第07讲 命题与证明 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪科版2024）

第07讲 命题与证明 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1定义 2命题 3命题的结构 4互逆命题及反例 5定理与证明 6三角形内角和定理及其推论1, 2 7三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质) 题型巩 固 一、判断是否是命题 二、写出命题的题设与结论 三、判断命题真假 四、举例说明假（真）命题 五、写出命题的逆命题 六、判断是否为互逆命题 七、举反例 八、定理与证明 九、逻辑推理与论证 十、三角形内角和定理的证明 十一、直角三角形的两个锐角互余 十二、三角形的外角的定义及性质 分层强 化 一、单选题（8） 二、填空题（5） 三、解答题（5） 知识梳理 知识点1定义 定义  能明确界定某个对象含义的语句叫作定义 . 示例 等腰三角形的定义 三角形中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 . 明确界定等腰三角形的特征，与不等边三角形有本质区别. 知识点2命题 1. 命题的定义 可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题 . 特别解读： (1)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语； (2)命题必须具有“判断”作用，要对事件作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 . 2. 命题的种类 (1)真命题：经判断是正确的命题我们称之为真命题. (2)假命题：经判断是错误的命题我们称之为假命题. 知识点3命题的结构 1. 命题的构成 命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式. 其中 “如果”引出的部分是命题的条件(或题设)， “那么”引出的部分是命题的结论(或题断). 有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”. 2. 命题的一般形式 “如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件(或题设)，q是这个命题的结论(或题断). 知识点4互逆命题及反例 1. 互逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题. 特别提醒： (1)“条件、结论正好相反”是指：第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件. (2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，可以规定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题. (3)写一个命题的逆命题的关键是分清它的条件和结论，把条件和结论互换，并用通顺的语句将它们连接起来即可得到它的逆命题. 2. 反例 符合命题的条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例. 知识点5定理与证明 1. 基本事实 人们在长期实践中总结出来，不需要推理证明的真命题. 基本事实可以作为判断其他命题真假的依据，所有推理的原始共同出发点是一些定义和基本事实. 2. 定理 有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据. 这样的真命题叫作定理. 3.演绎推理 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 4.证明 演绎推理的过程，就是演绎证明. 5. 证明的一般步骤 (1)审题，分清命题的条件和结论； (2)画图，结合图形写出已知和求证； (3)分析因果关系，找出证明途径； (4)有条理地写出证明过程. 知识点6三角形内角和定理及其推论1, 2 1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 三角形内角和定理的证明 证明方法 图示 证明过程 方法一 如图，过点A作∥BC，则∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠B＋∠C＝180°. 方法二 如图， 过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 方法三 如图，过点D作DE∥AB，DF∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°. 方法四 如图，过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠B＋∠BCD＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 方法五 如图， 过点A作直线AD，过点B作BE∥AD，过点C作∥ AD，则∥BE，所以∠ 1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAB＋∠ABE＝180°，所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°. 总结 借助平行线，转移内角，形成平角(180°)或同旁内角(和为180°). 3. 辅助线 在证明的过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线. 4. 推论1 直角三角形的两锐角互余.由基本事实、定理直接 得出的真命题叫作推论. 几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. 5. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝9 0°，即△ABC为直角三角形. 知识点7三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质) 1. 外角的定义 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 判断一个角是不是三角形的外角的三个条件： (1)顶点在三角形的一个内角的顶点上； (2)一边是三角形这个内角的一条边； (3)另一边是三角形这个内角的另一条边的延长线. 2. 推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 常见应用： (1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角； (2)证明一个角等于另两个角的和或差； (3)作为中间关系式证明两个角相等. 3.推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形外角的性质 图形 几何语言 ∠ACD = ∠A+∠B 外角 与∠ABC吧相邻的两个内角 ∠ACD＞∠A, ∠ACD＞∠B 题型巩固 题型一、判断是否是命题 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）下列语句中，是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．庄子故里欢迎您！ C．作线段的垂线 D．你吃饭了吗？ 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 题型二、写出命题的题设与结论 3．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 5．把下列命题改写成“如果…，那么…” （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）a+b＝0，则a与b互为相反数； （3）平行于同一条直线的两条直线平行． 题型三、判断命题真假 6．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．能被4整除的整数，一定能被2整除 D．互为倒数的两个数和为0 7．命题“如果，那么”，是 （选填“真”或“假”）命题． 题型四、举例说明假（真）命题 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 9．举出命题“若，则”是假命题的一个反例，则x的值可取 ． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的反例． (1)如果 ，那么； (2)同位角相等； (3)两个锐角的和是钝角． 题型五、写出命题的逆命题 11．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是 (       ) A．