第2章 解直角三角形（单元测试·提升卷）数学青岛版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 解直角三角形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， 故选A． 2．如图所示，电线杆的高度为5米，两根拉线与交于点在同一条直线上，，则拉线的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，，， ∴，即， 解得：米． 故选：C． 3．如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】如图： 在中， ， ， 故选：B． 4．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 5．如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长 至点，使，连接，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， 当最大时，最小． 过点A作 交的延长线于点， ∴， 当且仅当 时等号成立，此时最大，， 的最小值为， 故选：D． 6．如图， 在中， ， 以点A 为圆心， 小于的长为半径作弧分别交，于点 M，N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线，交于点 D， 过点 D作交于点 E， 若 则的长为 （    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：由作图过程可知，射线为的角平分线， 所以， 因为，即， 所以， 所以， 所以，即为等腰三角形， 所以， 在中， 所以， 由勾股定理可得，， 所以 ． 故选：B ． 7．如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每6次旋转1周．， 如图，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，经过次旋转后，点转到点D的位置，则，，过点D作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴点D的坐标是， 故选：A 8．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作，由题意，可知：，， ∴， ∴，， ∴， 故选C． 9．如图，在正方形中，、分别是边、的中点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是(    ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形， ，， 、分别是边，的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ，即为直角三角形， ， 也是直角三角形， ； ；． 故①正确； 由①得，， ， ， ， ， ， 故②正确； 由①得，， 由②得，， ， ， ， ，而不是， 故③错误； ， ， 即， 同理可得：， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：D． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若，则折痕的长为 ． 【答案】2 【详解】解：过点F作矩形纸片的另一边于H，如下图： 则， ∵矩形纸片两边平行， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 故答案为：2 11．在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 12．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 【答案】或或 【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为：或或． 13．已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ∴两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为， 故答案为． 14．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    【答案】5 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 15．如图，在中，，D、E分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点C作，且，过点B作交的延长线于点H，连接交于点F， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴当G，E，B三点共线时，取得最小值即点E与点F重合，取得最小值， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析（作法不唯一） 【详解】解：如图所示，以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于两点，连接这两点班延长分别交于点E，D，点E为所求； 是的垂直平分线， ， ． 17．（本题9分）化简或计算： (1)． (2)小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式＝ 先化简，再求值：，其中 解：原式① ② 当时，原式③ 编辑 我的解答正确吗？ 【答案】(1) (2)①；，，过程见解析 【详解】（1）解：原式 ； （2）（）解：这个解答从第①步开始出现错误； 正确解答为： 解：原式 ， 当时，原式， 故答案为：①． 18．（本题6分）如图，在中，AD是BC边上的高，，，求BC的长． 【答案】 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即BC的长． 19．（本题6分）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    【答案】 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，   ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 20．（本题6分）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【详解】解：过点E作，垂足为点H， 由题意可知： ，， 在中， ∵， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的值为1.3 21．（本题8分）如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作于点，如图． ， ， 又， ，． 在中，， 在中，． （2）解：过点作于点，如图． 由已知可得：， ， ， ， ． ． 22．（本题8分）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 23．（本题8分）如图，菱形中，以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点． (1)求证：； (2)连结，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴为的中垂线， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的中垂线， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 则 解得， ∴． 24．（本题10分）在校园科技节活动中，学校布置了一项挑战任务：精准测量学校教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪；②皮尺． （2）实地测量数据 ①测量示意图如图所示； ②测量数据如下：教学楼前台阶的斜坡的长为米，坡比，在离点，米的点处，测得教学楼顶端的仰角为； ③测量数据说明：点，，，在同一平面内，． （3）计算教学楼的高度 请根据以上数据，计算教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】教学楼的高度为米 【详解】解：延长交于点，如图， 的坡度， ， 设，则， ∴， ∵的长为米， ∴， 解得：， ∴（米），（米） 在中，， 即， ， 解得米． 答：教学楼的高度为米． 25．（本题10分）（1）如图，将一张长方形纸片沿线段折叠．C点对应点落在处，D点对应点落在处，交于G点． ①求证：为等腰三角形； ②若，求重叠部分的面积． （2）另取一张长方形纸片，在边上找一点E并沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在下图中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． （3）长方形纸片时，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析，②（2）见解析，（2）或． 【详解】（1）解：①∵纸片为矩形，则， ， 由折叠的性质知，， 为等腰三角形， ②过点G作于点H，则， 则利用勾股定理：， 则的面积； （2）解：以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E， 作图过程如下： ． （3）当点落在矩形的外部时，过点作于点H，交于点N，则， 由题意得：，， ∵点恰好落在的垂直平分线上， 故， 在中， ，则，则， ∴， ， ， 在中，， 解得：， 则． 当点落在矩形内部时，过点作于点H，交于点N，则， 由题意得：，， ∵点恰好落在的垂直平分线上， 故， 在中， ，则，则， ∴， ， ， 在中，， 解得：， 则． 故答案为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 解直角三角形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，电线杆的高度为5米，两根拉线与交于点在同一条直线上，，则拉线的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．1 4．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 6．如图， 在中， ， 以点A 为圆心， 小于的长为半径作弧分别交，于点 M，N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线，交于点 D， 过点 D作交于点 E， 若 则的长为 （    ） A． B． C． D．4 7．如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，、分别是边、的中点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是(    ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若，则折痕的长为 ． 