第03讲 函数与方程（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 函数与方程 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 函数的零点与方程的解 4 知识点2 二分法 6 题型破译 7 题型1 求函数的零点或零点所在区间 7 题型2 利用函数的零点确定参数的取值范围 11 题型3 方程根的个数与函数零点的存在性问题 14 题型4 嵌套函数的零点问题 17 题型5 函数的对称问题 22 题型6 分段函数的零点问题 28 题型7 零点嵌套问题 32 题型8 二分法 35 04真题溯源·考向感知 38 05课本典例·高考素材 43 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）求函数的零点或零点所在区间 （2）利用函数的零点确定参数的取值范围 （3）方程根的个数与函数零点的存在性问题 （4）分段函数的零点问题 （5）零点嵌套问题 （6）二分法 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第7题，5分 天津卷第15题，5分 天津卷第15题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般会多个函数作为载体，考查函数的零点个数、零点所在区间、多重零点问题，是天津高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分. 复习目标： （1）理解函数的零点与方程的解的联系. （2）理解函数零点存在定理，并能简单应用. （3）了解用二分法求方程的近似解． 知识点1 函数的零点与方程的解 1、函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 4、.函数零点、方程的根与函数图像的关系 函数有零点 方程 有实数根函数, 图像有交点 求函数y零点的方法: ①直接解方程; ②利用图象求其与轴的交点(交点的横坐标即是零点); ③将方程变为两个函数，通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数); ④可通过二分法求函数的零点的近似值. 5.二次函数的零点: 二次函数 (1)，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点 (2) ，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个零点. (3) ，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点 自主检测已知函数，则下列说法正确的有（    ） ①的最小正周期为；     ②关于直线对称； ③的值域为；     ④在区间上恰有7个不同的实数根 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由即可判断①；由即可判断②；，分类讨论求其值域即可判断③，分类讨论令求其在上的根即可判断④. 【详解】对于①，因为，故①错误； 对于②，因为 ，， 所以，所以的图象关于对称，故②正确； 对于③，因为， 当时，， 当时， 所以的值域为，故③正确； 对于④，当时，，则， 解得或，故，，，或，， 当时，，则（舍）， ，此时在上有两个解， 综上，在区间上恰有7个不同的实数根，故④正确； 故选：C 知识点2 二分法 1、二分法的概念 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 自主检测下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 题型1 求函数的零点或零点所在区间 例1-1（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 【答案】D 【分析】根据已知及正余弦函数的对称性得到、，进而有，再由正弦型函数的性质依次判断各项的正误，即可得答案. 【详解】令，则为的对称轴方程， 令，则为的对称轴方程， 由与的对称轴完全相同，则，即对称轴为， 所以且，则， 所以，其最小正周期，故也是一个周期，A对； ，故的图象关于直线对称，B对； ，当有， 所以的一个零点为，C对； ，则，显然在给定区间内不单调，D错. 故选：D 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可． 【详解】函数的零点转化为与的图象的交点的横坐标， 因为零点分别为， 在坐标系中画出与的图象如图： 可知，满足， 故选：A 【变式训练1-1】（2025·天津和平·调研）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造不同函数与反比例函数的交点横坐标就是零点，再通过数形结合来加以判断即可. 【详解】 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减，由图可得：， 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减且过点，由图可得：， 由于，根据幂函数，解得，即，（也可以数形结合判断） 综上可知：， 故选：A. 方法技巧 函数的零点 ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 判断函数零点所在区间 （1）将区间端点代入函数求函数的值； （2）将所得函数值相乘，并进行符号判断； （3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 【变式训练1-2】（2025·天津·联考）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数奇偶性排除C,D;再由函数的零点只有三个，排除B即得. 【详解】因为，所以是偶函数，排除C，D; 因为在上的零点有共三个，排除B. 故选:A. 【变式训练1-3】（2025·天津·联考）如图为函数的部分图象，则（    ）    A．函数的周期为 B．函数是偶函数 C．函数在区间上恰好有三个零点 D．对任意的，都有 【答案】C 【分析】先根据图象求出的解析式，然后再逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以，因为，所以，故， 因为，即， 又在处附近单调递减，且在时在处正弦函数第一次取值为， 所以，可得，所以， 对于A，的最小正周期，A错； 对于B，是奇函数，B错； 对于C，当时，， 令可得，即，则在上恰好有三个零点，C正确； 对于D，，故不是的最大值，D错. 故选：C 题型2 利用函数的零点确定参数的取值范围 例2-1（2025·天津和平·调研）已知函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为与有交点，再根据值域求解即可. 【详解】， ， 函数有零点， 与有交点， ， 即， 故选：C 例2-2如图是函数的大致图象，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数表达式中有三个未知数，将图像与轴的三个交点代入表达式，可求出函数的表达式，是函数的两个极值点，通过求导，根据韦达定理得到的关系式，从而求出 【详解】由图可得：，代入函数表达式得：，解得：，所以：，，由图可得，是函数的两个极值点，令，则或，根据韦达定理得： ， 所以 故选：C 方法技巧 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式； （2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题． 