专题13：圆-2026年中考数学一轮专项练习

专题13：圆-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的直径，、是的弦，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．在圆内接四边形中，的度数之比为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，为的直径，点C、D在圆上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，直径为10的经过原点和点是y轴右侧上一点，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 10．如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都错 D．甲、乙都对 二、填空题 11．已知的半径为4，，则点A在 （填“内”、“上”或“外”）． 12．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 13．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 14．如图，正六边形的边长为，边，与相切于点C，F，连接，则的长为 ． 15．如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为 ． 16．如图，在中，，，现平面内有一点D，使得，连接，，若，，则点A到的距离为 ．    17．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则（1） ，（2）图中阴影部分的面积是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 三、解答题 19．如图，内接于，是的直径，点为延长线上的点，连接，，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 20．如图， 内接于，是的直径，平分交于点D，连接，过点C作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．如图，，是半圆O的切线，切点分别为，，为半圆O的直径．与的延长线交于点E，连结，． (1)求证：． (2)若，，，请你思考后，从，，三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案： ①方案中你选用的已知数是_______． ②写出求解过程（结果用字母表示）． 22．如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 23．如图1~图3，是半圆O的直径，且，是半圆O的弦（点M，N可分别与点A，B重合），将半圆O沿直线翻折．     (1)当点N与点B重合，且时，如图1． ①求劣弧的长； ②当半圆O沿直线翻折后，劣弧是否经过圆心O？__________（填“是”或“否”）； (2)当时，如图2，过点O作，垂足为点P，折叠后的劣弧恰好经过的中点Q，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点C，且点C是半径的中点，如图3，求折痕的长； (4)若折叠后的劣弧始终与直径相切，设，直接写出d的取值范围． 24．已知AB为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，． (1)如图1，当C为的三等分点，且时， ． (2)如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围． (3)如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得． ①求的值； ②连接，记，直接写出d的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题13：圆-2026年中考数学一轮专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D A C B B D D 1．B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：的长为：， 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先求得，然后由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形的对角互补成为解题的关键．设的度数分别为，由圆内接四边形对角互补可得，即：，解得：；然后求得的度数即可． 【详解】解：设的度数分别为， ∵圆内接四边形 ∴，即：，解得：． ∴． 故选B． 4．D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 5．A 【分析】本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得出、，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、求余弦值等知识点．正确作出辅助线、构造等边三角形成为解题的关键． 如图：连接，由圆的概念以及坐标与图形可得，即是等边三角形可得，再根据圆周角定理可得，最后根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵直径为10的经过原点和点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选C． 7．B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查方向角、圆周角以及正多边形和圆，掌握正八边形的性质，方向角、圆周角的定义是正确解答的关键．根据正八边形与圆的性质以及圆周角、方向角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、、， ∴正八边形的中心角为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点位于点的北偏东． 故选：D． 10．D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、的圆周角所对的弦是直径、弧长计算，由，那么点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上，点O与点E不会重合，即点E不可能落在上；从点E在点C位置开始，点，运动路径的长度为以点A为圆心，分别以，为半径的弧长，且与转过的角度相等，那么点，运动路径的长度比始终保持与一致，据此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：， ∴， ∴点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上， ∴点O与点E不会重合，即点E不可能落在上，故甲对； 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 从点E在点C位置开始，点运动路径的长度为以点A为圆心，分别以为半径的弧长，且与转过的角度相等， ∵， ∴点运动路径的长度比始终为，故乙对； 故选：D． 11．外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点A在外， 故答案为：外． 12．或 【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 【详解】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 连接，取的中点，连接，点是正六边形的中心，进而证明是等边三角形，求出圆的半径，利用切线求出，进而可得，，再由扇形面积公式即可求出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接， ∵六边形是正六边形， ∴点是正六边形的中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 的长为. 