【第四章 三角形 04讲 尺规作图】【五大知识点+三大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第四章 三角形 04讲 尺规作图 题型归纳 【题型1. 尺规作图——作三角形】…………………………………………………… 3 【题型2. 尺规作图——作一个角等于已知角】……………………………………… 6 【题型3. 尺规作图——过直线外一点作这条直线的平行线】……………………… 8 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 11 知识清单 知识点1 尺规作图——已知三边作三角形 已知：如图4.4-1，已知线段，b，c. 求作：求作△ABC，使BC=，AC=b，AB=c . 依据：三角形的判定定理（SSS）. 作法：（1）如图4.4-2，作线段BC= ； （2）以点B为圆心，以c为半径画圆弧，再以点c为圆心， 以b为半径画圆弧，两弧在BC的一侧相较于点A； （3）连接AB和AC，则△ABC为所求作的三角形. 知识点2 尺规作图——已知两边及其夹角作三角形 已知：如图4.4-5，已知∠α和线段，c. 求作：求作△ABC，使∠B=∠α，BC=，AB=c . 依据：三角形的判定定理（SAS）. 作法：（1）作∠MBN=∠α； （2）作射线BM，BN上分别截取BC=，AB=c ； （3）连接AC，则△ABC为所求作的三角形（如图4.4-6）. 知识点3 尺规作图——已知两角及其夹边作三角形 已知：如图4.4-7，已知线段∠α，∠β和线段. 求作：求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠，BC= . 依据：三角形的判定定理（ASA）. 作法：（1）作线段BC=； （2）在BC的同侧，分别作∠DBC=∠α，∠ECB=∠， BD与CE相较于点A，则△ABC为所求作的三角形（如图4.4-8）. 知识点4 尺规作图——作一个角等于已知角 已知：如图4.4-3，已知∠AOB. 求作：求作∠A’O’B’，使∠A’O’B’=∠AOB . 依据：三角形的判定定理（SSS）. 作法：（1）如图4.4-4，作射线O’A’； （2）如图4.4-3，以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧， 交OA于点C，交OB于点D； （3）如图4.4-4，以点O’为圆心，以OC（或OD）的长为 半径画圆弧，交O’A’于点C’； （4）以点C’为圆心，以CD的长为半径画圆弧，交前弧于点D’； （5）过点D’作射线O’B’，则∠A’O’B’为所求作的角. 知识点5 尺规作图——过直线外一点作这条直线的平行线 已知：如图4.4-10，已知直线AB，点P不在直线AB上. 求作：求作过点P且与直线AB平行的直线. 依据：同位角相等，两直线平行. 作法：（1）如图4.4-11，过点P作直线EF，与直线AB相交于点M； （2）以点M为圆心，以小于MP的长度为半径画圆弧，交MB 于点G，交MF于点H； （3）以点P为圆心，以MG（或MH）的长为半径画圆弧，交PF 于点C； （4）以点C为圆心，以HG的长为半径画圆弧，与前弧交于点D； （5）连接PD，则直线PD为所求作的平行线. 题型专练 题型1. 尺规作图——作三角形 【例1】（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）用直尺和圆规做一个三角形，使它和已知三角形全等（要求用两种方法做图，保留作图痕迹，不必写做法）． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知点O，以O为直角顶点，作一个直角三角形． 【例3】（24-25七年级下·福建福州·期末）尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知：，线段． 求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 题型2. 尺规作图——作一个角等于已知角 【例1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）尺规作图 如图，已知：求作：．（保留作图痕迹，不用写出作法） 【例2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，请用尺规过点作一条直线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【例3】（2025·河南驻马店·三模）如图，是的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，请在的边上找一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）如图，已知，以点O为顶点，射线为一边，在外作一个角，使它等于． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点在的延长线上，其中，． (1)在内部，求作射线，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数． 题型3. 尺规作图——过直线外一点作这条直线的平行线 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线及上方一点，请仅用圆规和直尺作一直线，使得直线与直线平行不写作法，保留作图痕迹． 【例2】（24-25七年级下·山东·期中）如图，点M，N代表两个城市，是两条公路．现规划建造两条经N市的公路，这两条公路分别与平行，并在与的交会处分别建一座立交桥．请在图中画出规划建造的两条公路及立交桥的位置． 【例3】（24-25六年级下·山东青岛·期末）尺规作图：如图，点在的边上，按要求画图． (1)反向延长射线，得到射线； (2)在射线上截取； (3)过点作直线． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，过点D作的平行线交于点E．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，直线和直线相交于点O，点P在直线上． 求作：直线l的平行直线，使它经过点P．（只保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）几何作图是人类探索空间关系的智慧结晶．