专题2.1 图形的轴对称（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题2.1 图形的轴对称 教学目标 1.理解轴对称图形和对称轴的概念，能识别常见的轴对称图形并找出其对称轴。 2.通过观察、操作等活动，经历探究图形轴对称特性的过程，培养空间观念和动手能力。 3.感受轴对称图形的对称美，激发对数学图形的兴趣，体会数学与生活的联系。 教学重难点 1.重点 掌握轴对称图形和对称轴的概念，能准确识别轴对称图形并找出对称轴 2.难点 理解轴对称的本质特征，即沿对称轴折叠后两部分完全重合，以及在复杂图形中准确确定对称轴。 知识点01 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 【即学即练】 1．代小篆是汉字演变的重要形态，其笔画匀称端庄．下列四幅小篆的书法中，不是轴对称的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D是轴对称的图形，不符合题意，B不是轴对称的图形，符合题意； 故选：B． 知识点02 轴对称的性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【即学即练】 1．如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确； ∴，，所以结论②和③正确； 综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意， 故选：C． 2．如图，在中，，，与关于直线对称，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，轴对称图形的性质，先由三角形内角和定理得到，再由轴对称图形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点03 画轴对称的图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 【即学即练】 1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点A，B，C均在格点（网格线的交点）上． (1)请作出关于直线对称的． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可作出关于直线对称的； （2）根据割补法即可求的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． 题型01轴对称图形的识别 【典例1】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式1】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别． 根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A是轴对称图形，故符合题意； B不是轴对称图形，故不符合题意； C不是轴对称图形，故不符合题意； D不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：A． 【变式2】下列图形是2024年夏季奥林匹克运动会部分比赛项目的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的判定，抓住一个图形沿一条直线对折后与原图形重合的图形 是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐一分析判定． 【详解】A、B、D选项中的图形，不能找到一条直线，把图形沿这条直线折叠后与原图形重合，不是轴对称图形，不符合题意； C选项中的图形，沿正中竖直的直线折叠后与原图形重合，是轴对称图形，符合题意； 故选：C． 题型02根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例2】如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【详解】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 【变式1】如果两个图形关于某条直线对称，下列说法中错误的是（   ） A．这两个图形的形状相同，大小相等 B．对应线段的长度相等 C．对称点的连线互相平行或在同一条直线上 D．对称点之间的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，理解并掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质进行分析即可求解． 【详解】解：如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形是轴对称图形， ∴这两个图形的形状相同，大小相等，故A选项正确，不符合题意； 对应线段的长度相等，故B选项正确，不符合题意； 对称点的连线互相平行或在同一条直线上，故C选项正确，不符合题意； 对称点之间的距离不一定相等，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 【变式2】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ， ，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 【变式3】如图，和关于直线l对称，下列结论正确的有（   ） ①；②；③直线l垂直平分线段 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质：关于某直线对称的两个三角形全等，且对应角相等，对应边相等，对称轴垂直平分对应点的连线，且平分对应点与对称轴上某点连线的夹角，依次判断即可． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，直线l垂直平分， ∴，， 所以正确的有3个， 故选：D． 题型03根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例3】如图，与关于直线对称，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等，根据轴对称的性质得出，根据全等三角形的性质得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵与关于直线对称， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶D． 【变式1】如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答．连接，利用轴对称的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：连接，    ∵D点分别以、为对称轴，对称点E、F， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（   ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出，，进而得到得出，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，，， ∴的周长 ． 故选：B． 【变式3】如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，其中，，则的度数是 ； 【答案】/65度 【分析】本题考查了轴对称的性质以及多边形的内角和定理，掌握四边形内角和是 360 度是解决问题的关键． 利用四边形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形， ， ∴， 故答案为：． 题型04求对称轴条数 【典例4】下列图形中，对称轴最少的是（   ） A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了求对称轴条数，熟练掌握常见的轴对称图形的对称轴的条数是解题的关键． 分别列出各选项图形的对称轴条数，进行比较即可． 【详解】解：A圆有无数条对称轴； B等边三角形有条对称轴； C正方形有条对称轴； D等腰三角形只有条对称轴； 对称轴最少的图形是等腰三角形， 故选：． 【变式1】下列图形中，对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴的数量，正确掌握轴对称图形对称轴的数量是关键．根据对称轴的概念判断即可． 【详解】由轴对称图形的意义可知： A、同心圆有无数条对称轴； B、等边三角形有3条对称轴； C、正六边形有6条对称轴； D、正八边形有8条对称轴； 所以对称轴条数最多的是同心圆； 故选：A． 