专题11：三角形-2026年中考数学一轮专项练习

专题11：三角形-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．如图，的度数可能是(    ) A． B． C． D． 2．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知，△中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断△是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 4．如图，在矩形中，，以点为圆心，以长为半径作弧，交于点，连接．若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 5．如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 7．如图，在中，，，的平分线交于点，过点作的延长线，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶，图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点、分别为伞骨、的中点，伞圈为伞柄上可移动的点，四边形为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，，当油纸伞缩拢到图②的程度时，．若，则伞圈下滑的距离的长度为    A．4 B． C． D． 二、填空题 10．如图是由两个直角三角板摆放得到的图形，图中的度数为 ． 11．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则 ． 12．如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为 ． 13．如图，点P是长方形边上的一个动点，从A点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是．当运动时间t为或时，点P均满足，则的长为 ． 14．如图，在四边形中，，，，，则 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，，以为边在第一象限作正方形，则点的坐标为 ． 16．如图，在中，，点为斜边上的一个动点，过分别作于点，作于点，连接，则线段的最小值为 ． 17．如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 18．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点O，连结，，过点C作，交的延长线于点F，连结．若，，则四边形的面积为 ． 三、解答题 19．如图，点，在上，，，，，交于点．求证：． 20．如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 21．如图，在和中，，，，连接、交于点O，与交于点M，与交于点N． (1)试判断、之间的关系，并说明理由； (2)连接、，若，求的值． 22．如图，在等边△中，，射线，点从点出发沿射线以的速度向右运动，同时点从点出发沿射线以的速度向右运动，设点运动的时间为． (1)当点在线段上运动时， 　　 ，当点在线段的延长线上运动时， 　　（请用含的式子表示）； (2)在整个运动过程中，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使，两点间的距离最小，若存在，求出此时△的面积；若不存在，请说明理由． 23．如图，矩形，延长至点E，使，与交于点O，点F、G在直线上（F，A，D，G依次排列），连接、，． (1)求证：； (2)若四边形为矩形，，求证：． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象，与一次函数的图象交于点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴上有一点，连接MP． (1)求点A，B的坐标及直线的函数解析式； (2)点E为直线上一点，且横坐标为a，过点E作x轴的垂线交于点F， ①求的面积S与a的关系式； ②当时，的面积等于的面积，求出点M的坐标． (3)若，以为边向下作正方形． ①用含m的式子分别表示点N，点G的坐标； ②连接，若落在四边形的内部（含边上），直接写出m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题11：三角形-2026年中考数学一轮专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D D A A C D C B 1．B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．连接，由三角形的外角性质得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴的度数可能是． 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 3．D 【详解】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各选项是否满足直角三角形条件，判断哪个选项不能确定为直角三角形． 【分析】A． 由变形得，符合勾股定理逆定理，说明，能判断为直角三角形． B． 三边，，满足，符合勾股定理逆定理，能判断为直角三角形． C． 由及三角形内角和，可得，即，能判断为直角三角形． D． 设，，，则，解得，三个角分别为、、，均为锐角，无法构成直角三角形． 故选：D． 4．A 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，先由勾股定理求出，证明和全等得，，进而得，由作图可知，根据得，继而得，设，，则，，，在和中，由勾股定理得出，进而求得，然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，如图所示： ， 四边形是矩形，且，， ，，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 由，得：， ， 由作图可知：， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 设，， 则， ，， ， 在和中，由勾股定理得：， ， ， ， 即， ， 解得： ， 在中，由勾股定理得： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，尺规作图，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理构造方程组是解决问题的关键． 5．A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，进而得到半圆面积即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，在图中构造合适的辅助线是解题的关键．如图所示过点E作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度． 【详解】解：如图所示：过点E作， ∵，， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，于F， ∴， ∴， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明 是解题的关键．由等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可求，故①正确；进而可得，故②正确；由“”可证，可得，，可证是等腰直角三角形，故③正确；由等腰三角形的性质可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， 又， ， 故①正确； ， ， ，故②正确； ， ， ， ， 在和中， ，， 是等腰直角三角形，故③正确； ，， ， ， 故④正确， 正确的个数为4个， 故选：D. 8．C 【分析】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出，且，是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质得，，，而、分别为边、的中点，则，，则四边形是平行四边形，所以，可判断①正确；由，得，则，所以四边形是菱形，可判断②正确；由，交的延长线于点，得，则四边形是平行四边形，而，所以四边形是矩形，可判断③正确；设，，则，求得，则，所以，则四边形：：：，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 9．B 【分析】此题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地求出线段AD的长度及线段AD1的长度是解题的关键．