中国《周髀算经》记载，西周时期已用“矩”（直角曲尺）测定方位、规划建筑，通过“移矩定平”的方法确保宫室梁柱平行；古希腊《几何原本》则系统建立了尺规作图体系，欧几里得以五大公理为基础，用圆规直尺演绎出千年前仍被沿用的平行线作图法．东西方虽工具不同（中国重实用直角器，希腊重抽象尺规），但都揭示了平行线的本质——方向一致性．下列问题将带你体验两种文明的几何智慧： (1)知识再现：图1，教材中，我们可以用直尺和三角尺，过直线外一点画已知直线的平行线a． 下面是操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边贴住直线； 正确的操作顺序是：_____ （填序号）； (2)类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线，使经过点且．（保留作图痕迹，不写画法） 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 5．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，则下列判断正确的是（　　） A．小明和小华的作法都正确 B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确 D．小明和小华的作法都不正确 6．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北·模拟预测）如图，使用尺规经过直线a外的点P作直线a的平行线b，其作图步骤如下： 第①步：过点P作直线l交直线a于点O； 第②步：以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交直线a于点A，交直线l于点B； 第③步：以点P为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点C； 第④步：以点C为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点D，过点D，P作直线b，即为所求． 上述作图步骤中，作法错误的步骤是（    ） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 二、填空题 11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，第一步以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点E、F，第二步以点E为圆心，以线段的长为半径画弧②，过两弧的交点作射线，若，则的度数为 度． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 14．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·北京·期中）如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹弧②的作法是 ． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 17．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若，，则 ． 19．（24-25八年级上·吉林延边·期末）如图，，尺规作图操作步骤如下：①以点为圆心，以适当的长度为半径画弧，分别交的两边于点A，B，连接，②作射线，③以为圆心，以长为半径画弧交射线于点，④以点为圆心，以长为半径画弧，将两弧交点记为点，⑤作射线．则的度数为 ． 20．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 三、解答题 21．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知线段a和，请利用尺规作，使，． 22．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知三角形，点F 在边上，过点F 画直线，使，垂足为 E． 23．（24-25七年级下·河南郑州·期中）（1）如图，方格纸中有一条直线和一格点C．在直线上找一点N，使得最小； （2）如图，已知点是直线外一点，用尺规作直线，使． 24．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，某公园的两条直道和交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路上的点P再修建一条直道，并且使与平行． (1)过点P的直线有 条． (2)用尺规作出过点P的直线，不要求写作法，保留作图痕迹． (3)这种做法的依据是： ． 25．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知点是线段上一点． (1)如图，请使用尺规过点作直线交于点，作直线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)试判断与的关系，并说明理由． 26．（24-25七年级下·北京海淀·期末）小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 27．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，是的角平分线，请完成以下作图与填空： (1)用尺规在右侧作，使得，射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在中，，，是的角平分线，．求的度数． 解：在中，________①______°， ． 是的角平分线， _________②_________． ， ___________③___________， ． 28．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，平分，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：． 29．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点C． 求作：过点C作直线的平行线． 