【变式2】在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴这个图案的对称轴条数为， 故选：． 【变式3】如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了对称轴的数量，根据对称轴的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，即， A、涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； B、涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； C、涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有条，符合题意； D、涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； 故选：C． 【变式4】下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：A． 圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意； B． 正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意； C． 梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意； D．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意． 故选：D． 题型05台球桌面上的轴对称问题 【典例5】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式1】如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 【变式2】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【答案】（3，0） 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2023除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2023÷6=337…1， 当点P第2023次碰到矩形的边时为第338个循环组的第1次反弹，点P的坐标为（3，0）， 故答案为：（3，0）． 【点睛】本题考查了台球桌面上的对称、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 题型06轴对称中的光线反射问题 【典例6】如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反射问题，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握反射角等于入射角是解题关键．延长与交于点，由反射定理可得，结合平行线的性质得到，再利用对顶角相等和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长与交于点， 由反射定理可得， ，， ， ， ， ， 即太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是， 故选：D． 【变式2】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，再利用平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解． 【详解】如图， 由题意得，∠1=∠θ=∠3，由镜面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2=∠θ=∠4， ∴∠θ=60°， 故选C． 【点睛】本题考查了镜面对称问题，需注意利用反射的性质、平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解是正确解答本题的关键． 题型07折叠问题 【典例7】如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，进而得出． 【详解】解：如图，延长到点， 纸带对边互相平行，， ， ， ， 由折叠可得，， ， 故选：C． 【变式1】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的点处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠的性质得到对应角相等，再结合三角形外角的性质进行推导．本题主要考查了折叠的性质和三角形外角的性质，熟练掌握折叠前后对应角相等以及三角形外角等于不相邻两个内角和是解题的关键． 【详解】解：折叠， ， ，， ， ，，， ； 故选：． 【变式2】如图，将长方形纸条折叠，若，则 °． 【答案】68 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），先利用平角定义可得：，然后利用折叠的性质可得：，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：68． 【变式3】将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则 ． 【答案】/124度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，在图1中由平行线的性质可得，，则由折叠的性质可得，据此求出，则由折叠的性质可得答案． 【详解】解：根据题意，，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， 由折叠的性质可得． 故答案为：． 题型08车牌号码/钟面/电子表的镜面对称 【典例3】小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质，根据在平面镜中的像与现实中得事物刚好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，分析即可求解． 【详解】解：根据镜面对称得性质，分析可得此时的时间应是． 故选：A． 【变式1】时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 【变式2】小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 【变式3】在镜子上看到时间是，那么实际时间为 ． 【答案】 【分析】根据镜面对称的特征进行作答即可． 【详解】 解：在镜子里看见的时间是，实际时间是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称内容，涉及电子钟示数的镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好是左右颠倒，且关于镜面对称，难度中等， 题型09画轴对称图形 【典例9】如图，的顶点都在格点上，其中，，． (1)画出关于轴对称的图形并写出点，，的坐标； (2)画出关于直线 对称的，若点是内一点，请写出内对称点的坐标 【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析， 【分析】本题考查了轴对称作图，坐标的计算，熟练掌握轴对称的性质和作图是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定对应的坐标，后连点构造图形即可； （2）根据关于平行x轴的直线对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标平移得到，确定对应的坐标，后连点构造图形即可． 【详解】（1）解：由，，， 则关于轴对称的图形对称点，，的坐标分别为：，，，画图如下： ． （2）解：根据题意，得直线，由，，， 得三点到直线的距离分别为3，1，5，故三点分别向下平移6，2，10单位长度得到对称点，，的坐标， 故，，，画图如下： 由点，得点P到直线的距离为，故点P向下平移得到点的坐标， 故，即． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)写出点，，的坐标：__________，__________，__________； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作出图形即可； （2）根据图形写出坐标即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：由图可得，，； （3）解：由图可得：的面积为． 