专题14：相似-2026年中考数学一轮专项练习

专题14：相似-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．如图，，补充下列条件之一，不一定能判定的是(   ) A． B． C． D． 2．如图，．若，则的对应角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 5．将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（ ） A．1 B．3 C． D． 7．如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形连结并延长，交于点，交于点连结，，若要求出的面积，只需知道（ ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 9．如图，矩形的顶点O在坐标原点，A点坐标为，C点坐标为，若矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 10．如图，中，，有三个正方形、、，它们分别是、和的内接正方形，，，则第三个正方形的边长的长（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则 ． 12．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为 ．（结果保留根号） 13．如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是 ． 14．如果说秋天有颜色，那一定是枫叶红，奇妙的大自然其实也蕴含着许多数学知识，如同校园里一片飘落的枫叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，是一片枫叶的轮廓图，点为的黄金分割点，若，则的长度为 ． 15．在菱形中，，在上分别有一点，连接交于点，若，，则的值为 ． 16．如图，是等腰直角三角形，，．点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则的最小值是 ． 17．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 18．如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 三、解答题 19．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 20．路灯是城市基础设施的重要组成部分，承担着夜间照明、安全保障和智慧城市功能集成等责任．酷爱数学的嘉嘉想利用数学知识测量灯臂和灯杆的长度．如图是某路灯的示意图，灯杆与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆的两侧（灯臂，近似看作线段，且），直线与水平地面平行．嘉嘉站在路灯前方的点处时，观测到点，在同一条直线上，且测得米．他又向后移动3米到达点，此时观测到点，恰好在同一条直线上，且测得点的仰角为．已知米．（图中所有点在同一平面内） (1)判断的形状，并说明理由； (2)求灯臂的长和灯杆的高． 21．在中，，D是延长线上一点，过点D作，垂足为E，延长交于点F，且，连接． (1)如图1，已知平分，求证：； (2)如图2，已知． ①求的值； ②若，求的长． 22．如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 23．在中，点从点出发，沿着边进行运动．已知点的运动速度为每秒1个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)如图1，若． ①的长为_____，的长为_____； ②在点运动的过程中，若线段时，求的值． (2)在（1）的条件下，当点在边上运动时，连接，如图2． ①尺规作图：过点作的垂线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； ②当时，求的值． (3)如图3，若是平面内的一个动点，以为底边的等腰三角形的顶角为，连接，直接写出的最大值． 24．和等腰按如图所示摆放（点C与点E重合），点、（E）、F在同一条直线上，，，，等腰的底边，底边上的高为．从图1的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点P从的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，如图2所示，当点P移动到点A时，停止移动，与相交于点Q，连接，设移动时间为． (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题14：相似-2026年中考数学一轮专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C D D C D D D 1．C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故A不符合题意； B、由得到，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故B不符合题意； C、两三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故C符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等． 利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查运用平行线分线段成比例定理，解题关键是由平行线得到对应边成比例求解． 根据平行对应边成比例列出等式，代入已知边的长度，求出． 【详解】解：∵， ，即， 解得：， 故选：． 4．C 【分析】由矩形的性质得，，，设与交于点，由翻折的性质得，，，，分两种情况讨论如下：①当时，过点作于，则，设，则，，由勾股定理得：，证，得，即，由此解出即可；②当时，则，则，由勾股定理求出，证，得，即，由此求出即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点． 5．D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查三角形的面积、平移的性质，掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平移的性质、相似三角形的判定与性质计算即可． 【详解】解：沿边平移到的位置， ， ， ， ， ， 故选：D． 7．C 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 8．D 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，理解全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点作于点，设，，，依题意得，，，，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，，则，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，再证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，进而得，据此即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 设，，， 依题意得：，，，，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 若要求出的面积，只需知道的面积即可． 故选：D． 9．D 【分析】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．由矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形与矩形的位似比为，又由点B的坐标为，即可求得答案． 【详解】解：矩形的顶点O在坐标原点，，， 可得：， 矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， 点B的对应点的坐标是：或 故选：D 10．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正方形的性质，得到是解题的关键．先由相似三角形的判定可得，再由相似三角形的性质可得，然后将已知条件代入，即可求得的长度． 【详解】解：∵正方形、、， ∴，，，， ， ， ∴， 设正方形的边长为， ∴，，， ∴， 解得， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了比例的性质，利用了分子分母交叉相乘得出与的关系是解题关键．根据比例的性质，可得与的关系，即可求解． 【详解】解：由比例的性质，得． ， 故答案为： 12． 【分析】本题考查了黄金分割. 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（）， ， ∴ ， ∴的长为 ， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．