如果，那么 B．在中，如果是锐角，那么，都是锐角 C．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 D．如果一个角内的点到这个角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）命题“若，则”的逆命题是 ． 13．请写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)如果两个有理数相等，那么它们的平方相等； (3)两直线平行，同旁内角互补． 题型六、判断是否为互逆命题 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 15．题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 题型七、举反例 16．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 17．证明“若，则．”是假命题，可举出反例： ． 18．试用举反例的方法说明下列命题是假命题． 例如：如果ab0，那么ab0． 反例：设a4，b3，ab4（3）120，而ab4（3）10，所以这个命题是假命题． （1）如果ab0，那么ab0． （2）如果a是无理数，b也是无理数，那么ab也是无理数． 题型八、定理与证明 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 20．命题由 和 两部分组成，通常写成 形式． 21．现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 题型九、逻辑推理与论证 22．（2024八年级上·全国·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 23．某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 24．（23-24八年级上·全国·单元测试）[逻辑推理]如图是某汽车维修公司的维修点在环形公路上的分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次为多少？说明理由．(注：n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n) 题型十、三角形内角和定理的证明 25．三角形内角和是（    ） A． B． C． D． 26．在“三角形内角和”的探究中课本中给我们了这样一种折叠方法，把三角形按如图的虚线折叠，可以得到了三角形的内角和等于180°，请你根据折叠过程证明这个结论． 题型十一、直角三角形的两个锐角互余 27．如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 28．在中，，，则 ． 29．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，求的度数． 题型十二、三角形的外角的定义及性质 30．如图所示，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A=（   ）. A．60° B．80° C．85° D．90° 31．如图，，则的度数是 ． 32．如图，求的值． 分层强化 一、单选题 1．如图，点D在的延长线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．三角形内角和等于 D．三角形的一个外角等于它两个内角的和 3．如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 6．下列命题：①如果，那么；②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果，那么；④如果与互补，那么，其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．命题“正数的平方根的和为零”，写成“如果……，那么……”是 ． 10．“如果m，n互为相反数，那么”的逆命题是 填“真”或“假”命题． 11．如图，已知三点共线，连接，如果，那么的度数为 ． 12．如图，若AB∥CD，∠C=60°，则∠A+∠E= 度． 13．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 ． 三、解答题 14．下列语句哪些是命题？哪些是真命题？ (1)如果，，那么； (2)等角的补角相等； (3)过一点作直线l的垂线； (4)两个锐角的和是钝角． 15．如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 16．（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 17．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 18．【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 命题与证明 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1定义 2命题 3命题的结构 4互逆命题及反例 5定理与证明 6三角形内角和定理及其推论1, 2 7三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质) 题型巩 固 一、判断是否是命题 二、写出命题的题设与结论 三、判断命题真假 四、举例说明假（真）命题 五、写出命题的逆命题 六、判断是否为互逆命题 七、举反例 八、定理与证明 九、逻辑推理与论证 十、三角形内角和定理的证明 十一、直角三角形的两个锐角互余 十二、三角形的外角的定义及性质 分层强 化 一、单选题（8） 二、填空题（5） 三、解答题（5） 知识梳理 知识点1定义 定义  能明确界定某个对象含义的语句叫作定义 . 示例 等腰三角形的定义 三角形中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 . 明确界定等腰三角形的特征，与不等边三角形有本质区别. 知识点2命题 1. 命题的定义 可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题 . 特别解读： (1)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语； (2)命题必须具有“判断”作用，要对事件作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 . 2. 命题的种类 (1)真命题：经判断是正确的命题我们称之为真命题. (2)假命题：经判断是错误的命题我们称之为假命题. 知识点3命题的结构 1. 命题的构成 命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式. 其中 “如果”引出的部分是命题的条件(或题设)， “那么”引出的部分是命题的结论(或题断). 有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”. 2. 命题的一般形式 “如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件(或题设)，q是这个命题的结论(或题断). 知识点4互逆命题及反例 1. 互逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题. 特别提醒： (1)“条件、结论正好相反”是指：第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件. (2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，可以规定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题. (3)写一个命题的逆命题的关键是分清它的条件和结论，把条件和结论互换，并用通顺的语句将它们连接起来即可得到它的逆命题. 2. 反例 符合命题的条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例. 知识点5定理与证明 1. 基本事实 人们在长期实践中总结出来，不需要推理证明的真命题. 基本事实可以作为判断其他命题真假的依据，所有推理的原始共同出发点是一些定义和基本事实. 2. 定理 有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据. 这样的真命题叫作定理. 3.演绎推理 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 4.证明 演绎推理的过程，就是演绎证明. 5. 