【变式训练2-1】（2025·天津河东·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意做出函数在定义域内的图像，将函数零点转化成函数与函数图像交点问题，结合图形即可求解. 【详解】解：根据题意画出函数的图象，如图所示：    函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点， 当直线位于直线与直线之间时，符合题意， 由图象可知：，， 所以， 故选：D. 【变式训练2-2·变考法】已知函数，若有两个零点，，下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出函数的导函数,判断出函数的单调性，进而求出函数的最值,根据函数零点的概念作出函数的图象,逐个判断每个选项的结论正确与否即可. 【详解】因为函数, 所以,其定义域为, 令，解得， 所以当时,；当时,; 故在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点，, 所以函数的图象如图所示： 故， 即，并且，故选项A、C正确； 由于为的零点，故有， 两式相减得，即，故选项B正确； 因为,所以当时，， 所以，故选项D不正确. 故选: D 【变式训练2-3·变载体】若函数在上有零点，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ,当, 所以,所以,要使f(x)在上有零点需要满足,所以,所以. 题型3 方程根的个数与函数零点的存在性问题 例3-1（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 例3-2已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意的零点，即函数与函数的交点，作图可初步判断，根据函数值可进一步判断，得到，再对通过判断的符号，得到即可. 【详解】根据题意的零点，即函数与函数的交点如图， 由图可得 ，， ，， ， ， 综上，. 故选：B. 方法技巧 零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. （3）数形结合法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数. 【变式训练3-1】已知函数的零点为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，再去求的取值范围，即可得的大小. 【详解】因为是的零点，则为的解，分别做与的图像如下， 如图可知，所以，， 所以. 故选： 【变式训练3-2】下列区间中，一定包含函数的零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理求解即可． 【详解】因为的定义域为R，且连续， ， 所以函数的零点所在区间为 故选：C. 【变式训练3-3】在下列区间中，方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据零点存在性定理判断各选项区间端点值的符号，即可知零点所在的区间. 【详解】令，则该函数的定义域为且在定义域上单调递增， ， 所以，函数的零点所在区间为. 故选：C. 题型4 嵌套函数的零点问题 例4-1（2025·天津·调研）已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】的图象如图所示： ∵方程有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得． 故选：D． 例4-2已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围． 【详解】已知，其定义域为， 则， 令，即，则，解得． 当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，． 令，则， 函数恰有个不同的零点， 即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，， 且其中一个根为，另一个根． 则，解得 . 实数的取值范围是． 故选：A． 方法技巧 定义：①函数里调用另一个函数简称函数嵌套. ②函数里调用函数本身简称递归嵌套. 函数嵌套原理求函数解析式步骤如下： 形如： 第一步：令 第二步：令，,解出 第三步：求出的解析式. 【变式训练4-1】已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，由题意知有两个根再结合二次方程有两个不同的根即可求得的范围. 【详解】令，则令 即有4个不同的实数根. 则要有两个解，    由图知，. ，得. 则. 令，得，则，，得，. 则. 故选：D. 【变式训练4-2·变载体】已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据已知有或，数形结合确定零点个数及其数量关系，进而求零点的和，最后求函数值. 【详解】关于的方程，解得或， 由函数图象如下， 当时，原方程有三个实根，其中一个根为，另两个根关于直线对称，则； 当时，原方程有两个实根，设为，，这两个根关于直线对称，则． 所以原方程一共有5个不同的实根， 所以， 故选：B 【变式训练4-3·变载体】已知函数记函数的个零点为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】令，则，时，求出的零点；时，利用零点存在定理得存在零点；时，利用导数研究其单调性，进而得在上无零点，则有两个零点，从而求出函数的零点，即可得解． 【详解】由题可知， 令，则， 当时，，此时有唯一的零点； 当时，， 当时，单调递减，且， 所以存在，使得； 当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 所以在上无零点， 所以在其定义域上有两个零点． 当时，因为，所以由，得，解得； 当时，由，得，或， 所以函数共有3个零点，分别为， 所以． 故选：A． 题型5 函数的对称问题 例5-1（2025·天津·模拟预测）若函数（，）的最小正周期为，其图象的一条对称轴的方程为，则函数在上的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据余弦型函数的周期及对称轴的求法求出的值，再根据零点的定义及取值范围求出零点的值从而确定零点的个数. 【详解】由题，得， 又，，得，， 因为，所以， 令得，，即，， 当，，0，1时，，，，， 得在上有4个零点． 故选：D. 例5-2设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 方法技巧 转化为零点问题 【变式训练5-1】已知函数，下面结论中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．的值域为 D．