专题08：二次函数-2026年中考数学一轮专项练习

专题08：二次函数-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列抛物线的顶点为的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 5．抛物线如图所示，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在平面直角坐标系中，将抛物线（a、c为常数，且）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线，点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．抛物线与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在与之间，点B的横坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 9．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 10．如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．二次函数的部分对应值如下表所示： 3 4 12 0 则当时，的取值范围为 ． 12．已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则 ． 13．已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 14．直线与抛物线的交点坐标是 ， ． 15．新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 16．定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离．若，，则 ．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为 ． 17．投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为 m． 18．如图，直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），若在抛物线L上存在定点P使，则点P到直线的最大距离为 ． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求的最大值． 20．已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 21．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的表达式与直线的表达式； (2)已知点在直线上方，当的面积最大时，求点的坐标． 22．某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下： 单位面积产量（单位：亩）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 种植成本（单位：万元）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 销售价格：万元． (1)求总产量w与种植面积x的函数关系式； (2)求总产量为时的种植面积总产量单位面积产量种植面积； (3)求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）． 23．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 24．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，D为第一象限抛物线上一点，连接交于点T，若，求点D的横坐标； (3)平移抛物线使它的顶点在原点，如图2，过点P的两直线，（均不与y轴平行）分别与抛物线有唯一公共点E，F，交y轴于点G，连接交抛物线于另一点Q，若轴，试探究线段与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题08：二次函数-2026年中考数学一轮专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A B B A C A B 1．C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的顶点式形式，顶点坐标为时，函数表达式为，题目要求顶点为，即，，代入即可确定正确选项. 【详解】解：二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为， 题目中顶点为，即，， 代入顶点式得：， 观察选项： A：，顶点为，不符合； B：，顶点为，不符合； C：，顶点为，符合； D：，顶点为，不符合； 故选：C 4．A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 5．B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标，结合等式、不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，因此， 对称轴为，因此a、b异号，所以， 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，因此， 所以， 因此①是正确的； 由于对称轴为，即， 所以， 因此③不正确； 设抛物线与x轴两个交点坐标为，， 由图象可知，而对称轴为，根据对称性可知，， 所以当时，，又， 所以， 即， 因此②是正确； 当时，，即， 所以④不正确； 综上所述，正确的结论有①②，错误的结论有③④， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．先根据抛物线平移规律求出抛物线的表达式，进而得出其对称轴，再结合判断抛物线的开口方向，最后根据点A、B的位置和函数值大小关系确定m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线（a、c为常数，且）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵将抛物线（a、c为常数，且）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，则．由图象可知，当时，即，进而可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵点A的横坐标在与之间，点B的横坐标在0与1之间， ∴， ∴，故排除B、C选项； 由图象可知，当时，， ∴， ∴b，c的取值可能是，． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 9．A 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，用含m的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后再消去参数m是解题的关键． 用含m的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后消去m即可得到所求抛物线的解析式． 【详解】解：∵的顶点坐标是， 设， ∴， ∴所求抛物线的解析式为：． 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 11． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴，开口方向以及与x轴的交点坐标，当时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围． 【详解】解：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线， ∴，在此二次函数的图象上， ∵，， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴二次函数的图象开口向上，且与x轴的交点为，， ∴当时，x的取值范围为． 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程，由一元二次方程根的判别式可得，再利用二次函数解析式可得，点到轴的距离为，由为直角三角形，点关于对称轴对称，可得为等腰直角三角形，即得，列出方程解答即可求解，由二次函数的性质判断出为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∵抛物线， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，顶点的纵坐标为， ∴，点到轴的距离为， ∵为直角三角形，点关于对称轴对称， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线相同即可确定a的值，从而求出解析式． 【详解】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 14． 【分析】本题考查一次函数图象和抛物线的交点问题，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两函数的交点坐标． 【详解】解：联立两函数的解析式有：，解方程组，得或； 则直线与抛物线的交点坐标是，． 故答案为：，． 15． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．