专题10：相交线与平行线-2026年中考数学一轮专项练习

专题10：相交线与平行线-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．下列命题中的真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．若a，b满足，则 D．同位角相等 2．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象．如图，一个平面镜与桌面夹角为，点光源C在上，从点C射出一束光线(入射光线)，经平面镜点D处反射的光线恰好与平行，则的度数为（   ） A．56° B．66° C．68° D．72° 3．如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 4．下列四个图中都有 ， 不能由此判定 的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点在直线上，射线平分．若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是（     ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 8．如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则（   ） A． B． C． D． 9．以下四个说法中：在同一直线上的点、、、只能表示出条不同的线段；若，则点是的中点；两条直线相交所成的四个角中，如果其中有一个角是直角，那么其余三个角也一定相等；在同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有相交和平行；经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 11．如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则 12．如图，直线，相交于点O，且，若，则的度数为 ． 13．甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是 ． 14．如图，，平分，若的周长为，，则 ． 15．如图，，点G、F分别在、上，平分交AB于点E，，则 ． 16．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则应 （填“调大”或“调小”） 度． 17．如图，点在反比例函数的图象上，作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点，连接，如果，则的面积为 ． 18．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，，，且，当与三角板的一条直角边（边或）平行时，则满足条件的t的值为 ． 三、解答题 19．如图，直线、分别与、相交，已知，，． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求的度数． 20．如图，已知．请用尺规作图法，在内求作一点，使点到的距离相等，且点到点的距离最短．（保留作图痕迹，不写作法） 21．如图，，与，交于点，，平分，，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点（已知）， （ ） （已知）， （ ） （已知）， （ ） ， 平分（已知） ______（ ） 22．图1是小明同学的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是__________． (2)如图3，根据小明的思路求和的度数． (3)小明在解题中发现，和的度数永远是相等的，与和的度数无关．请结合图3说明理由． 23．如图，的两边分别与的两边平行，即，． (1)在图1中，射线与同向，与也同向；在图2中，射线与异向，与也异向；在图3中，射线与同向，与异向． 请问：在上述三种情况下，与的关系怎样？请结合三个图分别进行说明． (2)根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是______． (3)在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若和的两边分别平行，其中比的2倍少，求和的度数． 24．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题10：相交线与平行线-2026年中考数学一轮专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B B D C D C 1．B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，垂线段最短，绝对值的意义，平行线的性质，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；由垂线段最短可判断B；根据绝对值的意义可判断C；根据平行线的性质可判断D． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、垂线段最短，原命题是真命题，符合题意； C、若a，b满足，则，原命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，作出辅助线DF⊥AO、构造直角三角形中解决问题是关键． 如图，过点D作交于点F．由物理知识可得，再根据平行线的性质以及等量代换可得，在中，可得，即，最后运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点F． ∵入射角等于反射角， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴，即， 在中，． 故选 C． 3．B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法分别判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，，； B、和是同位角，，； C、和是同位角，但不是、被一条直线所截，故不能判定； D、如图，，，，； 故选：C． 5．B 【分析】此题主要考查了角平分线定义和邻补角的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．首先根据邻补角的性质可得的度数，再根据角平分线定义可得． 【详解】∵， ∴ ∵平分， ∴ 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等．根据对顶角相等即可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ， ． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，熟练掌握这几个定义是解题的关键．根据对顶角、邻补角、同旁内角、内错角的定义判断即可． 【详解】解：A、与是邻补角，说法正确，故此选项不符合题意； B、与是对顶角，说法正确，故此选项不符合题意； C、与是同旁内角，说法正确，故此选项不符合题意； D、与不是内错角，说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 8．C 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，进而得出． 【详解】解：如图，延长到点， 纸带对边互相平行，， ， ， ， 由折叠可得，， ， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了线段的定义，线段中点的定义，两直线的位置关系，垂线的性质，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．逐一分析各说法的正确性． 【详解】解：①：同一直线上4点可组成线段数为组合数条，而非5条，故①错误； ②：仅说明B到A、C距离相等，但B未必在线段上，故②错误； ③：两直线相交成直角，根据邻补角和对顶角性质，其余三角均为直角，故③正确； ④：平面内不重合直线仅相交或平行，故④正确； ⑤：严格来说，若未限定平面，空间中则过该点有无数条直线与已知直线垂直；故⑤错误； 综上，错误的说法为①②⑤． 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，，， ∴， ∵，，°， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 11．58 【分析】根据平行线的性质得到，由折叠的性质知，，则，进一步得到，即可得到的度数． 本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，本题的解题关键是找出纸条对折后的角度关系，据此即可得出答案． 【详解】解：如图，延长AB得到射线AG， ， ， 由折叠的性质知，， ， ， ， ， ， 故答案为： 12． 【分析】本题主要考查了垂线的定义和对顶角相等的知识，正确得出的度数是解题关键．直接利用垂直的定义，再结合对顶角的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等．根据对顶角相等解答即可求解． 【详解】解：根据题意得：与是对顶角， ∴（对顶角相等）， 即这个方案的依据是对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 14． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义证明，则． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的有关计算． 由，根据“两直线平行，内错角相等”得到，求得的度数，再根据角平分线的定义得到，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到 【详解】解：， ， ， 平分， ， 而， 故答案是： 16． 调小 10 【分析】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键． 连接，在中，求出，然后在中，求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴应调小； 故答案为：调小，10． 17． 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线间的距离，连接，由轴，则轴，所以，，然后通过即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数的图象上，线段交反比例函数的图象于点， ∴，， ∵， ∴ ， 故答案为：． 18．15或60 【分析】当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，，，如图1， 当时，延长交于点P， ①在上方时， ，，， ， ， ， ， ， 即 解得； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， ； ， （舍去，不符合题意） 当时，延长交于点I， 在上方时，， ，， ， ， ， ， ，即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ，即， （不符合题意，舍去）， 综上，所有满足条件的t的值为15或60， 故答案为：15或60． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19．(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． （1）根据，，得出，根据平行线的判定定理进行判断即可； （2）根据，由两直线平行，内错角相等，直接得出答案即可． 【详解】（1）解：． 理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴． 20．见解析 【分析】本题考查尺规基本作图-作角平分线、过直线外一点作直线的垂线，熟练掌握尺规基本作图和解平分线的性质，垂线段最短是解题的关键． 作的平分线，再过点C作 垂足为D即可． 【详解】解：如图所示：点D即为所求． ∵是的平分线， ∴点到的距离相等， ∵， 根据垂线段最短可得点到点的距离最短． 21．对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义 【分析】利用对顶角相等和等量代换得到，由得到，则，由平分即可得到 此题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键 【详解】解：与交于点（已知）， （对顶角相等）， （已知）， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 平分（已知）， （角平分线的定义）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义． 22．(1)平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及平行公理及推论，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的推论即可得出答案； （2）平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解； （3）根据平行线的性质及角的和差及等量代换，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，     ∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行） 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；（或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 23．(1)或，理由见解析 (2)相等或互补 (3)或， 【分析】（1）根据题意，由易得，结合图形，再得到或，即可得到结果； （2）根据（1）的计算得到结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补； （3）由题意得到或，，求得和度数即可． 本题考查了平行线的性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 【详解】（1）解：如图1，， ， ， ， ； 如图2，， ， ， ， ； 如图3，， ， ， ， ； （2）或， 结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补； （3）和的两边分别平行， 或， 比的2倍少， ， 或， 或， 或， 答：或， 24．(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$