证明的一般步骤 (1)审题，分清命题的条件和结论； (2)画图，结合图形写出已知和求证； (3)分析因果关系，找出证明途径； (4)有条理地写出证明过程. 知识点6三角形内角和定理及其推论1, 2 1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 三角形内角和定理的证明 证明方法 图示 证明过程 方法一 如图，过点A作∥BC，则∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠B＋∠C＝180°. 方法二 如图， 过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 方法三 如图，过点D作DE∥AB，DF∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°. 方法四 如图，过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠B＋∠BCD＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 方法五 如图， 过点A作直线AD，过点B作BE∥AD，过点C作∥ AD，则∥BE，所以∠ 1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAB＋∠ABE＝180°，所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°. 总结 借助平行线，转移内角，形成平角(180°)或同旁内角(和为180°). 3. 辅助线 在证明的过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线. 4. 推论1 直角三角形的两锐角互余.由基本事实、定理直接 得出的真命题叫作推论. 几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. 5. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝9 0°，即△ABC为直角三角形. 知识点7三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质) 1. 外角的定义 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 判断一个角是不是三角形的外角的三个条件： (1)顶点在三角形的一个内角的顶点上； (2)一边是三角形这个内角的一条边； (3)另一边是三角形这个内角的另一条边的延长线. 2. 推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 常见应用： (1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角； (2)证明一个角等于另两个角的和或差； (3)作为中间关系式证明两个角相等. 3.推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形外角的性质 图形 几何语言 ∠ACD = ∠A+∠B 外角 与∠ABC吧相邻的两个内角 ∠ACD＞∠A, ∠ACD＞∠B 题型巩固 题型一、判断是否是命题 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）下列语句中，是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．庄子故里欢迎您！ C．作线段的垂线 D．你吃饭了吗？ 【答案】A 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查命题的识别，对一件事情做出判定的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A，有题设，有结论，是命题； B，有结论，没有题设，不是命题； C，有题设，没有结论，不是命题； D，疑问句，没有结论，不是命题； 故选A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【答案】（1）（2）（3）（4）是命题 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了判断是否是命题．根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子，据此逐一分析即可求解． 【详解】解：（1）（2）（3）是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出了否定的判断；（5）不是命题，只表示疑问，并未作出判断； （6）不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思． ∴（1）（2）（3）（4）是命题，（5）（6）不是命题． 题型二、写出命题的题设与结论 3．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 【答案】D 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项． 【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交． 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系. 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题，涉及命题的改写，熟记命题的概念，分清命题的条件与结论是解决问题的关键． 【详解】解：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等， 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应中线相等． 5．把下列命题改写成“如果…，那么…” （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）a+b＝0，则a与b互为相反数； （3）平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】（1）如果同旁内角互补，那么两直线平行；（2）如果，那么a与b互为相反数；（3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】（1）根据如果是条件，那么是结论的方法改写即可； （2）根据如果是条件，那么是结论的方法改写即可； （3）根据如果是条件，那么是结论的方法改写即可． 【详解】（1）如果同旁内角互补，那么两直线平行； （2）如果，那么a与b互为相反数； （3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的改写方法是解题关键． 题型三、判断命题真假 6．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．能被4整除的整数，一定能被2整除 D．互为倒数的两个数和为0 【答案】C 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了判断命题真假，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 利用真假命题的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，原命题错误，是假命题，故选项不符合题意； B. 同旁内角不一定互补，原命题错误，是假命题，故选项不符合题意； C. 能被4整除的整数，一定能被2整除，命题正确，是真命题，故选项符合题意； D. 互为倒数的两个数和不一定为0，原命题错误，是假命题，故选项不符合题意； 故选：． 7．命题“如果，那么”，是 （选填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【知识点】判断命题真假 【分析】通过取值的方法来判断命题的真假． 【详解】解：∵， ∴令a=1，b=-1， ∴，， ， 故结论不成立，即命题是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 题型四、举例说明假（真）命题 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握要说明一个命题的正确性，一般要推理、谁，而判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的除法以法则，逐项代入计算判定即可． 