连接，先利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴能夹衣物的最大厚度是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割比为，即可求解． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点，， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】解法一：连接交于点K，过点K作于点H，设，则，，结合菱形的性质可得均为等边三角形，从而得到，根据，可得，设，从而得到，，再由直角三角形的性质，可得，，从而得到，然后在中，利用勾股定理可得，根据，可得，再证明，可得到，从而得到，即可求解． 解法二：由解法一可得：，，可得，，可得，进一步可得答案. 【详解】解法一：如图，连接交于点K，过点K作于点H， ∵， ∴可设，则， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解法二：由解法一可得：，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；理解菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 16． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，点与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，构造辅助圆，证明点在上运动，利用点与圆的位置关系求出线段的最小值是解决问题的难点． 以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，证明点在弧上运动，得当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后求出线段的长即可 【详解】解：以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形，，， ，， 由勾股定理得：， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 点在上运动， ∵等腰，， ∴ 当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值是， 故答案为：． 17．2秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 18．①④ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．证明，推出，再由直角三角形斜边中线的性质求得，推出，可得到，故①正确；证明，由正切函数的定义可判断②错误；由平行线的性质求得，即可求得，故③错误；证明，推出，再等量代换即可证明故④正确． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形， ∴，即， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴，故③错误； ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 20．(1)是等边三角形，理由见解析 (2)（米），米 【分析】题目主要考查等边三角形的判定，解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点作于点，根据等边三角形的判定证明即可； （2）根据题意得出四边形、四边形和四边形都是矩形，再由含30度角的直角三角形的性质及解三角形得出米，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 理由如下：如图，过点作于点． 由题意，得， ． 又， 是等边三角形． （2）， 点在同一条直线上， 四边形、四边形和四边形都是矩形， 米，米，米， （米）． ， ． ， ． 设米，则米， （米）． ， （米）， （米）， 米． ， ， ， 即， 或（舍去）， （米），米． 21．(1)见解析； (2)①；②． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，根据垂直的定义得到； （2）①设，则．根据勾股定理即可得到结论； ②由①得，设，则．根据勾股定理得到．求得．如图，过点作于点，则．根据全等三角形的性质得到．根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：①∵， ， 设，则． 在 中，， ， 设，则， ， 解得，即， ， ②由①得， 设，则． ， ， ， 如图，过点作于点，则． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，， 即， 解得（舍），， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．(1)点在线段上，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可得出结论； （2）由（1）易得，证明，推出，根据在中，，在中，，即可证明结论； （3）延长交的延长线于点，连接，证明，推出，易证，得到，再证明，推出，由（1）知，设，则，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点在线段上，理由如下： 如解①，连接， ∵四边形是正方形，点是正方形的中心， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即点在线段上； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴在中，，在中，， ∴； （3）解：如图②，延长交的延长线于点，连接， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 由（1）知， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，构造三角形全等和相似是解题的关键． 23．(1)①10，6；的值为4或16 (2)①作图见解析；②的值为5 (3)的最大值为 【分析】（1）①解直角三角形可得，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案；②当点D在上时，可得，则；当点D与点C重合时，则； （2）①根据垂线的尺规作图方法作图即可；②由相似三角形的性质得到，则，进而得到；过点E作于F，过点C作于G，证明，得到，利用等面积法可得，则，；设，解直角三角形可得，则，解方程即可得到答案； （3）将线段绕点M逆时针旋转120度得到线段，连接，可证明，得到，过点M作于H，可求出，则，故当有最大值时，有最大值；根据，得到当C、A、N三点共线时，有最大值，最大值为5；由三线合一定理可得，即的最大值为，则的最大值为． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴可设， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②当点D在上时，当时，则， ∴； 当点D与点C重合时，则； 综上所述，t的值为4或16； （2）解：①如图所示，即为所求； ②∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点E作于F，过点C作于G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将线段绕点M逆时针旋转120度得到线段，连接， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 如图所示，过点M作于H，， ∵， ∴， ∴， ∴当有最大值时，有最大值； ∵， ∴当C、A、N三点共线时，有最大值，最大值为5； ∵，， ∴，即的最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三线合一定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 24．(1) (2) 【分析】（1）过点D作，垂足为点，根据三线合一得到，在中，根据勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，则，然后利用线段垂直平分线得到，然后列方程求解即可； （2）过点作，垂足为点，证明，利用相似三角形的性质求得，根据求解即可． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为点， ， 又，， ， 在中，根据勾股定理，得， 即，， 由题意可得：，，，， 则， ，， ， ， ， ， ， 点A在线段的垂直平分线上， ， ，解之得：， 当t为时，点A在线段的垂直平分线上； （2）解：过点作，垂足为点， ， 又， ， ， ， ， ， ，又， 与t之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查平移性质、等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$