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上. (1)画出关于轴对称的；并写出；；的坐标. (2)求的面积. (3)在轴上找出点，使的周长最小. 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据根据点坐标关于轴对称的变换规律分别画出点，再顺次连接即可得； （2）利用割补法求解即可； （3）连接，交轴于点即为所求． 【详解】（1）解：由图可得， 与关于轴对称， ， 如图，即为所求． （2）解：的面积； （3）解：如图，点即为所求． 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 题型10设计轴对称图案 【典例10】如图，在的正方形网格中，已知两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】本题考查利用轴对称性质设计图案，熟记轴对称图形的定义是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就是轴对称图形，由轴对称图形定义，结合题意即可设计出满足条件的图形从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 共5种， 故选：D． 【变式1】如图，正三角形网格中，已有三个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种． 【答案】4 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称的概念解答即可．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有4种，即数字1，2，3，4位置， 故答案为：4． 【变式2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查设计轴对称图案，根据成轴对称的性质，确定对称轴，作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 题型11最短路径问题 【典例11】在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式1】（1）如图，以直线l为对称轴，画出关于直线l对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，； （2）在直线l上找一点P，使得的值最小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线l于点P，此时，由两点之间线段最短得为的最小值． 【详解】解：（1）如图，即为所求． （2）如图连接，交直线l于点P． 点C的对应点为点， ． ． 两点之间线段最短， 最短，点P即为所求． 【变式2】已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 一、单选题 1．一个图书馆的图标设计不仅要美观大方，还要能准确传达图书馆的核心价值和文化内涵．下列图书馆图标是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 3．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形的概念：轴对称图形--如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，可直接进行排除选项． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选B． 4．如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，根据翻折的性质可得，判断A，B，C都正确，选项D不一定成立，即可得到答案． 【详解】解：∵将四边形沿直线l翻折．点A，B的对应点分别为， ∴， ∴选项A，B，C都正确； 选项D不一定成立，故选项D符合题意； 故选：D． 5．如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 如图，由平行线的性质可求得，由折叠的性质可求得，再由平行线的性质可求得 【详解】解：如图， ，， 又由折叠的性质可知，且， ， ， 故选：C． 6．如图，将一张正方形纸片按如图1、图2所示的方式折叠得到图3，再按图3中的虚线剪裁得到图4，将图4展开后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，以及学生的动手操作能力，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先观察图形，由图3可知正方形的顶角部分被剪去，故可排除选项A和D； 再根据图1和图2的折法，即可在B和C中得到正确答案． 【详解】解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到选项B中的图案． 故选B． 7．如图，三角形纸片，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质得，即可求出，再求出，则答案可得. 【详解】解：根据折叠的性质得， ∴. ∵， ∴， ∴的周长. 故选：D. 8．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为． 过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：A． 9．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图1中，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角相等是解题的关键．图1中，由题意知，求出图2中，图3中根据求出度数． 【详解】解：图1中，∵纸带是长方形， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴图3的与图2的相等，且图2与图3的， 在图2中，， 在图3中，． 故选：D． 二、填空题 10．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 【答案】 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据这个特点来解决问题即可． 【详解】解：这串数字应为， 故答案为：． 11．如图，在中，，先将沿翻折到的位置，然后再将沿翻折到的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解即可． 【详解】解： 沿翻折到的位置， ， 将沿翻折到的位置， ，， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质．由平行可求得，又由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：四边形为长方形， ∴， ∴， 又由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 13．如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图2中，则图3中的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可． 【详解】解：在图2中，根据折叠可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 14．如图，在中，，点分别在边上，将 沿折叠，使点落在处，则 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了折叠的性质．由折叠的性质得，根据计算即可求解 【详解】解：由折叠的性质得， ∵， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称三角形（点，，对应点分别为，，） (2)将沿轴向左平移三个单位长度后得到（点，，的对应点，，），写出点，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】本题主要考查了利用平移变换以及轴对称变换进行作图，解题时注意：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）先作出关于x轴的对称顶点，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． （2）根据沿x轴方向向左平移3个单位，即可得到，进而写出顶点，，的坐标． 【详解】（1）解：∵的顶点，，关于轴的对称点为：，，， 将，，这三个顶点顺次连接起来即可得到，如下图所示： （2）解：∵，，， ∴，， 将，，这三个顶点顺次连接起来即可得到，如下图所示： 16．