若函数有两个零点，则的取值范围是 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；将函数的解析式化为分段函数的形式，结合反比例型函数的基本性质可求得的值域，可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，则， 所以，函数的图象不关于点对称，A错； 对于B选项，因为，，B错； 对于C选项，因为， 当时，，则，则， 当时，， 当时，则，则，此时，， 综上所述，函数的定义域为，C错； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因为函数有两个零点，则的取值范围是，D对. 故选：D. 【变式训练5-2】已知函数，其导函数的图象关于直线对称，且.若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，再借助已知代入即可解出，利用导数可求函数单调性，再求出极值，据题意列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为， 所以， 因为的图象关于直线对称， 所以，所以， 又， 解得， 所以， 所以， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取到极大值， 当时，取到极小值， 函数有三个零点， 所以，解得. 故选：C 【变式训练5-3】已知在函数的图像上存在四个点构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则一定有：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过对称性将问题转化为函数零点的问题,因为变量比较多，构造的函数较复杂，我们可以先计算较较简单选项，然后利用排除法即可. 【详解】由题可知，原点为线段中点， 不妨设 则有 分别相加得 相当于方程，在有两个不同的根， 即在有两个不同的交点， 显然，即在有三个不同的交点， 得示意图 由示意图可知该函数需要在有两个极值点 求导 即导函数需要在有两个不同的零点， 当时，显然在单调递减，故不可能在有两个不同的零点， 当时， 有两个不同零点， 即在有两个不同的根 ， 此时 由韦达定理可知 得，故AD错误； 因为， ，故B错误； 由得，，故C正确. 故选：C 题型6 分段函数的零点问题 例6-1（2025·天津·开学考）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得. 【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根． 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象， 如图所示， 由函数，可得，可得时，，， 故函数在处的切线方程为， 又由函数，可得，可得时，， 故函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足， 所以实数的取值范围为． 故选：C. 方法技巧 已知定义域为的函数，若是三个互不相同的正数，且，则的范围是？ 破解：作出函数的图象， 不妨设，则， ∴， ∴，即， ∴，∴. 【变式训练6-1】已知函数，存在实数b，使得方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点个数得二次函数在不单调且在该范围上的最小值小于上的上确界，从而可取参数的范围. 【详解】由题意知，存在实数，使得有3个不同的实数解， 即二次函数在区间不单调，所以； 且二次函数的最小值要小于一次函数的上确界， 即，解得，综上得． 故选：C. 【变式训练6-2】已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 【变式训练6-3】已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出的图象，确定的范围，再根据对数的运算以及二次函数的对称性得和，进而利用二次函数的性质求出范围. 【详解】作出函数的图象，且， 方程有四个不同的实根，则， 由，得，即，由，得， ，， 函数在上单调递增，当时，， 则的取值范围为，所以的取值范围为. 故选：C 【变式训练6-4】已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得，利用对数运算可得，再利用函数图象及性质求出的取值范围即可. 【详解】函数的图象对称轴，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 令，则函数的图象与直线有4个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象，得，，由，得， 由，得，则， 函数在上单调递减，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C 题型7 零点嵌套问题 例7-1（2025·天津河北·模拟预测）设函数在区间上恰有四个极值点和三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用换元法将转化为形式，然后做出图象，根据已知条件判断范围即可. 【详解】由题意知，设，则，作的部分图象，如图所示， 要满足函数在区间恰有四个极值点和三个零点， 即满足函数在上恰有四个极值点和三个零点， 则，解得. 故选：C． 例7-2（2025·天津·模拟预测）已知函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即．因为，所以，因此本题即求有两个实数根时a的取值范围．由与的图象（如图）知． 【变式训练7-1】设，若当时，函数与的图象恰有4个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将两个图象交点问题转化为方程的解，再利用正弦函数的图象性质求解. 【详解】当时，与的图象恰有4个交点， 等价于函数的图象与直线有4个交点， 由，即，得或，， 则或，从原点往左的3个取值依次为， 从原点往右的3个取值依次为，则且， 化简得且，所以的取值范围是. 故选：A 【变式训练7-2】若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同构得有两个不同的解，换元后考虑有两个不同的零点，利用导数可求参数的范围. 【详解】因为有两个零点， 故有两个不同的解， 所以有两个不同的解， 故有两个不同的解， 设，则，故为上的单调增函数， 而时，，时，，故的值域为， 故在上有两个不同的零点， 设，则， 当时，；当时，； 故在上为增函数，在上为减函数， 故即， 此时当时，，时，， 故时，确有两个不同的零点，综上. 故选：D. 【变式训练7-3】已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合正弦函数图象列式进行求解即可. 【详解】由 令，则． 设，则在上恰有两个极值点和两个零点， 如图，， 解得． 故选：A. 题型8 二分法 例8-1（2025·天津东丽·联考）下列函数中，不能用二分法求零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，，可得：，但恒成立，即在每个零点左右两侧函数值同号故，不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 例8-2已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果. 【详解】根据题干所给数据可知，，，且函数在上为增函数， 由零点存在定理可知，函数的唯一零点在区间内， 区间长度为，结合选项可知，其近似值为. 故选：B. 