第2章 解直角三角形（单元测试·基础卷）数学青岛版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 解直角三角形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在中，，已知，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 3．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．的值等于（     ） A．0 B．1 C． D． 5．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕（　　　） A． B． C．8 D．10 7．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．在中，∠B=900，，则 ． 11．如图，在中，，，若，则的长为 ． 12．在中，满足：，则的形状为 ． 13．如图所示，在长方形中，对角线，点P 是上一动点，连接，将 沿 折叠，点A 的对应点是，当点落在边 的垂直平分线上时， 的度数为 ．    14．新石器时代的河姆渡人为使房子与地面隔离而达到有效的防潮，建造了如图①所示的干栏式房屋，图②为其正面简易图，若米，在点处测得房檐处的俯角为，距离为米，则房屋的高度约为 米． 15．如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为 ． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）计算：． 17．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 18．（本题6分）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 19．（本题6分）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 20．（本题6分）暮色初临，饥肠辘辘的小江在手机上点了晚餐订单．如图所示，小江家位于点A处，此时，外卖员小津正在位于点A处南偏东方向的饭店D处取餐，取餐后即刻前往A地送餐．然而，连接A与D的道路因施工被封锁，小津面临两条截然不同的送餐路线：和．已知，点B在点D的正西方，且处于点A的正南方，米；点C位于点D的正东方，且处于点A的东南方．（参考数据：，） (1)求C、D两地的距离；（结果保留根号） (2)如果外卖员小津的速度为5米/秒，请你帮小津算一算，哪条路最快到达目的地？（结果精确到0.1米） 21．（本题8分）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 22．（本题8分）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 23．（本题8分）如图，在四边形中，，，对角线相交于点，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点．若，，求的长． 24．（本题11分）如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．    (1)的长为____________； (2)当时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，为等腰三角形； (4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 25．（本题12分）定义：如果三角形上有两点，其中一点为一边的中点，如果这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分，我们称这条线段为该三角形的“等分周线”，如图1，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上，若BD+BE＝CD+AC+AE，则DE为△ABC的一条“等分周线”． 概念理解 (1)任意三角形的“等分周线”有＿＿＿条，若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，则这个三角形是＿＿＿； 规律探究 (2)如图1，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上，DE为△ABC的一条“等分周线”．设∠A＝n°，AC＝m． ①若AB＝AC，DE的长（用含m，n的代数式表示）； ②若AB＞AC，请问：DE的长度是否发生改变，并说明理由． 拓展应用 (3)如图2，在四边形ABCD中，BC＝2CD，AC平分∠BCD，BA⊥AC，点E在线段AC上，连接ED，EB，AB＝，CE＝+1，∠BEC＝120°，求ED的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 解直角三角形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在中，，已知，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 3．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．的值等于（     ） A．0 B．1 C． D． 5．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕（　　　） A． B． C．8 D．10 7．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．在中，∠B=900，，则 ． 11．如图，在中，，，若，则的长为 ． 12．在中，满足：，则的形状为 ． 13．如图所示，在长方形中，对角线，点P 是上一动点，连接，将 沿 折叠，点A 的对应点是，当点落在边 的垂直平分线上时， 的度数为 ．    14．新石器时代的河姆渡人为使房子与地面隔离而达到有效的防潮，建造了如图①所示的干栏式房屋，图②为其正面简易图，若米，在点处测得房檐处的俯角为，距离为米，则房屋的高度约为 米． 15．如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为 ． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）计算：． 17．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 18．