精品解析：安徽省宿州市萧县城北初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级第三次纠错练习数学 一．选择题（共10小题） 1. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．根据题意正确画出树状图成为解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与摸到的两个球都是红球的情况数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有2种情况， 所以摸出两个红球的概率是． 故选：C． 2. 如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形AECF是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF， 又∵点E、F为线段BD的两个三等分点， ∴BE＝FD， ∴BO＝OD， ∵AO＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形； ∵四边形AECF为菱形，且周长为20， ∴AE＝5， ∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点， ∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4， 由勾股定理得，AO＝＝＝3， ∴AC＝2AO＝2×3＝6， ∴S四边形ABCD＝BD•AC＝×24×6＝72； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键． 3. 如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． 设，根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式推出，，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，即可求解． 【详解】解：设， 在平行四边形中，点为上一点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数、勾股定理等知识点，理解锐角三角函数的定义是正确解题的关键． 根据锐角三角函数的定义求出，再根据勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴，即，解得：， ， ． 故选：A． 5. 如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（　　） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：1 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，从而判定△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE的面积：△ABC的面积==1：4， ∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3； 故选B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的运用相关性质定理和判定定理． 6. 如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦值、勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识点，在网格中构造直角三角形是解题的关键． 如图：根据网格以及勾股定理及其逆定理确定格点D，使得是直角三角形，根据勾股定理得出的长，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：确定格点D，使得是直角三角形， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据a，b的取值分类讨论即可． 【详解】解：若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意； 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意； 若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意； 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键． 8. 下列各式中，一定是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要反比例函数的定义，掌握形如（为常数且）或（）的函数是反比例函数成为解题的关键． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，即，符合的形式，且，因此一定是反比例函数，符合题意； B．，属于正比例函数（），不是反比例函数，不符合题意； C．，若未明确，当时，，因此不一定是反比例函数，不符合题意； D．不满足的形式，因此不是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 9. 已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数成为解题的关键． 先根据反比例函数的定义求得k的值，然后由给点的横纵坐标相乘结果是的就在此函数图象上，据此即可解答． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴， ∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为点在函数图象上． A、因为，所以该点不在双曲线上，故A选项不符合题意； B、因为，所以该点不在双曲线上，故B选项不符合题意； C、因为，所以该点不在双曲线上，故C选项不符合题意； D、因为，所以该点在双曲线上，故D选项符合题意． 故选：D． 10. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ ） A. 不大于 B. 不小于 C. 不大于 D. 不小于 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，理解反比例函数的性质成为解题的关键． 根据题意有：当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象过点，求其解析式；再求出气球内的气压不大于时，气体体积的取值范围即可． 【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为， ∵图象过 ∴，解得：， ∴ ∴当时， ． 故选B． 二．填空题（每题5分，共20分） 11. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．根据坡度等于坡角的正切即可求解． 【详解】解：设坡角为， 由题意得，， ． 故答案为：． 12. 如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的综合问题，理解k的几何意义是解题的关键．先根据反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称可知，即可得出，再根据k的几何意义得，最后根据图象的位置得出答案． 【详解】∵反比例函数和正比例函数的图象相交于点A，B， ∴这两个点关于原点对称， ∴， ∴， ∴． ∵反比例函数图象位于第一，三象限， 可知， ∴， ∴反比例函数关系式为． 故答案为：． 13. 已知矩形中，，，点E为延长线上一点，若，连接，M为的中点， P、Q为边上两个动点，且，连接P、B、M、Q，则四边形周长的最小值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】由于和是定值，只要最小，利用对称确定出就是的最小值，最后利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图1， 过点Q作交于G，作点G关于的对称点，连接， 当点，Q，M在同一条线上时，最小，而和是定值， 此时，四边形周长最小， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 如图2， 在中，，， ， ∵ ， ∵M为 的中点， ，， 在中，，， 中，， ， 在中，， 四边形周长最小值为 ， 故答案为： 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性，确定出的最小值是解本题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍，则点对应点的坐标为：______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】过作轴于，根据等边三角形的性质以及点的坐标，可求出点的坐标，再由面积比可以得到位似比，从而根据位似变换的性质，求出的坐标． 【详解】解：等边三角形的顶点，， ， 过作轴于， 是等边三角形， ， ， 与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍， 与位似为， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 三．解答题（共9小题） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 一个容器盛满纯药液，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液．每次倒出的液体是多少升？ 【答案】 【解析】 【分析】设每次倒出液体，第一次倒出后还有纯药液（20-x）L，药液的浓度为，再倒出后，倒出纯药液，利用就是剩下的纯药液，据此列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每次倒出液体，根据题意，得 整理得， 解得： 经检验，．不符合题意，舍去， 答：每次倒出的液体是． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系列方程是解题关键． 17. 某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午活动课的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．经测量，站在旗杆底部的小红（）落在地面上的影长为3米，同一时刻，测得旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分影子落在了教学楼上（），已知旗杆和教学楼的水平距离为18米，影长为米，小红的身高是米，且B、F、C三点在同一条直线上，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题的关键． 