专题03：分式与二次根式-2026年中考数学一轮专项练习

专题03：分式与二次根式-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．下列算式中，计算结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的数轴（不完整），若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 3．若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．在数轴上表示函数的自变量x的取值范围，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若分式的值为0，则的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．16 6．式子在实数范围内有意义，的取值范围是（      ） A． B． C． D． 7．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 9．估计 的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 10．如图1，正方形中，点M从点C出发，沿匀速运动到点A时停止，设点M运动的路程为x，的长为y，图2是点M运动时y随x变化的关系图象，若存在且面积为1，则线段的长为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 二、填空题 11．计算的结果是 ． 12．当分式的值为0时，则实数x的取值是 ． 13．已知，则 ． 14．若，则“□”表示的最简分式为 ． 15．计算： ． 16．化简： ． 17．请写出一个与的积是整数的实数 ． 18．已知，，则 ． 三、解答题 19．化简：． 20．计算： 21．计算： 22．已知 (1)化简P； (2)若m、n是方程的两个实数根，求P的值． 23．习近平总书记在谈到基层教育时指出，我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀的东西，同时也不摒弃西方文明成果，真正把青少年培养成为拥有“四个自信”的孩子．某校响应号召，为满足学生的阅读需求新购买了一批图书，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书，已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.5倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用6000元购买的乙种书柜数量多4个，求每个甲、乙书柜的价格各为多少元？ 24．某商店计划购进A，B两种型号的电动自行车（两种型号都要购进）共30辆．已知用50000元购买A型电动自行车的数量与用60000元购买B型电动自行车的数量相同，A型电动自行车单价比B型少500元． (1)求A、B两种型号电动自行车的单价； (2)若购买A型电动自行车的数量不超过B型电动自行车的倍．设购买A型电动自行车m辆，该商店购进两种型号电动自行车所需经费为w元，试写出w与m的函数关系式，并求出所需的最少经费． 25．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 26．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题03：分式与二次根式-2026年中考数学一轮专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C A D B C C C 1．B 【分析】本题考查有理数的乘方，有理数的加法，负整数指数幂，分别计算各选项的结果，判断是否为负数． 【详解】A．，是正数，故选项不符合题意； B．，是负数，故选项符合题意； C．，是正数，故选项不符合题意； D．，是正数，故选项不符合题意； 故选：B 2．B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．直接取特殊值即可求解． 【详解】解：取时， 则， ∴表示的值的点落在段③， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，科学记数法的表示方法，比较科学记数法表示的数值时，先比较指数部分，指数大的数更大；若指数相同，再比较系数即可，根据以上比较方法分析即可. 【详解】解：∵，，指数均为 ；，指数为 。 而，故和均大于， ∵， ∴ ， ∴ ， 故选： C 4．C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：且， 在数轴上表示为： 故选：C． 5．A 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 【详解】解：由，解得，即或． 又∵分母，即． 故选：A 6．D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负是解题的关键． 根据二次根式有意义则被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 7．B 【分析】本题主要考查二次根式的加法运算、积的乘方和幂的乘方、完全平方公式、二次根式的除法，熟练掌握各个运算是解题的关键． 根据二次根式的加法运算法则、积的乘方和幂的乘方、完全平方公式、二次根式的除法法则可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能计算，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算矩形的面积，再利用平方数的范围估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：矩形的面积， ∵， ∴，即， 故在3和4之间， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了无理数大小估算、二次根式的混合运算，首先根据二次的运算法则可得：原式，因为，，可知，利用不等式的基本性质变形，可得：，从而可得：． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了动点的函数图象、正方形的性质，从函数图象获取必要的信息是解题的关键．由图2可知，根据正方形的性质得到，，再对点M的位置分情况讨论，结合存在且面积为1，即可求解． 【详解】解：由图2可知，当点M运动到点时，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴； 当点M在上时，不存在，不符合题意； 当点M在上时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点M在上时， 此时，不符合题意，舍去； ∴综上，线段的长为3． 故选：C． 11． 【分析】先通分，再根据同分母的分式加减法则计算即可． 本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．2 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，解一元二次方程，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：2． 13．/0.8 【分析】先根据题意得出，再代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 原式 故答案为： 14． 【分析】本题主要考查了分式的运算．将未知分式设为变量，通过方程变形逐步解出，最终化简为最简分式即可． 【详解】解：□． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了二次根式的化简． 先比较和的大小，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17．（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的乘法法则即可求得答案． 本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与的积是整数的实数． 故答案为：（答案不唯一）． 18． 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，立方根定义，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，先将m、n进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 19． 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可． 【详解】解： ． 20． 【分析】本题考查了绝对值的化简，负整数指数幂运算以及根式的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据绝对值的化简，负整数指数幂运算以及根式的运算按照运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 21．1 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算、绝对值，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先计算括号内分式减法，再将除法化为乘法计算，直至化为最简分式； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再代入（1）中化简的结果，即可求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 23．每个甲种书柜的价格为150元，每个乙种书柜的价格为100元． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设每个乙种书柜的价格是x元，则购进每个甲种书柜的价格是元，根据“每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.5倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用6000元购买的乙种书柜数量多4个”，列出分式方程，进行求解即可．读懂题意，正确的列出分式方程，是解题的关键． 【详解】解：设每个乙种书柜的价格是x元，则每个甲种书柜的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种书柜的价格为150元，每个乙种书柜的价格为100元． 24．(1)A型电动自行车的单价为2500元，B型电动自行车的单价为3000元 (2)，所需的最少经费为81000元 【分析】此题主要考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设A型电动自行车的单价为x元，则B型电动自行车的单价为元，用50000元购买A型电动自行车的数量与用60000元购买B型电动自行车的数量相同，据此列出方程，解方程并检验即可得到答案； （2）购买A型电动自行车m辆，则购买B型电动自行车辆，先求出m的取值范围，再列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设A型电动自行车的单价为x元，则B型电动自行车的单价为元， 根据题意，得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴ 答：A型电动自行车的单价为2500元，B型电动自行车的单价为3000元； （2）购买A型电动自行车m辆，则购买B型电动自行车辆， ∵， 解得， ∴，且m为整数， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取最小值， 最小值为（元）． 答：所需的最少经费为81000元． 25．(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 26．(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$