（本题6分）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 19．（本题6分）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 20．（本题6分）暮色初临，饥肠辘辘的小江在手机上点了晚餐订单．如图所示，小江家位于点A处，此时，外卖员小津正在位于点A处南偏东方向的饭店D处取餐，取餐后即刻前往A地送餐．然而，连接A与D的道路因施工被封锁，小津面临两条截然不同的送餐路线：和．已知，点B在点D的正西方，且处于点A的正南方，米；点C位于点D的正东方，且处于点A的东南方．（参考数据：，） (1)求C、D两地的距离；（结果保留根号） (2)如果外卖员小津的速度为5米/秒，请你帮小津算一算，哪条路最快到达目的地？（结果精确到0.1米） 21．（本题8分）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 22．（本题8分）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 23．（本题8分）如图，在四边形中，，，对角线相交于点，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点．若，，求的长． 24．（本题11分）如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．    (1)的长为____________； (2)当时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，为等腰三角形； (4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 25．（本题12分）定义：如果三角形上有两点，其中一点为一边的中点，如果这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分，我们称这条线段为该三角形的“等分周线”，如图1，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上，若BD+BE＝CD+AC+AE，则DE为△ABC的一条“等分周线”． 概念理解 (1)任意三角形的“等分周线”有＿＿＿条，若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，则这个三角形是＿＿＿； 规律探究 (2)如图1，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上，DE为△ABC的一条“等分周线”．设∠A＝n°，AC＝m． ①若AB＝AC，DE的长（用含m，n的代数式表示）； ②若AB＞AC，请问：DE的长度是否发生改变，并说明理由． 拓展应用 (3)如图2，在四边形ABCD中，BC＝2CD，AC平分∠BCD，BA⊥AC，点E在线段AC上，连接ED，EB，AB＝，CE＝+1，∠BEC＝120°，求ED的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 解直角三角形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在中，，已知，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】解：如图， 在中，，已知， ， ∴ 故选：B． 2．若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（    ） A．扩大14倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 【答案】D 【解析】解：锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 故选：D． 3．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵在中， ∴， 故选：B． 4．的值等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解： 故选：A． 5．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，，且， ∴； 故选A． 6．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕（　　　） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【解析】解：由题意，∠C=90°， ∴CE=3 ∵中，∠C=90°， ∴ ∵是折叠而来 ∴， ∵矩形ABCD ∴ ∵， ∴ ∴tan∠BAF=tan∠EFC=， 即， ∴ ∴ ∴ 故选：B 7．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 9．如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．在中，，，则 ． 【答案】 【解析】解：在直角中，， ， 所以， 故答案为：． 11．如图，在中，，，若，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 13．如图所示，在长方形中，对角线，点P 是上一动点，连接，将 沿 折叠，点A 的对应点是，当点落在边 的垂直平分线上时， 的度数为 ．    【答案】或 【解析】解：如图，连接交于，    ∵在长方形中，对角线， ∴，，， ∴，，在的垂直平分线上， 如图：当落在线段的上方时，重合时，如图：则，，    ∴是等边三角形， ∴． 当落在线段的下方时，重合时，落在直线上，如图，    ∴， ∴； 综上，的度数是或． 故答案为：或． 14．新石器时代的河姆渡人为使房子与地面隔离而达到有效的防潮，建造了如图①所示的干栏式房屋，图②为其正面简易图，若米，在点处测得房檐处的俯角为，距离为米，则房屋的高度约为 米． 【答案】 【解析】解：如图：过点A作，垂足为F， 由题意得：米，米，， ∴， 在中，（米）， ∴（米）， ∴房屋的高度约为3.54米， 故答案为：3.54． 15．如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为 ． 【答案】 【解析】解：连接，过O作于H， ∵，，E、F分别是和的中点， ∴，， 在中，， ∴当最大时，最大， 在中，， ∴当H、E重合时，取最大值，最大值为， ∴， 故答案为：． