得、易得，在中运用勾股定理了可得，进而求出直径为，延长交于点D，连接，利用勾股定理求出，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图，过B作于点F，连接， ∵， ∴由垂径定理可知， ∵为直径， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴， 在中，， ∴ 如图：延长交于点D，连接， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．C 【分析】连接，过点 作于点H，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出，再根据三角函数求出，最后根据，求出结果即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点 作于点H， 由平移的性质可知，，点为的中点，，， ，， ， ， 在等腰中，， ， ． 【点睛】本题考查了平移的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解直角三角形，根据题意作出辅助线是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 9．D 【分析】设，由含角的直角三角形的性质和勾股定理求得的值，再由等边三角形的性质证得，然后由折叠的性质知，设，由勾股定理求出的长，最后由锐角三角函数的定义即可得出结果． 【详解】解：设， ∵中，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 10． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 11． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，正五边形的性质，等腰三角形的性质与判定，根据正五边形的性质得到，，进而可得，，解得到，解得到，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点． 五边形是正五边形， ∴，， ∴，， ∴， 在中，． 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用及等腰三角形性质，先求出，再解求出结论即可． 【详解】解：，若是的中点，， ， 在中，， ， ， 故答案为：2． 13． 【分析】本题考查了解直角三角形——特殊角的三角函数的应用，解题关键是能利用三角函数值求出角，以及利用特殊角的三角函数值求出线段的长． 先求出，在求出，最后利用特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．2 【分析】解法一：标注正方形，连结．由网格用勾股定理可得，，从而得到，则，． 解法二：标注正方形，连结．由网格可得，，可得，则，进而可得，． 【详解】解：标注正方形，连接．由网格可知： 解法一： 在中，， ． 在中，， ． 在中，， ． ． ，． 解法二： 在与中，，， ． ， ，． 【点睛】网格中，求格点生成的角的三角函数值问题的通解为：先利用勾股定理求出格点线段长，再用割补法求出格点三角形的面积，然后作格点生成角的一边上的高，利用面积法求出格点三角形的高，最后利用锐角三角函数求得结论． 15．米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于点，于点，可得四边形是矩形，即得，解直角三角形得米，进而根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵米，， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 故答案为：米． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：，， 在中，， ，， 在中，为， ， ， 座板距地面的最大高度为， 故答案为：． 17． 【分析】连接，四边形是矩形，E为的中点，得，，，由折叠得，，，，，，因为的延长线过点C，所以，根据“”证明，得，则，可证明，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，由题意可得：，，，， 由折叠得，，， ，，， 的延长线过点C， ， 在和中， ， ， ， ， ， . ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 18．2 【分析】过点作于点，将平移至，连接，证明，则，由勾股定理求得，则最小值即为的最小值，由平移性质可得四边形为平行四边形，则，，由，得到点三点共线时，取得最小值，即为，可得为等腰直角三角形，设，由，得到，根据，求出，则，，则． 【详解】解：过点作于点，将平移至，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴最小值即为的最小值 由平移可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线时，取得最小值，即为，如图： ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键在于转化思想的运用． 19． 【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值．利用有理数的乘法计算，化简绝对值，代入特殊角的三角函数计算，计算负整数指数幂，最后进行加减法即可． 【详解】解： 20．(1)架顶点到地面的距离约为 (2)此时穿衣镜顶部端点O到地面的距离约为 【分析】（1）过点A作于I，根据线段的和差关系求出，再根据直角三角形的边角关系即可求出的长度； （2）过点O作于G，过点A作于H．根据等边对等角，三角形内角和定理，旋转的性质求出，根据矩形的判定和性质求出的长度，根据平行线的性质，角的和差关系求出，根据三角函数求出的长度，再根据线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于I， ， ， ， ， ， ， 答：支架顶点到地面的距离约为； （2）解：如下图所示，过点O作于G，过点A作于H， ， ， ∵镜面顺时针旋转，即， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 答：此时穿衣镜顶部端点O到地面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用、等边对等角、三角形内角和定理、角的和差关系、矩形的判定和性质、平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题关键． 21．(1)28.7米 (2)10人 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）过点作于点D，如图，，可得四边形为矩形，在中，（米），由此即可求解； （2）根据题意，在中，（米），在中，（米），则（米），结合题意即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点D，如图，， 地面，地面， 四边形为矩形， 米，米， 在中，（米）， （米）， 即建筑物的高度为米； （2）解：由题意，，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （人）， 行人在斑马线上一横排并排行走的人数最多为10人． 22．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别作出和的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点，即为圆心O的位置； （2）连接，，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质求出，解直角三角形得出，即可得出答案； （3）过点G作交的延长线于点H，连接、、，解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据，得出当A、O、G三点共线时，最大，且最大值为． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求作的点； （2）解：连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径长为； （3）解：矩形中，，， 过点G作交的延长线于点H，连接、、，如图所示： 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴当A、O、G三点共线时，最大，且最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，两点之间线段最短，尺规作垂线，三角形的外心，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 24．（1）证明见解析；（2）四边形是菱形，理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，连接，根据平移的性质得到且，求得，，得到，根据矩形的性质得到，求得，得到，于是得到； （2）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形．根据三角函数的定义得到，求得，得到，求得，根据菱形的判定定理得到结论； （3）如图2，过点O分别作，，垂足分别为M，，根据旋转的性质得到，求得，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 将沿方向平移，得到， 且， 四边形是平行四边形，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （3）如图2，过点O分别作，，垂足分别为M，，由旋转，得， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ，即， 解得， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$