专题01 基本不等式6种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题01基本不等式 目录 类型一、常数代换（直接型） 类型二、常数代换（变形型） 类型三、商式型 类型四、消元法 类型五、换元法 类型六、双换元法 压轴专练 类型一、常数代换（直接型） ①形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 ②形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 例1．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 变式1-1．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 变式1-2．已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 变式1-3．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】变形目标式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 类型二、常数代换（变形型） 积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型. 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解. 例2、已知正实数，满足. (1)求的最小值，并求出此时，的值； (2)若的最小值是25，求的值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）利用基本不等式求出的最小值，进而求出值. 【详解】（1）由变形得到：， 于是， 当且仅当，时取等号， 所以. （2）， 当且仅当时取等号，解得. 变式2-1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C 变式2-2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解. 【详解】已知，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 变式2-3．若正数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意正数满足，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是， 故答案为： 类型三、商式型 ①形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ②形如，可以通过换元，再分子分母同时除以，进而转化为对勾型 例3．已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 变式3-1．的最大值为 . 【答案】 【分析】令，，则可将原式化为，再利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式. 变式3-2．（1）已知，求的最小值； 【答案】（1）； 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； 变式3-3．当时，求函数的最小值. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 类型四、消元法 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 形如：，可转化为，再带入目标中求最值 例4．已知，，，求的最大值． 【答案】3 因为，，，则， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最大值为3． 变式4-1．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示，再根据选项代入，结合基本不等式，即可判断. 【详解】由条件可知，，， 所以，当时，即时等号成立，故AB错误； ， 当，即时，等号成立， 所以，故C错误，D正确. 故选：D 变式4-2．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 变式4-3．已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据条件等式有且，再应用基本不等式求最值. 【详解】由题设且，则， 所以 当且仅当即时取等号. 故选：C 类型五、换元法 例5．设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 变式5-1．已知，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由基本不等式和一元二次不等式，得到，不等式化为在上恒成立，由对勾函数单调性得到最小值为，从而得到答案. 【详解】，由基本不等式得， 令，则，解得或（舍去）， 在上恒成立， 故在上恒成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故. 故选：C 变式5-2．已知，满足，则的最小值为 【答案】2 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：将变形为，令，再表示出是求出最小值的关键. 变式5-3．已知 (1)求ab的最大值； 【答案】(1) 【详解】（1）由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 类型六、双换元法 例6．设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意得，然后利用换元法以及平方和不等式可得最小值. 【详解】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 变式6-1．若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 变式6-2．已知，且，求的最小值． 【答案】 【详解】,又因为， 故有， 因为，所以， 令 当且仅当即时，取得最小值. 压轴专练 1．“”是“关于的不等式（）有解”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式求得当时，的最小值为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意知，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，的最小值为， 当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立， 反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 3．已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】先将用的关系表示，又由，得，再利用“乘1法”及基本不等式即可得出． 【详解】设， 则，解得，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 故选：D. 4．已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 5．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 【答案】B 【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 又因为， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 故选：B. 6．已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值． 故选：B 7．已知，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D． 【答案】A 【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为9． 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 9．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 10．已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 11．记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【详解】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 12．已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 13．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】方法一：消元法.令，则，代入，整理得，转化为关于的一元二次方程有解即可求解. 方法二：基本不等式法.关键是将式子变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 14．已知，且，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】先由题意得且，接着将代入整理得，再根据基本不等式中常数“1”的妙用方法即可计算求解. 【详解】因为，且， 所以且， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 15．已知正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据正实数、满足，得到，求出，变形得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】因为正实数、满足，所以， 解得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 16．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得. 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 17．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，令，，即可得到且，，目标式子，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 即，令，，则且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 18．设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由基本不等式可得，，故，再结合基本不等式可得，进而可得. 【详解】设， 则，，，， 因为，所以,， 当且仅当时两个不等式同时取等号， 所以， 又， 当且仅当，时取等号，所以，则，当且仅当，时取等号， 故的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题关键是能够通过观察4个元素，从最值角度出发，考虑基本不等式，,，进而，再利用基本不等式可得，因多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性. 19．若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】令，当时，，利用基本不等式和不等式的性质求出的范围，再代入，最终可求出的值域，再根据即可得实数k的取值范围． 【详解】令 当时， 当时， ，当且仅当时等号成立 或 即或 或 或 综合得 因为不等式恒成立， 则 . 20．（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）7；（2）5． 【分析】（1）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值； （2）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）， 当且仅当时，等号成立，即． （2）， 当且仅当时，等号成立，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01基本不等式 目录 类型一、常数代换（直接型） 类型二、常数代换（变形型） 类型三、商式型 类型四、消元法 类型五、换元法 类型六、双换元法 压轴专练 类型一、常数代换（直接型） ①形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 ②形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 例1．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 变式1-1．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 变式1-2．已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知，则的最小值为 ． 类型二、常数代换（变形型） 积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型. 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解. 例2、已知正实数，满足. (1)求的最小值，并求出此时，的值； (2)若的最小值是25，求的值. 变式2-1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 变式2-2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．若正数满足，则的最小值是 . 类型三、商式型 ①形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ②形如，可以通过换元，再分子分母同时除以，进而转化为对勾型 例3．已知实数，则的最大值为 ． 变式3-1．的最大值为 . 变式3-2．（1）已知，求的最小值； 变式3-3．当时，求函数的最小值. 类型四、消元法 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 形如：，可转化为，再带入目标中求最值 例4．已知，，，求的最大值． 变式4-1．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 变式4-3．已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 类型五、换元法 例5．设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知，满足，则的最小值为 变式5-3．已知 (1)求ab的最大值； 类型六、双换元法 例6．设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 变式6-1．若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 变式6-2．已知，且，求的最小值． 压轴专练 1．“”是“关于的不等式（）有解”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 3．已知，，则最小值为（ ） A． B．4 C． D．2 4．已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 6．已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D． 8．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 10．已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 11．记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 12．已知，且，则的最小值是 . 13．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 14．已知，且，则的最小值为 . 15．已知正实数、满足，则的最小值为 . 16．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 17．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 18．设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 19．若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 20．（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$