【详解】解：A、当时，， ∴说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项符合题意； B、当时，无意义， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； C、当时，， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； D、当时，， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； 故选：A． 9．举出命题“若，则”是假命题的一个反例，则x的值可取 ． 【答案】-3 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】当x=-3时，满足x＞-4，但不能得到x2＞16，于是x=-3可作为说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例． 【详解】解：说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的反例． (1)如果 ，那么； (2)同位角相等； (3)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题主要考查了举反例说明一个命题是假命题，所举的反例必须满足命题的条件，但是不能满足命题的结论． 【详解】（1）反例：，，满足，但不满足； （2）反例：当两条直线不平行时，同位角不相等； （3）反例：若，，、都为锐角，两角之和也为锐角． 题型五、写出命题的逆命题 11．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是 (       ) A．如果，那么 B．在中，如果是锐角，那么，都是锐角 C．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 D．如果一个角内的点到这个角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上 【答案】D 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】根据互逆命题，把四个原命题的题设与结论部分交换即可得到四个逆命题，然后再进行判断即可． 【详解】解：A、“如果，那么” 的逆命题为“如果，那么”也可以是，故此逆命题为假命题，所以A选项不符合题意； B、“在中，如果是锐角，那么，都是锐角”的逆命题为“在中，如果，都是锐角，那么是锐角”，也有可能是直角或钝角，故此逆命题为假命题，所以B选项不符合题意； C、“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，此逆命题为假命题，所以C选项不符合题意； D、“如果一个角内的点到这个角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上” 的逆命题为“如果一个角内的点在这个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等”，此逆命题为真命题，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）命题“若，则”的逆命题是 ． 【答案】若，则 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可． 【详解】解：“若，则”的逆命题为“若，则”． 故答案为：若，则． 13．请写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)如果两个有理数相等，那么它们的平方相等； (3)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)如果，那么 (2)如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等 (3)同旁内角互补，两直线平行 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】（1）根据题意将命题的结论与题设互换即可求解； （2）根据题意将命题的结论与题设互换即可求解； （3）根据题意将命题的结论与题设互换即可求解． 【详解】（1）如果，那么的逆命题是：如果，那么； （2）如果两个有理数相等，那么它们的平方相等的逆命题是：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等； （3）两直线平行，同旁内角互补的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查了互逆命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题． 题型六、判断是否为互逆命题 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 15．题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【知识点】判断是否为互逆命题 【解析】略 题型七、举反例 16．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】举反例 【分析】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可． 【详解】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例； B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例； C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例； D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例； 故选：D． 17．证明“若，则．”是假命题，可举出反例： ． 【答案】答案不唯一，例如当，但 【知识点】举反例 【分析】可根据、的正负性来考虑即可，例如用、来进行判断即可． 【详解】反例：取，，有，但． 故答案为：，，，但． 【点睛】本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论． 18．试用举反例的方法说明下列命题是假命题． 例如：如果ab0，那么ab0． 反例：设a4，b3，ab4（3）120，而ab4（3）10，所以这个命题是假命题． （1）如果ab0，那么ab0． （2）如果a是无理数，b也是无理数，那么ab也是无理数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】举反例 【分析】（1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数． （2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如1±，两数相加就是有理数． 【详解】解：（1）取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题． （2）取a=1+，b=1-，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题． 【点睛】本题主要锻炼了学生的逆向思维．在证明几何题的过程中，有时需从反例上先去判断，然后再证明． 题型八、定理与证明 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【答案】B 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意； B、定理都是真命题，正确，符合题意； C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意； D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 20．命题由 和 两部分组成，通常写成 形式． 【答案】 题设（或条件） 结论 “如果……那么……” 【知识点】定理与证明 【分析】根据命题的组成直接填空即可． 【详解】解：命题由题设（或条件）和结论两部分组成，通常写成“如果……那么……”形式． 【点睛】本题考查了命题的组成，属于基础题，牢牢掌握命题的定义及组成是解题的关键． 21．现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】见解析． 【知识点】定理与证明 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 【详解】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 题型九、逻辑推理与论证 22．（2024八年级上·全国·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 【答案】C 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查数学逻辑的知识，解题的关键是掌握数学逻辑推理．