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）计算：． 【答案】 【解析】解： ． 17．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】【解】解： ， 当时，原式． 18．（本题6分）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 【答案】200mm 【解析】解：，， ． 根据题意，得，． 在中，， ． 在中，， ． 矩形的周长． 19．（本题6分）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【解析】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 20．（本题6分）暮色初临，饥肠辘辘的小江在手机上点了晚餐订单．如图所示，小江家位于点A处，此时，外卖员小津正在位于点A处南偏东方向的饭店D处取餐，取餐后即刻前往A地送餐．然而，连接A与D的道路因施工被封锁，小津面临两条截然不同的送餐路线：和．已知，点B在点D的正西方，且处于点A的正南方，米；点C位于点D的正东方，且处于点A的东南方．（参考数据：，） (1)求C、D两地的距离；（结果保留根号） (2)如果外卖员小津的速度为5米/秒，请你帮小津算一算，哪条路最快到达目的地？（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)最快到达目的地 【解析】（1）解：由题意，得，，， ∴在中，(米)， 在中， ∴， ∴(米)， ∴ (米)， 答：C、D两地的距离为米． （2）解：在中，∵(米) ∴(米) ∵(米) ∴送餐路线：的距离为(米)， 送餐路线：的距离为(米)， ∵外卖员小津的速度为5米/秒，， ∴最快到达目的地． 21．（本题8分）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 22．（本题8分）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【解析】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（本题8分）如图，在四边形中，，，对角线相交于点，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， ， ， 即， ， 即的长为． 24．（本题11分）如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．    (1)的长为____________； (2)当时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，为等腰三角形； (4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)秒 【解析】（1）解：作，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：作交于点G，如图所示：    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）解：时：      即：， 解得：； 时：作，    则， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：； 时：作，    则， ∵， ∴， ∴， 即：； 解得：； 综上所述：当或或时，为等腰三角形 （4）解：由（1）可知：， 当时，如图所示：   ， 解得：； 当时，如图所示：   ， 解得：； ∵点M从点B运动到图6中点M的位置的过程中；点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，是锐角三角形；点M从图7中点M的位置继续向点C运动时，， ∴是锐角三角形时t持续的时长为：秒 25．（本题12分）定义：如果三角形上有两点，其中一点为一边的中点，如果这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分，我们称这条线段为该三角形的“等分周线”，如图1，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上，若BD+BE＝CD+AC+AE，则DE为△ABC的一条“等分周线”． 概念理解 (1)任意三角形的“等分周线”有＿＿＿条，若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，则这个三角形是＿＿＿； 规律探究 (2)如图1，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上，DE为△ABC的一条“等分周线”．设∠A＝n°，AC＝m． ①若AB＝AC，DE的长（用含m，n的代数式表示）； ②若AB＞AC，请问：DE的长度是否发生改变，并说明理由． 拓展应用 (3)如图2，在四边形ABCD中，BC＝2CD，AC平分∠BCD，BA⊥AC，点E在线段AC上，连接ED，EB，AB＝，CE＝+1，∠BEC＝120°，求ED的长． 【答案】(1)3，等腰三角形 (2)①AD＝m•cos ②DE的长度不发生改变，理由见解析 (3)ED＝ 【解析】（1）由题意得，任意三角形的“等分周线”有3条， 因为三角形有三条边，即存在三个线段中点，则等分周线的一个端点确定即为一条边的中点，另外的一个端点将其他两条边长度平分，而这个点则也是只有唯一的一个，因此任意三角形的“等分周线”有3条； 若某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点，则另一点为一边的中点，将这个三角形分成周长相等的两部分，则可知另外两条边也相等， ∴这个三角形是等腰三角形， 故答案为：3，等腰三角形； （2）①由（1）得，AB＝AC，点A与点E重合，如图： ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠DAC＝∠BAC＝，AD⊥BC， ∴cos∠DAC=， ∴AD＝m•cos； ②DE的长度不发生改变， 理由：延长BA到F，使AF＝AC，连接FC，过点A作AG⊥CF于点G， ∴△ACF为等腰三角形， ∴CG＝FG＝CF，∠AGC＝90°，∠ACF＝∠AFC， ∵∠BAC＝n°， ∴∠BAC＝∠ACF+∠AFC＝n°， ∴∠ACF＝∠AFC＝∠BAC＝， ∵ED为△ABC的等分周线， ∴EB+BD＝CD+AC+AE， ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∴EB＝AC+AE＝AE+AF＝EF． ∴E为BF的中点， ∴， ∴ED＝CF＝CG， 在Rt△ACG中，AC＝m， ∴， ∴ED＝，即ED为定值； （3）取线段BC中点的点F，连接EF， ∵∠BEC＝120°， ∴∠BEA＝180°﹣∠BEC＝60°， ∵BA⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝， 在Rt△ABE中， ， ， ∵EC＝， ∴AB+AE＝＝CE， ∵点F为BC的中点 ∴BF＝CF， ∴AB+AE+BF＝CE+CF， ∴EF为△ABC的一条等分周线， 由（2）知，EF＝AB•cosC＝＝， ∵BC＝2CD， ∴CD＝CF， ∵AC平分∠BCD， ∴∠FCE＝∠DCE， 在△FCE和△DCE中， ， ∴， ∴ED＝EF＝． