2.2 三角形全等的判定 课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

第4课时　直角三角形全等的判定 过教材　要点概览 直角三角形全等的判定定理 　 　边和一条　 　边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“　 　”.  斜 直角 HL 初中练案·数学·QD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　用“HL”判定直角三角形全等 [典例1]如图,已知∠B=∠E=90°,AC=DF,FB=EC,求证:∠A=∠D. 2 应用“HL”判定两个三角形全等的注意事项 (1)注意使用范围:“HL”只适用于直角三角形,应用时需说明直角三角形,任意三角形若满足两边对应相等不一定全等. 点睛 (2)注意标注:两直角边对应相等的两个三角形全等,应用的是“SAS”,不是“HL”. 3 [变式1]如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC的垂线交AC于点E.求证:AE=DE. 4 探究点二　直角三角形全等判定方法的综合 [典例2]如图,DE⊥AC,BF⊥AC,AD=BC,DE=BF. 求证:AB∥DC. 5 6 [变式2]如图,已知AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,DF=DC. 求证:AD=BD. 7 谢谢观赏！ 8 证明:因为FB=CE, 所以FB+FC=CE+FC,即BC=EF. 在Rt△ABC与Rt△DEF中, 所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 所以∠A=∠D. 证明:连接BE,如图. 因为ED⊥BC, 所以∠BDE=∠A=90°. 在Rt△ABE和Rt△DBE中, 所以Rt△ABE≌Rt△DBE(HL). 所以AE=DE. 证明:因为DE⊥AC,BF⊥AC, 所以∠DEA=∠BFC=90°. 在Rt△ADE与Rt△CBF中, 所以Rt△ADE≌Rt△CBF(HL). 所以AE=CF. 所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE. 在△CDE与△ABF中, 所以△CDE≌△ABF(SAS). 所以∠DCE=∠BAF. 所以AB∥DC. 证明:因为AD⊥BC,所以∠DAC+∠C=90°. 又因为BE⊥AC,所以∠DBF+∠C=90°,所以∠DAC=∠DBF. 因为AD⊥BC,所以∠CDA=∠FDB=90°. 在△ADC和△BDF中, 所以△ADC≌△BDF(AAS), 所以AD=BD. $$第3课时　用“SSS”判定三角形全等 过教材　要点概览 1.三角形全等的判定方法4(基本事实) 　 　 分别相等的两个三角形全等.简写成“　 　”或 “　 　”. 2.三角形的稳定性 三角形三条边的长度确定后,它的形状和大小就确定了,三角形的这 种特性叫作三角形的　 　.  三边 边边边 SSS 稳定性 初中练案·数学·QD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　用“SSS”判定三角形全等 [典例1]如图,AB=CD,BF=DE,E,F是AC上的两点,且AE=CF.判断BF与DE的位置关系,并说明理由. 2 寻找线段相等的方法 (1)利用线段中点的定义说明线段相等. 点睛 (2)图形中的隐含条件,如公共边(有时需要添加辅助线构造公共边). (3)多条线段共线时,利用线段的和、差、倍、分来寻找线段相等. (4)利用全等三角形的性质判定线段相等. 3 [变式1]如图,已知AD=CD,AB=CB,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM =PN. 4 探究点二　三角形的稳定性 [典例2]如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做利用了( ) A.两点之间线段最短 B.三角形的稳定性 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 B 5 [变式2]下列设计利用了三角形的稳定性的有( ) ①自行车的三角形车架; ②校门口的自动伸缩栅栏门; ③照相机的三脚架; ④长方形门框的斜拉条. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 6 谢谢观赏！ 7 解:BF∥DE.理由如下: 因为AE=CF,所以AF=CE. 在△ABF和△CDE中, 所以△ABF≌△CDE(SSS),所以∠BFA=∠DEC, 所以BF∥DE. 证明:在△ABD和△CBD中, 所以△ABD≌△CBD(SSS),所以∠ADB=∠CDB. 因为PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N, 所以∠PMD=∠PND=90°. 