根据点菜规则，依次对各选项分析即可． 【详解】解：A、∵不能同时点M和N， ∴选项A不符合点菜规则； B、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需要点R， ∴选项B不符合点菜规则； C、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴选项C符合点菜规则； D、∵在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需点S． ∴选项D不符合点菜规则； 故选：C． 23．某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 【答案】 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 和都有重复，且位置相同，可以排除这两个数，则小亮猜对的数字是，这样和也就可以排除，所以小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的，这个三位数密码是. 【详解】解：三个人说出的数中，和都有重复，且位置相同， 他们猜对的数字不可能是和，可以排除这两个数， 小亮猜对的数字是， 在百位上， 和可以排除， 小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的， 这个三位数密码是， 故答案为： ． 24．（23-24八年级上·全国·单元测试）[逻辑推理]如图是某汽车维修公司的维修点在环形公路上的分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次为多少？说明理由．(注：n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n) 【答案】最少调动16件次，理由见解析 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，根据题意可知互不相邻的两点B，D，B处至少调整5件次，D处至少调整11件次，则两处之和至少为16件次，再根据题意写出对应的调动方案即可． 【详解】解：最少调动16件次，理由如下： ∵互不相邻的两点B，D，B处至少调整5件次，D处至少调整11件次， ∴两处之和至少为16件次， ∴四个维修点的调动件次至少为16． 又∵A，B的配件减少，C，D的配件增加， ∴从A调11件到D，从B调1件到A，调4件到C， ∴共调动了11+1+4=16(件次)． 综上，最少调动16件次．(调动方案不唯一) 题型十、三角形内角和定理的证明 25．三角形内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】直接根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图1，已知：三角形ABC．求证∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°． 证明：如图2，过点A作直线DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠ABC=∠DAB，∠ACB=∠CAE ∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180° ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180° 即三角形内角和是180° 故选：C 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180°是解答此题的关键． 26．在“三角形内角和”的探究中课本中给我们了这样一种折叠方法，把三角形按如图的虚线折叠，可以得到了三角形的内角和等于180°，请你根据折叠过程证明这个结论． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明 【详解】试题分析：根据折叠的性质得到∠EDF=∠EAF，∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，而∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，从而得到三角形内角和定理． 证明：∵△DEF由△AEF折叠而得， ∴∠EDF=∠EAF， 同理∠EDB=∠B，∠FDC=∠C， ∵∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠B+∠A+∠C=180°， ∴三角形内角和等于180°（8分） 考点：翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质． 题型十一、直角三角形的两个锐角互余 27．如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先根据直角三角形两锐角互余求出，结合已知可得的度数，然后利用补角的定义求出即可，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 28．在中，，，则 ． 【答案】55 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形中求角度问题，涉及直角三角形两锐角互余等知识，根据题意得到，再由消去即可得到答案．熟记直角三角形两锐角互余是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则， ， ，即， 解得， 故答案为：． 29．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，求的度数． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余得到，，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 题型十二、三角形的外角的定义及性质 30．如图所示，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A=（   ）. A．60° B．80° C．85° D．90° 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，从而求出∠A的度数． 【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠B， ∴∠A=∠ACD−∠B=120°−40°=80°. 故答案选：B. 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外角性质. 31．如图，，则的度数是 ． 【答案】20° 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】由∠AED是△DCE的外角和∠ADC是△ABD的外角，得到∠AED=∠C+∠CDE、∠ADC=∠B+∠1,再结合∠B=∠C进行等量代换计算即可． 【详解】解：∵∠AED是△DCE的外角 ∴∠AED=∠C+∠CDE ∵ ∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠AED+∠CDE=∠C+∠CDE+∠CDE=2∠CDE+∠C ∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠B+∠1=∠B+40° ∴∠B+40°=2∠CDE+∠C ∵∠C=∠B ∴40°=2∠CDE ∴∠CDE=20°． 故答案为20°． 【点睛】本题考查了三角形外的性质、角的和差以及等量代换，掌握并灵活运用三角形外角的性质是解答本题的关键． 32．如图，求的值． 【答案】60 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角的性质列出方程，解方程即可 【详解】解：根据题意得：x+10+x= x+70， 解得：x=60 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质定理是解题的关键 分层强化 一、单选题 1．如图，点D在的延长线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的定义.根据三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选C． 2．下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．三角形内角和等于 D．三角形的一个外角等于它两个内角的和 【答案】C 【分析】此题主要考查了命题的判断，正确掌握相关性质与判定是解题关键． 利用对顶角的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质及三角形的外角的性质分别判断即可． 