专题04：一元一次方程与一元二次方程-2026年中考数学一轮专项练习

专题04：一元一次方程与一元二次方程-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．用配方法解一元二次方程，下列变形结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知四边形是菱形，其两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．－1 B． C． D．1 4．《周髀算经》是我国现存最早的数理天文学著作，书中记载了一种用于观测星辰位置的圭表，已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺．嘉嘉根据题意，设圭的长度为尺，列出方程，淇淇根据题意，设表的长度为尺，列出方程，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉错误、淇淇正确 C．嘉嘉正确、淇淇错误 D．嘉嘉、淇淇都错误 5．甲，乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．若骑行后，乙恰好骑行在甲的前面，则的值是（   ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 6．某工厂计划生产一批口罩，原计划每天生产10000个，由于疫情形势变化，实际每天生产的数量比原计划增加20%，结果提前5天完成生产任务．设原计划生产x个口罩，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之” ，题意：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，列方程是（　　） A． B． C． D． 8．作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程的解是，；的解是，；的解是，；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于x的方程的解是，．并尝试解关于x的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D． 二、填空题 9．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．那么这个多边形的边数为 ． 10．有一旅客带行李从西安到广州，按民航规定，旅客最多可免费携带行李，超过部分每千克按飞机票价的购买行李票，已知该旅客购买的行李票为198元，则他的飞机票价为 元． 11．已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 12．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 13．已知关于t的一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． 14．在中考前，班级每位同学向其他同学赠送件纪念品，结果共有互赠纪念品件，求该班级的学生数，设该班的学生有人，那么可列出方程 ． 15．若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 16．孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”------《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为 ，大象的重量为 ． 三、解答题 17．解方程： 18．先化简，再求值：化简，其中x满足方程． 19．中国剪纸艺术是一种古老的民间艺术形式，以其镂空的艺术手法和独特的视觉效果而闻名．张阿姨裁剪了A、B两种剪纸作品共8个，共用了1 500平方厘米的彩纸．已知裁剪1个A种剪纸作品需要用300平方厘米彩纸，裁剪1个B种剪纸作品需要用150平方厘米彩纸，那么张阿姨裁剪了多少个A种剪纸作品？ 20．某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一处观测点A，米，在B处有一架测量无人机，观测点A到无人机B的距离米，在点A处用测角仪测得无人机B的仰角为，，且，在点B处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为，且，点A，B，C，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点B到水平地面的距离； (2)求“春笋大厦”的高度． 21．今年冬季，为了让学生们更好地体验冰雪快乐，某学校新开设了滑冰选修活动课，现需要购买一批滑冰鞋，已知两家商场A，B分别推出了自己的优惠方案： A商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过20双，超过部分按每双标价的八折出售； B商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过15双，超过部分按每双标价的九折出售，然后每双再优惠10元． 若用字母x表示购买滑冰鞋的数量，字母y表示购买的总价，其函数图象如图所示． (1)分别写出选择购买A，B两家商场滑冰鞋的总价y与数量x之间的函数关系式； (2)当时，两函数图象交于点M，请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义； (3)根据图象直接写出选择哪家商场更划算． 22．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某自行车专卖店的自行车销售量自2014年底起逐月增加，据统计，该专卖店1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，则该自行车专卖店4月份卖出______辆自行车． (2)若该自行车专卖店，A型车的进价为500元/辆，B型车进价为1000元/辆．如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 12辆 8辆 18800元 第二周 20辆 10辆 27000元 ①A型号的自行车的销售单价为______，B型号的自行车的销售单价为______； ②考虑到自行车需求不断增加，该自行车专卖店准备用不超过25万的金额再进购一批两种规格的自行车共300辆，求B型号最多能购多少辆． 23．阅读下列材料，解答问题． 【背景】为建设宜居宜业和美乡村，某乡镇筹集资金2000万元，准备购买污水处理设备，分别安装在10个村专门设置的场地，用于处理排放的污水，经办人员了解到如下信息． 【信息】①市场上有甲、乙两种污水处理设备，每套乙种设备价格比甲种高； ②用360万元恰好可以购买3套甲种设备和1套乙种设备； ③安装1套甲种设备需占地，1套乙种设备需占地； ④安装污水处理设备前期准备工程的费用不少于总资金的． 【解答问题】 (1)甲、乙两种污水处理设备每套的价格分别是多少万元？ (2)若每个村需要2套污水处理设备，求该乡镇安装污水处理设备总占地面积的最小值． 24．下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法．请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务． 