方法技巧 用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令；…… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 【变式训练8-1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】依据能用二分法求的函数零点应该是变号零点的要求，一一判断各选项，即得答案. 【详解】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反， 对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同， 故不可用二分法求交点横坐标； 对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 故选：C 【变式训练8-2·变考法】（2024·天津河西·模拟预测）已知函数的部分函数值如下表所示： 1 0.625 0.5625 0.632 0.2776 0.0897 那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（    ） A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 【答案】B 【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答. 【详解】因为在上均单调递增， 则函数在R上单调递增， 由数表知：， 由零点存在性定义知，函数的零点在区间内， 所以函数的一个零点的近似值为. 故选：B 【变式训练8-3·变考法】已知函数的部分函数值如下表所示： x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（    ） A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89 【答案】B 【分析】由表格数据结合零点存在性定理得出零点的近似值. 【详解】根据给的数据知道方程的根在区间内，所以近似解为0.57 故选：B 1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 2．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 3．（2017·天津·高考真题）已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】满足题意时的图象恒不在函数下方， 当时，函数图象如图所示，排除C,D选项； 当时，函数图象如图所示，排除B选项， 本题选择A选项. 4．（2016·天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，， 所以， 因此， 选：D. 5．（2015·天津·高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】当时,所以,,此时函数 的小于零的零点为 ;当 时, ,函数无零点;当 时, ,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A. 考点：本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力. 6．（2015·天津·高考真题）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数恰有4个零点，即方程， 即有4个不同的实数根， 即直线与函数的图象有四个不同的交点． 又 做出该函数的图象如图所示， 由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点， 故函数恰有4个零点时， b的取值范围是故选D． 考点：1、分段函数；2、函数的零点． 1．设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程根的分布结合二次函数的图象列出不等式组求解即可. 【详解】令， 由方程在区间上有两个不相等的实数解可得 ，即或， 解得， 故选：C 2．函数的零点个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的解析式，结合分段条件，分别令，即可求解. 【详解】由题意，函数， 当时，令，解得或（舍去）； 当时，令，即，解得， 所以函数有2个零点. 故选：B. 3．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据零点存在定理说明． 【详解】解：因为， 所以， 故选：C. 4．若，则函数的两个零点分别位于区间 A．和内 B．和内 C．和内 D．和内 【答案】A 【详解】试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点. 考点：零点与二分法. 【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件. 5．函数是周期为2的周期函数，且，． (1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求的值； (3)求在区间上的解析式，其中． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）根据周期性及已知区间解析式画出函数图象，数形结合确定单调区间、零点、最值； （2）利用周期性求函数值即可； （3）由，代入已知解析式，根据周期性即可得解析式. 【详解】（1）由的周期性及上解析式，得区间上的图象如下：    由上图知：增区间为，减区间为； 零点为共3个；最大值为1，最小值为0. （2）由题设. （3）令且，则， 又，则，即， 综上，在区间上，. 6．根据图象是连续曲线的函数的性质以及函数增长快慢的差异，判断方程至少有两个实数根．用二分法求方程的一个近似解．（精确度为0.01） 【答案】判断见解析，近似解为1.37 【分析】根据函数性质即可判断实数根个数，利用二分法即可得到近似解. 【详解】指数函数和幂函数的图象是连续曲线， 当时，，当时，，在区间内方程有实数解， 由于当充分大以后，指数函数比幂函数的增长速度快很多，所以对于很大的，总有，于是在区间内方程有实数解， 由二分法得到方程的实数解所在区间如下： 区间左端点 区间右端点 第1次 1 2 第2次 1 1.5 第3次 1.25 1.5 第4次 1.25 1.375 第5次 1.3125 1.375 第6次 1.34375 1.375 第7次 1.359375 1.375 第8次 1.3671875 1.375 至此，可以看出区间的端点不是方程的解，而区间的长度小于0.01，所以可任取其中一个数，如1.37，作为方程的一个近似解. 7．判定下列方程在区间内是否存在实数根，并说明理由： (1)； (2)． 【答案】(1)存在实数根，理由见解析； (2)不存在实数根，理由见解析； 【分析】（1）利用零点存在定理可知函数在上存在零点，即方程在区间内存在实数根； （2）画出函数和函数的图象，根据图象无交点即可求得方程在区间内没有实数根； 【详解】（1）易知函数在上单调递增，且函数图象连续， 显然，； 由零点存在定理可得，所以在上存在零点， 因此方程在区间内存在实数根； （2）将函数和函数的在区间内的图象画在同一个坐标系内，如下图所示：    由图可知，对于任意的，都有函数图象在函数图象的上方， 即在上恒成立， 所以在区间内没有实数根； 8．