【详解】解：、对顶角是相等的，但相等的角不一定是对顶角；故原命题是假命题，此选项不合题意； 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，如果两条直线不平行，内错角不相等，故原命题是假命题，此选项不合题意； 、根据三角形内角和定理，三角形的内角和一定是，原命题是真命题，故此选项符合题意； 、三角形的一个外角等于等于与之不相邻的两个内角的和，故原命题是假命题，此选项不合题意； 故选：． 3．如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 4．如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质和平行线的性质即可得到结论． 【详解】如图，在中， ， ， ∴， ∵ 故选． 【点睛】本题考查了三角形外角和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，理解题意是解题关键 要说明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子． 【详解】A．当，时，，此时，，，即 ，不能说明命题为假命题． B．当，时，，此时，，，即 ，不能说明命题为假命题． C．当，时，，此时，，，即 ，说明“若，则”是假命题，该选项符合要求． D．当，时，，不满足，不能作为该命题的反例． 故选：C． 6．下列命题：①如果，那么；②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果，那么；④如果与互补，那么，其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，根据绝对值、同位角的概念、实数的大小比较、补角的概念判断即可．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：①如果，那么，故本小题命题是假命题； ②两个角相等，这两个角不一定是同位角，故本小题命题是假命题； ③如果，那么，是假命题，例如：，而； ④如果与互补，那么，是真命题； 故选：C． 7．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺求出∠2，根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：∵， ， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 8．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】∠DCM=∠D+∠DBC，∠ACM=∠A+∠ABC，再结合角平分线，得到∠A=2∠D即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴∠ABC=2∠DBC， 同理，∠ACM=2∠DCM， ∵∠ACM=∠A+∠ABC， ∴2∠DCM=∠A+2∠DBC ∵∠DCM=∠D+∠DBC， ∴∠A=2∠D， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形外角的性质，解题关键是利用外角的性质和角平分线性质得到∠A与∠D的关系． 二、填空题 9．命题“正数的平方根的和为零”，写成“如果……，那么……”是 ． 【答案】如果一个数为正数，那么它的平方根的和为0． 【分析】根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案． 【详解】如果一个数为正数，那么它的平方根的和为0． 故答案为如果一个数为正数，那么它的平方根的和为0． 【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是了解“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 10．“如果m，n互为相反数，那么”的逆命题是 填“真”或“假”命题． 【答案】真 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据相反数的概念判断即可． 【详解】解：“如果m，n互为相反数，那么”的逆命题是“如果，那么m，n互为相反数”，是真命题， 故答案为：真． 11．如图，已知三点共线，连接，如果，那么的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质及三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，若AB∥CD，∠C=60°，则∠A+∠E= 度． 【答案】60 【分析】先由AB∥CD，求得∠C的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和可求∠A+∠E的度数． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠C与它的同位角相等， 根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和， 所以∠A+∠E=∠C=60度． 故答案为60． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和. ①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角. 13．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，掌握以上知识是解题的关键．根据，分别为的内、外角平分线分别设，，再根据，分别为的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可． 【详解】解：，分别为的内、外角平分线， ，， 设，， ，， 又，分别为的内，外角平分线， ，， ，， 又， ， 又， ， ， 故答案为：． 三、解答题 14．下列语句哪些是命题？哪些是真命题？ (1)如果，，那么； (2)等角的补角相等； (3)过一点作直线l的垂线； (4)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)是命题，是真命题 (2)是命题，是真命题 (3)不是命题 (4)是命题，不是真命题 【分析】本题考查了命题，判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，理解命题的定义是解题的关键． （1）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． （2）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． （3）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． （4）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：是命题， 如果，，那么是正确的命题， 即是真命题； （2）解：是命题， 等角的补角相等是正确的命题， 即是真命题； （3）解：不是命题． （4）解：是命题， 两个锐角的和是钝角是错误的命题，比如，则， 即不是真命题； 15．如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 16．（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）真命题，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，真假命题，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用． （1）根据平行线的性质证明，，等量代换可证； （2）根据平行线的性质证明，等量代换可证，从而可证，然后根据平行线的性质可证所得的命题是真命题． 【详解】解：（1）， ． ，， ， ， ； （2）是真命题，理由： ， ． ， ， ． ， ． 17．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 18．【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 【答案】（1）;（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （4）求解，，可得，由（1）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； 故答案为：． （3）延长，交于点， ∵，， 同（2）可得， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （4）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：. 学科网（北京）股份有限公司 $$