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 图形的轴对称 教学目标 1.理解轴对称图形和对称轴的概念，能识别常见的轴对称图形并找出其对称轴。 2.通过观察、操作等活动，经历探究图形轴对称特性的过程，培养空间观念和动手能力。 3.感受轴对称图形的对称美，激发对数学图形的兴趣，体会数学与生活的联系。 教学重难点 1.重点 掌握轴对称图形和对称轴的概念，能准确识别轴对称图形并找出对称轴 2.难点 理解轴对称的本质特征，即沿对称轴折叠后两部分完全重合，以及在复杂图形中准确确定对称轴。 知识点01 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 【即学即练】 1．代小篆是汉字演变的重要形态，其笔画匀称端庄．下列四幅小篆的书法中，不是轴对称的图形是（ ） A． B． C． D． 知识点02 轴对称的性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【即学即练】 1．如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 2．如图，在中，，，与关于直线对称，，则的度数为 ． 知识点03 画轴对称的图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 【即学即练】 1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点A，B，C均在格点（网格线的交点）上． (1)请作出关于直线对称的． (2)求的面积． 题型01轴对称图形的识别 【典例1】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形是2024年夏季奥林匹克运动会部分比赛项目的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 题型02根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例2】如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【变式1】如果两个图形关于某条直线对称，下列说法中错误的是（   ） A．这两个图形的形状相同，大小相等 B．对应线段的长度相等 C．对称点的连线互相平行或在同一条直线上 D．对称点之间的距离相等 【变式2】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图，和关于直线l对称，下列结论正确的有（   ） ①；②；③直线l垂直平分线段 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型03根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例3】如图，与关于直线对称，则的度数（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（   ） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式3】如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，其中，，则的度数是 ； 题型04求对称轴条数 【典例4】下列图形中，对称轴最少的是（   ） A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形 【变式1】下列图形中，对称轴条数最多的是（     ） A．B．C． D． 【变式2】在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4】下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 题型05台球桌面上的轴对称问题 【典例5】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1】如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 题型06轴对称中的光线反射问题 【典例6】如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于（    ） A． B． C． D． 题型07折叠问题 【典例7】如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的点处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将长方形纸条折叠，若，则 °． 【变式3】将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则 ． 题型08车牌号码/钟面/电子表的镜面对称 【典例3】小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【变式1】时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【变式2】小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【变式3】在镜子上看到时间是，那么实际时间为 ． 题型09画轴对称图形 【典例9】如图，的顶点都在格点上，其中，，． (1)画出关于轴对称的图形并写出点，，的坐标； (2)画出关于直线 对称的，若点是内一点，请写出内对称点的坐标 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)写出点，，的坐标：__________，__________，__________； (3)求的面积． 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上. (1)画出关于轴对称的；并写出；；的坐标. (2)求的面积. (3)在轴上找出点，使的周长最小. 题型10设计轴对称图案 【典例10】如图，在的正方形网格中，已知两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式1】如图，正三角形网格中，已有三个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种． 【变式2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 题型11最短路径问题 【典例11】在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【变式1】（1）如图，以直线l为对称轴，画出关于直线l对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，； （2）在直线l上找一点P，使得的值最小． 【变式2】已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 一、单选题 1．一个图书馆的图标设计不仅要美观大方，还要能准确传达图书馆的核心价值和文化内涵．下列图书馆图标是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 3．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将一张正方形纸片按如图1、图2所示的方式折叠得到图3，再按图3中的虚线剪裁得到图4，将图4展开后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 7．如图，三角形纸片，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图1中，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 11．如图，在中，，先将沿翻折到的位置，然后再将沿翻折到的位置，若，则 ． 12．如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则 ． 13．如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图2中，则图3中的度数为 ． 14．如图，在中，，点分别在边上，将 沿折叠，使点落在处，则 的值为 ． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称三角形（点，，对应点分别为，，） (2)将沿轴向左平移三个单位长度后得到（点，，的对应点，，），写出点，，的坐标． 16．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$