故答案为：． 15． 【分析】连结、，如图，先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据圆周角定理得到，接着根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理计算出的度数． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质． 【详解】解：连结、，如图， 四边形内接于， ， ， ， 、为的切线， ，， ， ， ． 故答案为：． 16．或 【分析】本题主要考查了四点共圆、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点．分点D在上方和下方两种情况，通过作辅助线发现四点共圆、构造全等三角形，利用等腰直角三角形的性质推出长度关系即可解答． 【详解】解：①当点D在上方，如图所示，过A作交干点H，在上取点P，使，    ∵， ∴A点、D点都在以为直径的圆周上，即A、B、C、D四点共圆， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴'； ②当点D在下方，如图所示：过A作交干点H，在上取点P，使，    ∵， ∴A点、D点都在以为直径的圆周上，即A、B、C、D四点共圆， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴'． 综上所述，点A到距离为或． 故答案为：或． 17． 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内切圆，所以、，则，再根据三角形的内角和定理求解即可； （2）设与分别相切于点D、F、E，连接，可证明四边形是正方形，由，，求得，再证、、，推导出，则，所以的半径长为2，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）， ， 是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ． 故答案为： （2）设与分别相切于点D、F、E，连接， ，， ， 四边形是矩形， ∵是的内切圆， ∴平分，， ， 同理可证：， ， 四边形是正方形， ，，， ， ，，， ， ， 的半径长为2， ． 故答案为： 18．/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 19．(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,切线的判定与性质、圆周角定理和解直角三角形． （1）先根据圆周角定理得到，，再根据等量代换得到，所以，则，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用得到，再在中利用正切的定义求出，接着证明，则可判断，利用相似比求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， 即， ， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：， ， 在中， ， ， 为的直径， ， ， ∥， ， ， ， 即， 解得， ． 20．(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据“直径所对的圆周角等于”可得，根据切线的性质可得，进而可得，又由可得． （2）由平分和圆周角定理可得，，进一步可得，再证，则可得，求出的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， 即， ∵是的切线， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：连接, ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题关键． 21．(1)见解析 (2)①a，b（答案不唯一）②见解析 【分析】（1）是半圆O的切线的性质知，，又由于，公共边，由判定； （2）方案一：选用，在中用勾股定理得； 方案二：选用，在中用勾股定理得：； 方案三：选用，在得：； 方案四：选用，由连接，可证，得． 【详解】（1）证明：，是半圆O的切线， ， ，， ； （2）①方案中选用的已知数是，(答案不唯一)． ②方案一：选用， 在中，由勾股定理，得， ， ； 方案二：选用， 分别切半圆于点， ，， 在中，，，，且， 即， 解得：（舍负值）； 方案三：选用， 分别切半圆于点， ，， ， 又， ， ， 即， 解得：（舍负值）； 方案四：选用， 如图，连接， 分别切半圆于点， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了切线的概念，切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理及全等三角形的判定等知识点的综合运用，解题的关键是掌握以上知识点． 22．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 23．(1)①；②是 (2) (3) (4) 【分析】（1）①连接，根据，，得到，，根据弧长公式求劣弧的长即可； ②设点O的对称点为W，如图，与得交点为R，则， 由，故，根据折叠的等距性质，得，解答即可； （2）设与圆的交点为T，根据折叠的性质，得，结合折叠后的劣弧恰好经过的中点Q，得到，故，利用勾股定理，正切函数的定义解答即可； （3）设折叠圆弧所在的圆的圆心为，连接，设与的交点为H，根据折叠的性质，得，，，利用勾股定理，垂径定理解答即可． （4）分类解答即可． 【详解】（1）①解：连接， ∵，， ∴，， ∴劣弧， 故答案为：； ②解：当半圆O沿直线翻折后，设点O的对称点为W，如图，与的交点为R，则， 由， 故， 根据折叠的等距性质，得， 故，等于圆的半径， 故点W一定圆上， 故劣弧是经过点W的， 故答案为：是． （2）解：设与圆的交点为T， ∵，， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵折叠后的劣弧恰好经过的中点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为， 连接，设与的交点为H， 根据折叠的性质，得，， ， ∵点C是半径的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为， 根据题意，当点N 与点B重合，点M是的中点时，切点为B，此时取得最小值， 根据折叠的性质，，， ∴四边形是正方形， ∴； 当， 且恰好经过的中点K时，取得最大值， 根据折叠性质，垂径定理，得 ∴， ∴， ∴， 故． 【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键． 24．(1)2 (2)， (3)①；② 【分析】（1）利用同高的两个三角形之间的面积关系可得答案； （2）如图1，过点作于点，作于点，则，证明，可得，设点到的距离为，可得，即，进一步可得答案； （3）①根据题意可知，．如图2，连接，证明，结合，证明，进一步可得结论； ②如图2，取的中点，连接，过点作于点，由①可知，，求解，在中，，求解，，，结合，可得答案. 【详解】（1）解：∵当C为的三等分点，且时， ∴， ∴； （2）解：如图1，过点作于点，作于点，则． 由旋转，得． 是的直径， ， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 设点到的距离为， 则， ，即． ， 的取值范围是． （3）解：①根据题意可知，． 如图2，连接， 是的直径， ， ， ∵， 在和中，， ， ，； ②如图2，取的中点，连接，过点作于点， 由①可知，， ． 在中，， ，， 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$