在△PMD和△PND中, 所以△PMD≌△PND(AAS),所以PM=PN. $$第2课时　用“ASA”“AAS”判定三角形全等 过教材　要点概览 1.三角形全等的判定方法2(基本事实) 两角及其　 　分别相等的两个三角形全等.简写成“　 　”或“　 　”.  2.三角形全等的判定方法3(定理) 　 　分别相等且其中一组等角的　 　相等的两个三角形全 等.简写成“　 　”或“　 　”.  夹边 角边角 ASA 两角 对边 角角边 AAS 初中练案·数学·QD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　用“ASA”判定三角形全等 [典例1]如图,点B是线段AC的中点,AD∥BE,BD∥CE.试说明:△ABD≌ △BCE. 2 [变式1]如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C. (1)试说明:△ABE≌△ACD; 3 (2)若∠B=30°,∠A=25°,求∠BDC的度数. 解:(2)因为∠B=30°,∠A=25°, 所以∠AEB=125°. 因为△ABE≌△ACD, 所以∠ADC=∠AEB=125°, 所以∠BDC=55°. 4 判定三角形全等寻找等角的方法 (1)公共角相等、对顶角相等、直角相等. 点睛 (2)等角加(减)等角,其和(差)相等. (3)同角或等角的余(补)角相等. (4)根据角平分线、平行线得角相等. 5 探究点二　用“AAS”判定三角形全等 [典例2]如图,已知点C是线段AB上一点,∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.猜想AB, AD,BE之间的数量关系,并说明理由. 6 [变式2]如图,∠B=∠ACD,∠ACB=∠D=90°,AC是△ABC和△ACD的公共边,所以就可以判定△ABC≌△ACD.你认为正确吗?为什么? 解:不正确.理由如下: AC不是△ABC和△ACD的对应边, 所以不能判定△ABC≌△ACD. 7 谢谢观赏！ 8 解:因为点B为线段AC的中点,所以AB=BC. 因为AD∥BE,所以∠A=∠EBC. 因为BD∥CE,所以∠C=∠DBA. 在△ABD与△BCE中, 所以△ABD≌△BCE(ASA). 解:(1)在△ABE和△ACD中, 所以△ABE≌△ACD(ASA). 解:AB=AD+BE.理由如下: 因为∠DCE=∠A, 所以∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE, 所以∠D=∠BCE. 在△ACD和△BEC中, 所以△ACD≌△BEC(AAS),所以AD=BC,AC=BE, 所以AC+BC=BE+AD,即AB=AD+BE. $$2.2　三角形全等的判定 第1课时　用“SAS”判定三角形全等 过教材　要点概览 三角形全等的判定方法1(基本事实) 两边及其　 　分别相等的两个三角形全等.简写成“　 　”或“　 　”.  夹角 边角边 SAS 初中练案·数学·QD·八上 精讲练　新知探究 探究点一　用“SAS”判定三角形全等 [典例1](2024西藏)如图,点C是线段AB的中点,AD=BE,∠A=∠B.求证: ∠D=∠E. 2 [变式1]已知:如图,点E,F在CD上,且CF=DE,AE=BF,AE∥BF.求证:△AEC ≌△BFD. 3 探究点二　全等三角形的应用 [典例2]如图①是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图②,AB= AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小. ① ② 4 5 [变式2]某学校美术社团为学生外出写生配备如图①的折叠凳,图②是折叠凳撑开后的侧面示意图,其中凳腿AB和CD的长度相等,O是它们的中点,为了使折叠凳坐得舒适,厂家将撑开后折叠凳的宽度AD设计为36 cm,由以上信息能得出CB的长度吗?如果能,请求出CB的长度;如果不能,请说明理由. ① ② 6 7 谢谢观赏！ 8 证明:因为点C是线段AB的中点,所以AC=BC. 在△DAC与△EBC中, 所以△DAC≌△EBC(SAS), 所以∠D=∠E. 证明:因为AE∥BF,所以∠BFE=∠AEF. 又因为∠BFD=180°-∠BFE,∠AEC=180°-∠AEF,所以∠BFD=∠AEC. 因为CF=DE,所以CE=DF. 在△AEC和△BFD中, 所以△AEC≌△BFD(SAS). 解:因为∠BAD=∠EAC, 所以∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD, 即∠BAC=∠EAD. 在△BAC与△EAD中, 所以△BAC≌△EAD(SAS), 所以∠C=∠D. 因为∠C=50°,所以∠D=50°. 解:能. 因为AB=CD,O是它们的中点, 所以AO=BO,DO=CO. 在△AOD与△BOC中, 所以△AOD≌△BOC(SAS), 所以CB=AD=36 cm. $$