根据是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，，将，代入解方程组得到由，，两式相减得：，求得，得到“偶点”在直线上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线与抛物线在内有交点，将代入抛物线方程得得到，，这是一个函数，对称轴为直线，当时，当时，当时，求得在的最小值为，最大值为，于是得到结论． 【详解】解：已知是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，， 将，代入可得：， 解得或， ，当时，，不符合条件，舍去， 由，，两式相减得：， ， 即， ， ，即， “偶点”在直线上， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在内有交点， 联立得：， 整理得， ，，这是一个二次函数，对称轴为直线， 当时，； 当时，， 当时，； 在的最小值为，最大值为， 的取值范围 故答案为：；． 16． 8 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的两点之间的距离，二次函数的极值，二次函数与一次函数的交点问题， 先根据定义解答①；再根据两个图象没有交点求出b的取值范围，然后说明当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1，接下来根据二次函数的性质讨论最小值，并求出答案． 【详解】解：根据题意，得； ∵抛物线与直线没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， 解得． 设点， ∴． ∵抛物线与直线没有交点，且的最小值是1， ∴当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1， ∴． 当时，， 解得或（舍去）． 所以． 故答案为：8；． 17．0.3 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可． 【详解】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得，     解得， ∴y与x之间的函数表达式为， 当时，， 即的长为， 故答案为：0.3． 18． 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，设点的横坐标分别为，从条件出发，可构造k型相似，从而得到的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点P的坐标．由于直线上有一个定点C，容易得到长就是点P到的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图1，过点P作x轴的平行线，作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，， ，． ． ，， ． ． 设点的横坐标分别为， 则点的纵坐标分别为、、， ，，，． ， ． ． ，， ， 去分母并整理得：． 点是直线：与抛物线交点， 、是方程，即两根． ，． ，即． ． ，（舍）． 定点的坐标为． 直线， 当时，， 直线有定点； 如图 2，过点作轴的平行线，过点作，垂足为， 点，点， ，． ， ． 过点作，垂足为，如图2所示， ． ． 当与重合即时，点到直线的距离最大，最大值为． 点到直线的最大距离为． 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）将二次函数化为顶点式即可； （2）将二次函数化为顶点式可得出其顶点为，得出，．根据图象经过点，即得出，从而可求出，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，该二次函数为：， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵该函数图象经过点， ∴，即． ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且． 20．(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②利用抛物线的对称性求得c的值，然后把A的坐标代入解析式即可求得m的值； （2）点代入解析式，然后通过化简计算得出b关于a的表达式，进而证明． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； ②∵点，都在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵点落在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．(1)，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）设交点式，再化为一般式得到，则求出得到二次函数解析式，接着确定点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （）过点作轴交于点，如图，设，则，所以，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴二次函数解析式为， ∴， ， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时点坐标为． 22．(1) (2)12亩 (3)400万元 【分析】（1）依据题意，由单位面积产量单位：亩与种植面积单位：亩的关系为：，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，由总产量为，则可令，进而计算可以得解； （3）依据题意，设总利润为Q，则，进而可得当时，Q有最大值，最大值为400，故可判断得解． 【详解】（1）由题意，单位面积产量单位：亩与种植面积单位：亩的关系为：， ； （2）由题意，总产量为， 令， 答：总产量为时的种植面积为12亩； （3）由题意，设总利润为Q， ， 当时，Q有最大值，最大值为万元， 答：该科研机构种植这种药材能获的最大利润为400万元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 23．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可； （2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可； （3）设点P的坐标为，表示，，然后分为为斜边，为斜边或为斜边三种情况，利用勾股定理求出m的值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A在负半轴， ∴点A的左边为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接， 则， 又∵，， ∴， ∴, 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴点C，N，B共线， ∴当时，最小为， 这时， ∴， ∴， 解得，（负值舍去） 即的最小值为． （3）解：， ∵， ∴对称轴为直线， 设点P的坐标为， 则，， ①当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为或； ②当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为； ③当为斜边时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 24．(1) (2)点D的横坐标为 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，可证得∽，利用相似三角形性质建立方程求解即可； （3）设E、F的横坐标分别为m，n，分别得出直线、的解析式，可得点G的坐标，联立求得点P的横坐标，进而得出点Q的坐标，再运用待定系数法可得出直线的解析式，求得点G的坐标，建立方程求解可得，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N，利用相似三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得：， 抛物线经过点， ， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得：，， ，， ，， ， 在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，如图1， 则， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ，即， ， ， 设，则，， ， 解得：舍去或， 点D的横坐标为； （3）解：平移抛物线使它的顶点在原点， 新抛物线的解析式为， 设E、F的横坐标分别为m，n，直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 直线与抛物线有唯一公共点E， ，， ，， 直线的解析式为， 当时，， ， 同理可得：直线的解析式为， 联立得：， 解得：， 即点P的横坐标为， 轴， 点Q的横坐标为， ， 又， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 点P的横坐标为， 如图2，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N， 则，， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系的应用，平移变换的性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$