在图①中，由菱形的性质得，，因为，所以，则是等边三角形，所以，在图②中，设、交于点，则，由，，证明是等边三角形，则，所以，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图①，四边形是菱形，， ，， ， 是等边三角形， ， 如图②，设菱形的对角线、交于点，则，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 10．/15度 【分析】本题考查三角板中的角度计算，三角形外角的性质，如图可得，然后将角的度数代入计算即可．解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】解：∵如图是由两个直角三角板摆放得到的图形， ∴， ∴， 即图中的度数为． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查矩形的折叠问题和求角的正切值，先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ∴， 在中，， 设，则， ∴，， 在中， 根据勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，推出当时，四边形周长的最小是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，得到，再推出四边形周长，然后求出的最小值即可． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形周长 ， 四边形周长最小时，只要最小即可， 过点O作交于点，交于点，如图， 此时的最小值为，四边形周长的最小值， ， 由勾股定理，得， ， ， 四边形周长的最小值， 故答案为： 13．12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 利用“到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，确定点位置，再证明，得，运用勾股定理列式，代入数值得，求解得出的长度． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 连接 则长方形中的垂直平分线是过、交点, 依题意，运动时间时，在上，； 依题意时，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在中，， 即， ∴， 解得． 故答案为：12． 14．4 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质．连接，先判定是等边三角形，是直角三角形，再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，如图． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：4． 15． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握辅助线的作法是解题的关键． 过点作轴于点，证出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，则，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 16． 【分析】本题考查动点最值问题点线模型，涉及矩形的判定与性质、点到直线距离的最小值、勾股定理及等面积法求线段长等知识，熟练掌握矩形判定与性质、点到直线距离最值是解决问题的关键． 先由矩形的判定与性质，将线段的最小值转化为线段的最小值，再由点到直线距离中垂线段最短，过作，如图所示，再利用勾股定理求出长，最后利用等面积法求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， 四边形是矩形， ， 点为斜边上的一个动点， 线段的最小值为线段的最小值，由点到直线的距离中垂线段最短，过作，如图所示： 在中，， ∴， 由等面积法可得，即， 解得， 故答案为：． 17．/ 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．由折叠可得，，利用三角形的外角性质与三角形内角和定理可求得的度数，的度数，从而可求解． 【详解】解：由折叠知：，． ， ． ， ， ， ． ． 故答案为：． 18．24 【分析】根据平行线的性质可得，根据垂直平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行四边形的判定和菱形的判定可推得四边形为菱形，根据勾股定理求得，根据菱形的性质即可求得四边形的面积． 【详解】∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵，，， ∴平行四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故菱形的面积为， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 19．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由可证，可得，即可求解． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ， ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟悉相关定理的应用是解题的关键． （1）先求出，利用等角对等边得到，再根据三线合一得到即可； （2）根据条件可得是的垂直平分线，则有，利用即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是的平分线， ， ， ， 是的中点， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．(1)且 (2)2024 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）利用证明，得，，根据，得，即，即可得； （2）连接，，在中，，则，在中，，则，在中，，则在中，则，即可得，根据即可得． 【详解】（1）解：且，理由如下： ∵， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 且； （2）解：如图所示，连接，， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， ， 即， ， ． 22．(1)， (2)或6 (3)存在， 【分析】（1）根据路程，速度，时间的关系解决问题即可； （2）根据，构建方程解决问题即可； （3）当时，的值最小，此时．由此构建方程求解． 【详解】（1）解：当点在线段上运动时，，当点在线段的延长线上运动时，． 故答案为：，； （2）解：当时，满足条件， 可得或， 或6； （3）解：当时，的值最小，此时． ， ． ， ， 点到的距离为， 此时△的面积． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质． （1）先根据矩形的性质证明，，从而证明，得到，进而求出答案即可； （2）根据（1）中所证条件证明，求出，设，则，在和中，由勾股定理求出，，，再根据平行线分线段成比例定理求出和，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：如图，和交于点M， 由（1）可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．(1)，， (2)①；②或 (3)①，；② 【分析】（1）将代入，可求函数的解析式；再由一次函数上点的坐标特点求、即可； （2）①过点作交于点，过点作轴的垂线交于点，分别求出、点坐标，可得，，当时，，当时，，分别求出△的面积即可； ②过点作轴交轴于点，当时，由①可得，则，根据面积求出，再求点或； （3）①过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作轴交于点，可证明△△，从而求出，同理可证△△，求出； ②确定△在四边形内部的临界点：当点在直线上时，当点在直线上时，当点在轴上时，再求的范围即可． 【详解】（1）解：将代入， ， 解得， ； 当时，， ， 当时，， ； （2）解：①过点作交于点， 点为直线上一点，且横坐标为， ， 过点作轴的垂线交于点， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ， ； ②过点作轴交轴于点， 当时，由①可得， ， ， ， 解得， 或， 点或； （3）解：过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作轴交于点， 四边形为正方形， ，， 轴，轴， ， ，， ， ， ，， 由题意可知，， ，， ， 同理可证， ； ②当点在直线上时，， 解得， 当点在直线上时，， 解得； 当点在轴上时，， 解得； 时，落在四边形的内部（含边上）． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，此题属一次函数与几何综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$