【阅读材料】 解方程：． 小颖同学的解法：将原方程变形，得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． 【用以致学】 请运用小颖同学的解法解下列方程： （1）； （2）． 【总结感悟】 （3）若在用小颖的方法解关于的方程（，，是常数）时，可将其变形为（也是常数），则_____，_____．（用含的式子表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题04：一元一次方程与一元二次方程-2026年中考数学一轮专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D A C A D B 1．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式与根的情况的关系． 要判断一元二次方程根的情况，需计算判别式的值．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． 【详解】对于方程，系数分别为，，， 判别式， 计算得：， 由于，因此方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方可得，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握相关基本知识，用转化的思想思考问题． 根据题意，令一元二次方程的根的判别式，构建方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∵ ∴ ∴， 即， 解得． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意，分别分析嘉嘉和淇淇所列方程的正确性。嘉嘉设圭的长度为x尺，则表的长度为尺，两者之和为，符合题意；淇淇设表的长度为y尺，则圭的长度为尺，两者之和为，同样符合题意，因此两人均正确. 【详解】解：嘉嘉的方程：设圭的长度为尺，则表的长度为尺， 根据题意，圭和表的长度之和为21尺， 故方程为：， 淇淇的方程：设表的长度为尺，则圭的长度为尺，根据题意，两者之和为21尺，故方程为：； 综上，两人所列方程均正确， 故选A 5．C 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用、由函数图象获取信息，根据图象分段求出函数解析式是解题的关键． 首先求出函数解析式，分析时，甲和乙的速度，得出甲在前面，故乙骑行在甲的前面时，，则，求解即可． 【详解】解：当时，设， 观察图象，把代入解析式得：， 解得：， ∴； 当时，设， 观察图象，把和代入解析式得：， 解得：， ∴， ∴与之间的函数表达式为； 解：∵甲骑行的速度是，时，乙骑行的速度， ∴时，甲骑行的速度大于乙骑行的速度，甲在前面， ∵骑行后，乙恰好骑行在甲的前面， ∴ ∴根据题意得：， 解得：． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据原计划的天数-实际天数=5列出方程即可． 【详解】解：设原计划生产个口罩， 根据题意得：， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据快马和慢马的总路程相等时，快马追上慢马，列方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马．快马的总路程为里， 慢马在快马出发前已走了天，路程为里，之后又走了天，路程为里． 因此，慢马的总路程为里． 根据追及时路程相等，可得方程： 将方程整理为： 故选D． 8．B 【分析】通过观察题目中的例子，发现形如的方程解为或，将当前方程转化为类似结构，通过分式化简和变量替换求解． 【详解】解： ， 原方程变为： 令左边对应右边，则，代入验证左边为，与右边相等，故是解， 令左边对应右边，则，即，与第一种情况重复； 假设，解得： 当时，左边，与右边相等， 当时，左边，与右边相等， 综上，方程的解为，， 故选：B． 9．6 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理．多边形内角和（ 且n为整数），而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为． 先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为，根据多边形的内角和是外角和的2倍，列方程求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为， 依题意得， 解得， ∴这个多边形的边数是6． 故答案为：6． 10．880 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设他的飞机票价为x元，根据该旅客购买的行李票为198元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设他的飞机票价为x元， 根据题意得：， 解得：， 他的飞机票价为880元． 故答案为：. 11．2030 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：由条件可知，， ∴， ∴， 故答案为：2030． 12． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】解:依题意，得：， 故答案为：． 13．4 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程 的两根，则．据此得到，把原式变形后整体代入即可求出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得， 所以 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该班的学生有人，则每人送出件礼物，根据共有互赠纪念品件列方程求解即可． 【详解】解：设该班的学生有人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 15． 【分析】将题干中的一元二次方程通过变量替换令转换为关于的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解再根据与的关系式求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：把一元二次方程 整理得． 设，则． 关于的一元二次方程有一个根为， 有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 16． /120千克 /3920千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，需根据水位到达相同的标记位置即两次装船的总重量相等这一条件列方程是解决本题的关键 ． 通过曹冲称象的原理，设出每块条形石的重量，由两次不同的装船的情况建立等量关系来求解条形石的重量，再根据第一次的装船情况即可求解大象的重量 ． 【详解】解：设每块条形石的重量为， 因为第一次装船是30块等重的条形石和4个搬运工， 第二次装船是32块等重的条形石和1个搬运工， 且每个搬运工体重为， 又因为两次水位都到达标记的位置， 所以， 解得， 所以每块条形石的重量为， 又因为第一次装船的情况是大象的重量，即30块等重的条形石和4个搬运工， 所以大象的重量为 ． 