延长交延长线于点M，证明，利用相似三角形的性质求出，得到的长，再证明，利用相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：延长交延长线于点M， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为米． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标； （2）的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标． 【答案】（1）点P的坐标为，点的坐标为； （2）点在中的对应点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）设点在中的对应点的坐标为，根据中点的性质，求出点的坐标即可． 小问1详解】 解：如图，点为所作； ； 点P的坐标为，点B的对应点的坐标为； 【小问2详解】 解：设点在中的对应点的坐标为， ∵位似中心P的坐标为，点M的坐标为， ∴，， 解得，． ∴点在中的对应点的坐标为． 19. 画出下列几何体的三种视图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图之间的数量关系是解决问题的关键． 根据三视图的观察角度不同分别画出符合题意的视图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 20. 如图，楼和塔之间的距离为，小明在楼底处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶测得塔顶的仰角为，求楼高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．证明四边形是矩形，可得，然后分别在和中，求出和的长，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 答：大楼的高为． 21. 已知函数，且与成反比例，与成正比例，当时，，又该函数的图像经过点，求与之间的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． 设，，可得，再利用待定系数法解答即可． 【详解】解：根据题意，可设，， ∴， ∵当时，，又该函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式． 22. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃．煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.(如图)已知该材料初始温度是32 ℃． (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】(1）锻造时的函数关系式为；煅烧时的函数关系式为；(2) 4分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把代入中，求解得出答案即可． 【详解】解：（1）停止加热时，设， 由题意得，解得， 当时，， 解得， 点B的坐标为（6，800）； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． 材料加热时，与的函数关系式为， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． （2）把代入中， 得 分钟． 故锻造的操作时间为4分钟． 【点睛】考点：反比例函数的应用． 23. 如图，在四边形ABCD中，，．点P从A点出发，沿AB向点B匀速运动，同时点Q从B点出发，沿BC向点C匀速运动，运动速度均为的速度，当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为． （1）求线段AB的长度； （2）t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻t，使？若存在，直接写出此时t值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）AB=25cm （2）或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似 （3）当t=1时，四边形DPQC的面积等于144cm （4）存在，使，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC=15，再利用△ACB∽△CDA，得出求解即可； （2）由（1）知，∠B=∠DAC，分△BPQ∽△ADC时或△BPQ∽△ACD时，分别根据对应边成比例求解即可； （3）作QH⊥AB于H，根据四边形DPQC的面积=S梯形ABCD-S△ADP-S△BPQ，列出方程解方程即可； （4）利用△DAP∽△PHQ，得，化简得一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 ， ∴由勾股定理得，， ， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ADC， ， ∴∠ACD=∠CAB， ∴△ACB∽△CDA， ，即， ∴AB=25cm； 【小问2详解】 由题意知，BP=25-5t，BQ=5t， 由（1）知，∠B=∠DAC， 当△BPQ∽△ADC时， ，即， 解得； 当△BPQ∽△ACD时， ，即， 解得； 综上，或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 过点Q作QH⊥AB于点H， ∵BQ=5t，则QH=3t， ∴四边形DPQC的面积=S梯形ABCD-S△ADP-S△BPQ ， 整理得， 解得t1=1，t2=8(舍去)， ∴当t=1时，四边形DPQC的面积等于144cm2； 【小问4详解】 当DP⊥PQ时， ∴∠DPQ=90°， ∴∠DPA+∠QPH=90， ∵∠APD+∠ADP=90°， ∴∠ADP=∠QPH， ∵∠DAP=∠QHP， ∴△DAP∽△PHQ， ，即， 解得， 存在，使． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级第三次纠错练习数学 一．选择题（共10小题） 1. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 如图：点E、F为线段BD两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 3. 如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则（ ） A B. C. D. 无法确定 5. 如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（　　） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：1 6. 如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 8. 下列各式中，一定是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 10. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ ） A 不大于 B. 不小于 C. 不大于 D. 不小于 二．填空题（每题5分，共20分） 11. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 12. 如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为______． 13. 已知矩形中，，，点E为延长线上一点，若，连接，M为的中点， P、Q为边上两个动点，且，连接P、B、M、Q，则四边形周长的最小值为____________________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的4倍，则点对应点的坐标为：______ ． 三．解答题（共9小题） 15. 计算：． 16. 一个容器盛满纯药液，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液．每次倒出的液体是多少升？ 17. 某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午活动课的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．经测量，站在旗杆底部的小红（）落在地面上的影长为3米，同一时刻，测得旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分影子落在了教学楼上（），已知旗杆和教学楼的水平距离为18米，影长为米，小红的身高是米，且B、F、C三点在同一条直线上，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆的高度． 18. 在如图方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标； （2）的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标． 19. 画出下列几何体的三种视图． 20. 如图，楼和塔之间的距离为，小明在楼底处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶测得塔顶的仰角为，求楼高． 21. 已知函数，且与成反比例，与成正比例，当时，，又该函数的图像经过点，求与之间的函数关系式． 22. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃．煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.(如图)已知该材料初始温度是32 ℃． (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 23. 如图，在四边形ABCD中，，．点P从A点出发，沿AB向点B匀速运动，同时点Q从B点出发，沿BC向点C匀速运动，运动速度均为的速度，当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为． （1）求线段AB的长度； （2）t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻t，使？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$