已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为0.1） 【答案】1.2 【分析】根据题意，函数在区间上的零点就是方程在区间内的解，由二分法求出函数在区间上的零点，即可得答案． 【详解】根据题意，函数在区间上的零点就是方程在区间内的解， 由于函数和均为单调递增函数，所以在区间上递增， ， ，，则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 此时满足精确度为0.1，则函数在区间上的零点近似为1.2， 故方程在区间内的近似解为1.2． 9．判定下列方程存在几个实数根，并分别给出每个解的存在区间： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据二次方程的判别式确定解的个数，再由求根公式求出根判定根所在的一个区间； （2）去掉绝对值号，直接求解，判断根的个数及根所在区间. 【详解】（1）因为中， 所以方程有两个根， 由求根公式可得，. （2）由，可得，即或, 故方程的根有两个， 且方程的根为，. 10．判定下列方程在指定区间内是否存在实数根，并说明理由： (1)在区间内； (2)在区间内． 【答案】(1)不存在实数根； (2)不存在实数根. 【分析】（1）变形方程，构造函数，结合零点存在性定理判断即可. （2）求出方程的根即可判断得解. 【详解】（1）方程，等价于，令函数，显然函数在R上单调递增， 而，则对，，因此函数在内无零点， 所以在区间内不存在实数根. （2）由，得，解得，显然且， 所以在区间内不存在实数根. 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 函数与方程 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 函数的零点与方程的解 4 知识点2 二分法 5 题型破译 5 题型1 求函数的零点或零点所在区间 5 题型2 利用函数的零点确定参数的取值范围 7 题型3 方程根的个数与函数零点的存在性问题 8 题型4 嵌套函数的零点问题 9 题型5 函数的对称问题 10 题型6 分段函数的零点问题 11 题型7 零点嵌套问题 13 题型8 二分法 13 04真题溯源·考向感知 15 05课本典例·高考素材 16 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）求函数的零点或零点所在区间 （2）利用函数的零点确定参数的取值范围 （3）方程根的个数与函数零点的存在性问题 （4）分段函数的零点问题 （5）零点嵌套问题 （6）二分法 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第7题，5分 天津卷第15题，5分 天津卷第15题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般会多个函数作为载体，考查函数的零点个数、零点所在区间、多重零点问题，是天津高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分. 复习目标： （1）理解函数的零点与方程的解的联系. （2）理解函数零点存在定理，并能简单应用. （3）了解用二分法求方程的近似解． 知识点1 函数的零点与方程的解 1、函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是________的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 4、.函数零点、方程的根与函数图像的关系 函数有零点 方程 有实数根函数, 图像________ 求函数y零点的方法: ①直接解方程; ②利用图象求其与轴的交点(交点的横坐标即是零点); ③将方程变为两个函数，通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数); ④可通过________求函数的零点的近似值. 5.二次函数的零点: 二次函数 (1)，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有______零点 (2) ，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有_____零点. (3) ，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数________ 自主检测已知函数，则下列说法正确的有（    ） ①的最小正周期为；     ②关于直线对称； ③的值域为；     ④在区间上恰有7个不同的实数根 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2 二分法 1、二分法的概念 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的________. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 自主检测下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 题型1 求函数的零点或零点所在区间 例1-1（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（2025·天津和平·调研）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 函数的零点 ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 判断函数零点所在区间 （1）将区间端点代入函数求函数的值； （2）将所得函数值相乘，并进行符号判断； （3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 【变式训练1-2】（2025·天津·联考）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练1-3】（2025·天津·联考）如图为函数的部分图象，则（    ）    A．函数的周期为 B．函数是偶函数 C．函数在区间上恰好有三个零点 D．对任意的，都有 题型2 利用函数的零点确定参数的取值范围 例2-1（2025·天津和平·调研）已知函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2-2如图是函数的大致图象，则等于（    ）    A． B． C． D． 方法技巧 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式； （2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题． 【变式训练2-1】（2025·天津河东·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式训练2-2·变考法】已知函数，若有两个零点，，下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3·变载体】若函数在上有零点，则的取值范围为 A． B． C． D． 