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 解直角三角形·基础通关（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B D B A A B C C A 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10. 11. 12. 等边三角形 13. 或 14. 15. 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（4分） 【解析】解： ．（4分） 17．（6分） 【解析】【解】解： ，（4分） 当时，原式．（6分） 18．（6分） 【解析】解：，， ．（2分） 根据题意，得，． 在中，， ．（4分） 在中，， ． 矩形的周长．（6分） 19．（6分） 【解析】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴．（3分） （2）解：∵， ∴， ∴．（6分） 20．（6分） 【解析】（1）解：由题意，得，，， ∴在中，(米)， 在中， ∴， ∴(米)， ∴ (米)， 答：C、D两地的距离为米．（3分） （2）解：在中，∵(米) ∴(米) ∵(米) ∴送餐路线：的距离为(米)， 送餐路线：的距离为(米)， ∵外卖员小津的速度为5米/秒，， ∴最快到达目的地．（6分） 21．（8分） 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴．（4分） （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴．（8分） 22．（8分） 【解析】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1；（3分） （2）由（1）可得： ；（4分） （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴．（8分） 23．（8分） 【解析】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形；（4分） （2）解：∵四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， ， ， 即， ， 即的长为．（8分） 24．（11分） 【解析】（1）解：作，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（1分） （2）解：作交于点G，如图所示：    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（4分） （3）解：时：      即：， 解得：； 时：作，    则， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：； 时：作，    则， ∵， ∴， ∴， 即：； 解得：； 综上所述：当或或时，为等腰三角形（7分） （4）解：由（1）可知：， 当时，如图所示：   ， 解得：； 当时，如图所示：   ， 解得：； ∵点M从点B运动到图6中点M的位置的过程中；点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，是锐角三角形；点M从图7中点M的位置继续向点C运动时，， ∴是锐角三角形时t持续的时长为：秒（11分） 25．（12分） 【解析】（1）由题意得，任意三角形的“等分周线”有3条， 因为三角形有三条边，即存在三个线段中点，则等分周线的一个端点确定即为一条边的中点，另外的一个端点将其他两条边长度平分，而这个点则也是只有唯一的一个，因此任意三角形的“等分周线”有3条； 若某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点，则另一点为一边的中点，将这个三角形分成周长相等的两部分，则可知另外两条边也相等， ∴这个三角形是等腰三角形， 故答案为：3，等腰三角形；（2分） （2）①由（1）得，AB＝AC，点A与点E重合，如图： ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠DAC＝∠BAC＝，AD⊥BC， ∴cos∠DAC=， ∴AD＝m•cos；（4分） ②DE的长度不发生改变， 理由：延长BA到F，使AF＝AC，连接FC，过点A作AG⊥CF于点G， ∴△ACF为等腰三角形， ∴CG＝FG＝CF，∠AGC＝90°，∠ACF＝∠AFC， ∵∠BAC＝n°， ∴∠BAC＝∠ACF+∠AFC＝n°， ∴∠ACF＝∠AFC＝∠BAC＝， ∵ED为△ABC的等分周线， ∴EB+BD＝CD+AC+AE， ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∴EB＝AC+AE＝AE+AF＝EF． ∴E为BF的中点， ∴， ∴ED＝CF＝CG， 在Rt△ACG中，AC＝m， ∴， ∴ED＝，即ED为定值；（7分） （3）取线段BC中点的点F，连接EF， ∵∠BEC＝120°， ∴∠BEA＝180°﹣∠BEC＝60°， ∵BA⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝， 在Rt△ABE中， ， ， ∵EC＝， ∴AB+AE＝＝CE， ∵点F为BC的中点 ∴BF＝CF， ∴AB+AE+BF＝CE+CF， ∴EF为△ABC的一条等分周线， 由（2）知，EF＝AB•cosC＝＝， ∵BC＝2CD， ∴CD＝CF， ∵AC平分∠BCD， ∴∠FCE＝∠DCE， 在△FCE和△DCE中， ， ∴， ∴ED＝EF＝．（12分） 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