11．在中，若，则是 三角形． 12．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 13．已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 14．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    15．如图，在中，，D、E分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（本题9分）化简或计算： (1)． (2)小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式＝ 先化简，再求值：，其中 解：原式① ② 当时，原式③ 编辑 我的解答正确吗？ 18．（本题6分）如图，在中，AD是BC边上的高，，，求BC的长． 19．（本题6分）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    20．（本题6分）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 21．（本题8分）如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 22．（本题8分）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 23．（本题8分）如图，菱形中，以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点． (1)求证：； (2)连结，若，求的值． 24．（本题10分）在校园科技节活动中，学校布置了一项挑战任务：精准测量学校教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪；②皮尺． （2）实地测量数据 ①测量示意图如图所示； ②测量数据如下：教学楼前台阶的斜坡的长为米，坡比，在离点，米的点处，测得教学楼顶端的仰角为； ③测量数据说明：点，，，在同一平面内，． （3）计算教学楼的高度 请根据以上数据，计算教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 25．（本题10分）（1）如图，将一张长方形纸片沿线段折叠．C点对应点落在处，D点对应点落在处，交于G点． ①求证：为等腰三角形； ②若，求重叠部分的面积． （2）另取一张长方形纸片，在边上找一点E并沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在下图中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． （3）长方形纸片时，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 解直角三角形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，电线杆的高度为5米，两根拉线与交于点在同一条直线上，，则拉线的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．1 4．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 6．如图， 在中， ， 以点A 为圆心， 小于的长为半径作弧分别交，于点 M，N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线，交于点 D， 过点 D作交于点 E， 若 则的长为 （    ） A． B． C． D．4 7．如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，、分别是边、的中点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是(    ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若，则折痕的长为 ． 11．在中，若，则是 三角形． 12．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 13．已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 14．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    15．如图，在中，，D、E分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（本题9分）化简或计算： (1)． (2)小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式＝ 先化简，再求值：，其中 解：原式① ② 当时，原式③ 编辑 我的解答正确吗？ 18．（本题6分）如图，在中，AD是BC边上的高，，，求BC的长． 19．（本题6分）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    20．（本题6分）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 21．（本题8分）如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 22．（本题8分）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 23．（本题8分）如图，菱形中，以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点． (1)求证：； (2)连结，若，求的值． 24．（本题10分）在校园科技节活动中，学校布置了一项挑战任务：精准测量学校教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪；②皮尺． （2）实地测量数据 ①测量示意图如图所示； ②测量数据如下：教学楼前台阶的斜坡的长为米，坡比，在离点，米的点处，测得教学楼顶端的仰角为； ③测量数据说明：点，，，在同一平面内，． （3）计算教学楼的高度 请根据以上数据，计算教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 25．（本题10分）（1）如图，将一张长方形纸片沿线段折叠．C点对应点落在处，D点对应点落在处，交于G点． ①求证：为等腰三角形； ②若，求重叠部分的面积． （2）另取一张长方形纸片，在边上找一点E并沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在下图中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． （3）长方形纸片时，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 解直角三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A C B D D B A C D 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10. 2 11. 等边 12. 或或 13. 或 14. 5 15. 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（4分） 【答案】见解析（作法不唯一） 【详解】解：如图所示，以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于两点，连接这两点班延长分别交于点E，D，点E为所求； （4分） 是的垂直平分线， ， ． 17．（9分） 【答案】(1) (2)①；，，过程见解析 【详解】（1）解：原式 ；（4分） （2）（）解：这个解答从第①步开始出现错误； 正确解答为： 解：原式 ， 当时，原式， 故答案为：①．（9分） 18．（6分） 【答案】 【详解】解：∵是边上的高， ∴，（1分） ∵， ∴，（3分） ∴，（4分） ∴，（5分） ∴， 即BC的长．（6分） 19．（6分） 【答案】 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，   （1分） ，， ，，，，（2分） ， ，（3分） ，， ，（4分） 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为．（6分） 20．（6分） 【答案】 【详解】解：过点E作，垂足为点H， （1分） 由题意可知： ，， 在中， （2分） ∵， ∴，（3分） ∴（4分） 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， （5分） ∴， ∴ ∴的值为1.3.（6分） 21．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作于点，如图． （1分） ， ， 又， ，．（2分） 在中，， 在中，．（4分） （2）解：过点作于点，如图． 由已知可得：，（5分） ， ，（6分） ， ．（7分） ．（8分） 22．（8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴．（4分） （2）解：∵，且， ∴．（8分） 23．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴为的中垂线， ∴；（2分） （2）解：如图，连接， （3分） ∵为的中垂线， ∴，（4分） ∵菱形， ∴， ∴，（5分） ∵， ∴， ∴，（6分） 设，则，， 则 解得， ∴．（8分） 24．（10分） 【答案】教学楼的高度为米 【详解】解：延长交于点，如图， （1分） 的坡度， ，（2分） 设，则， ∴， ∵的长为米， ∴， 解得：，（5分） ∴（米），（米）（6分） 在中，， 即，（8分） ， 解得米． 答：教学楼的高度为米．（10分） 25．（10分） 【答案】（1）①见解析，②（2）见解析，（2）或． 【详解】（1）解：①∵纸片为矩形，则， ， 由折叠的性质知，， 为等腰三角形，（2分） ②过点G作于点H，则， 则利用勾股定理：， 则的面积；（4分） （2）解：以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E， 作图过程如下： ．（6分） （3）当点落在矩形的外部时，过点作于点H，交于点N，则， 由题意得：，， ∵点恰好落在的垂直平分线上， 故，（7分） 在中， ，则，则， ∴， ， ， 在中，， 解得：， 则．（8分） 当点落在矩形内部时，过点作于点H，交于点N，则， 由题意得：，， ∵点恰好落在的垂直平分线上， 故，（9分） 在中， ，则，则， ∴， ， ， 在中，， 解得：， 则． 故答案为或．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 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