题型3 方程根的个数与函数零点的存在性问题 例3-1（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 例3-2已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. （3）数形结合法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数. 【变式训练3-1】已知函数的零点为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】下列区间中，一定包含函数的零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】在下列区间中，方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 题型4 嵌套函数的零点问题 例4-1（2025·天津·调研）已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 例4-2已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 定义：①函数里调用另一个函数简称函数嵌套. ②函数里调用函数本身简称递归嵌套. 函数嵌套原理求函数解析式步骤如下： 形如： 第一步：令 第二步：令，,解出 第三步：求出的解析式. 【变式训练4-1】已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（    ） A．12 B． C．15 D． 【变式训练4-3·变载体】已知函数记函数的个零点为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5 函数的对称问题 例5-1（2025·天津·模拟预测）若函数（，）的最小正周期为，其图象的一条对称轴的方程为，则函数在上的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例5-2设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 方法技巧 转化为零点问题 【变式训练5-1】已知函数，下面结论中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．的值域为 D．若函数有两个零点，则的取值范围是 【变式训练5-2】已知函数，其导函数的图象关于直线对称，且.若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知在函数的图像上存在四个点构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则一定有：（    ） A． B． C． D． 题型6 分段函数的零点问题 例6-1（2025·天津·开学考）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 已知定义域为的函数，若是三个互不相同的正数，且，则的范围是？ 破解：作出函数的图象， 不妨设，则， ∴， ∴，即， ∴，∴. 【变式训练6-1】已知函数，存在实数b，使得方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式训练6-3】已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型7 零点嵌套问题 例7-1（2025·天津河北·模拟预测）设函数在区间上恰有四个极值点和三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例7-2（2025·天津·模拟预测）已知函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】设，若当时，函数与的图象恰有4个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8 二分法 例8-1（2025·天津东丽·联考）下列函数中，不能用二分法求零点的是（     ） A． B． C． D． 例8-2已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令；…… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 【变式训练8-1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A．B．C． D． 【变式训练8-2·变考法】（2024·天津河西·模拟预测）已知函数的部分函数值如下表所示： 1 0.625 0.5625 0.632 0.2776 0.0897 那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（    ） A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 【变式训练8-3·变考法】已知函数的部分函数值如下表所示： x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（    ） A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89 1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2017·天津·高考真题）已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 4．（2016·天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 5．（2015·天津·高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2015·天津·高考真题）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1．设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．函数的零点个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 4．若，则函数的两个零点分别位于区间 A．和内 B．和内 C．和内 D．和内 5．函数是周期为2的周期函数，且，． (1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求的值； (3)求在区间上的解析式，其中． 6．根据图象是连续曲线的函数的性质以及函数增长快慢的差异，判断方程至少有两个实数根．用二分法求方程的一个近似解．（精确度为0.01） 区间左端点 区间右端点 第1次 1 2 第2次 1 1.5 第3次 1.25 1.5 第4次 1.25 1.375 第5次 1.3125 1.375 第6次 1.34375 1.375 第7次 1.359375 1.375 第8次 1.3671875 1.375 7．判定下列方程在区间内是否存在实数根，并说明理由： (1)； (2)． 8．已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为0.1） 9．判定下列方程存在几个实数根，并分别给出每个解的存在区间： (1)； (2)． 10．判定下列方程在指定区间内是否存在实数根，并说明理由： (1)在区间内； (2)在区间内． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$