故答案为：； ． 17． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 解得：． 18．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着解一元二次方程求出x的值，并根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得或， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴， ∴原式． 19．2 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，根据题意找等量关系是解题的关键．设张阿姨裁剪了x个A种剪纸作品，则裁剪了个B种剪纸作品，根据“裁剪了A、B两种剪纸作品共8个，共用了1 500平方厘米的彩纸”列方程求解即可． 【详解】解：设张阿姨裁剪了x个A种剪纸作品，则裁剪了个B种剪纸作品，根据题意得 解得． 答：张阿姨裁剪了2个A种剪纸作品． 20．(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、勾股定理、一元一次方程的应用等知识点，根据已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）如图：过点B作，垂足为D，根据题意可得：、，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设米，则米，从而利用勾股定理进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点B作，垂足为D， 由题意得：，， 在中，， ， 设米，则米， 米， 米， ，解得：， 米，米， 点B到水平地面NA的距离为米； （2）解：米，米， 米， 在中，， 米， 米， “春笋大厦”MN的高度为米． 21．(1)， (2)，M表示的实际意义为当买75双滑冰鞋时，在A，B两家商场所付的钱数相同，均为7680元 (3)当或时，在A，B两家商场所付的线数相同；当时，选择B商场更划算；当时，选择A商场更划算 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系，解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． （1）根据两个商场分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （2）根据（1）的结论列方程解答即可； （3）根据（2）的结论结合图象解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，， 当时，， 购买A商场滑冰鞋的总价与数量x之间的函数关系式为； 当时，， 当时，， 购买B商场滑冰鞋的总价与数量x之间的函数关系式为； （2）解：由题意，得，解得， 此时， 点M的坐标为， 点M表示的实际意义为当买75双滑冰鞋时，在A，B两家商场所付的钱数相同，均为7680元． （3）解：观察图象可知， 当或时，在A，B两家商场所付的线数相同； 当时，选择B商场更划算；当时，选择A商场更划算． 22．(1)125； (2)①700，1300；②200辆 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率为x，利用该商城3月份销售自行车的数量＝该商城1月份销售自行车的数量该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论； （2）①设A型号的自行车的销售单价为a元，B型号的自行车的销售单价为b元，利用销售总价＝销售单价销售数量，结合近两周的销售情况，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； ②设购进B型号的自行车m辆，则购进A型号的自行车辆，利用进货总价＝进货单价购进数量，结合进货总价不超过25万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， （辆）， 该自行车专卖店4月份卖出125辆自行车， 故答案为：125； （2）解：①设A型号的自行车的销售单价为a元，B型号的自行车的销售单价为b元， 根据题意得：， 解得：， 型号的自行车的销售单价为700元，B型号的自行车的销售单价为1300元． 故答案为：700，1300； ②设购进B型号的自行车m辆，则购进A型号的自行车辆， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为， 答：B型号的自行车最多能购进200辆． 23．(1)甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元； (2)． 【分析】此题考查了一元一次方程、一次函数、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程、函数、不等式是关键． （1）设甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元，用360万元恰好可以购买3套甲种设备和1套乙种设备，据此列出方程并解方程即可； （2）设购买套甲种污水处理设备，则购买乙种污水处理设备，安装污水处理设备前期准备工程的费用不少于总资金的．据此列出不等式求出的取值范围，再设该乡镇安装污水处理设备总占地面积为，安装1套甲种设备需占地，1套乙种设备需占地，据此列出一次函数，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元， 则， 解得， ∴， 答：甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元； （2）设购买套甲种污水处理设备，则购买乙种污水处理设备， 则， 解得， 设该乡镇安装污水处理设备总占地面积为，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵且为正整数， ∴当时，取得最小值，最小值为， 答：该乡镇安装污水处理设备总占地面积的最小值为． 24．（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）由材料中的解法求解即可得到答案； （2）由材料中的解法求解即可得到答案； （3）由材料中的解法，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， 则令，解得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． （2）， 则令，解得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． （3）将关于的方程（，，是常数）变形为（也是常数）， ，解得， 故答案为：；． 【点睛】本题考查阅读理解，探究一元二次方程的新解法，涉及构造二元一次方程组解决问题、解二元一次方程组、平方差公式、直接开平方法、开方运算等知识，读懂题意，理解阅读材料中的解法是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$