作法：①过点C作一条直线，与直线相交于点E； ②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ， （____________）， ， （____________）． 30．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，，． (1)过点作平行于的直线，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 小星是这样思考的： （已知）， （___________）． 又（已知）， ___________（两直线平行，内错角相等）， ， ___________． 请将上面小星思考的过程填写完整． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 04讲 尺规作图 题型归纳 【题型1. 尺规作图——作三角形】…………………………………………………… 3 【题型2. 尺规作图——作一个角等于已知角】……………………………………… 8 【题型3. 尺规作图——过直线外一点作这条直线的平行线】……………………… 12 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 17 知识清单 知识点1 尺规作图——已知三边作三角形 已知：如图4.4-1，已知线段，b，c. 求作：求作△ABC，使BC=，AC=b，AB=c . 依据：三角形的判定定理（SSS）. 作法：（1）如图4.4-2，作线段BC= ； （2）以点B为圆心，以c为半径画圆弧，再以点c为圆心， 以b为半径画圆弧，两弧在BC的一侧相较于点A； （3）连接AB和AC，则△ABC为所求作的三角形. 知识点2 尺规作图——已知两边及其夹角作三角形 已知：如图4.4-5，已知∠α和线段，c. 求作：求作△ABC，使∠B=∠α，BC=，AB=c . 依据：三角形的判定定理（SAS）. 作法：（1）作∠MBN=∠α； （2）作射线BM，BN上分别截取BC=，AB=c ； （3）连接AC，则△ABC为所求作的三角形（如图4.4-6）. 知识点3 尺规作图——已知两角及其夹边作三角形 已知：如图4.4-7，已知线段∠α，∠β和线段. 求作：求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠，BC= . 依据：三角形的判定定理（ASA）. 作法：（1）作线段BC=； （2）在BC的同侧，分别作∠DBC=∠α，∠ECB=∠， BD与CE相较于点A，则△ABC为所求作的三角形（如图4.4-8）. 知识点4 尺规作图——作一个角等于已知角 已知：如图4.4-3，已知∠AOB. 求作：求作∠A’O’B’，使∠A’O’B’=∠AOB . 依据：三角形的判定定理（SSS）. 作法：（1）如图4.4-4，作射线O’A’； （2）如图4.4-3，以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧， 交OA于点C，交OB于点D； （3）如图4.4-4，以点O’为圆心，以OC（或OD）的长为 半径画圆弧，交O’A’于点C’； （4）以点C’为圆心，以CD的长为半径画圆弧，交前弧于点D’； （5）过点D’作射线O’B’，则∠A’O’B’为所求作的角. 知识点5 尺规作图——过直线外一点作这条直线的平行线 已知：如图4.4-10，已知直线AB，点P不在直线AB上. 求作：求作过点P且与直线AB平行的直线. 依据：同位角相等，两直线平行. 作法：（1）如图4.4-11，过点P作直线EF，与直线AB相交于点M； （2）以点M为圆心，以小于MP的长度为半径画圆弧，交MB 于点G，交MF于点H； （3）以点P为圆心，以MG（或MH）的长为半径画圆弧，交PF 于点C； （4）以点C为圆心，以HG的长为半径画圆弧，与前弧交于点D； （5）连接PD，则直线PD为所求作的平行线. 题型专练 题型1. 尺规作图——作三角形 【例1】（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）用直尺和圆规做一个三角形，使它和已知三角形全等（要求用两种方法做图，保留作图痕迹，不必写做法）． 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，全等三角形的判定，先作射线，再以D为圆心，的长为半径画弧交射线于F，以D为圆心，的长为半径画弧，以F为圆心，的长为半径画弧，二者交于E，连接，则即为所求；先作射线，再以D为圆心，的长为半径画弧交射线于F，作，以D为圆心，的长为半径画弧交于E，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 如图所示，即为所求． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知点O，以O为直角顶点，作一个直角三角形． 【分析】本题考查了尺规作图．过点O作一直线，以为点O圆心任意长为半径画弧交直线于两点，再以这两点为圆心，大于前弧的半径长为半径作出两弧，两弧相交于点，连接，则，在直线上取不同于点O的点，连接，则即为所作． 【详解】解：如图，即为所作． 【例3】（24-25七年级下·福建福州·期末）尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知：，线段． 求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 【分析】本题主要考查了三角形的尺规作图，先作射线，在射线上截取，作，作，交于点C，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求； 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题考查了作图-基本作图，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定．作射线，以为圆心，长度为半径画弧，交于点；分别以、为圆心，、长度为半径画弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 【详解】解：如图：即为所求． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 【分析】本题主要考查尺规作图—作平行线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）以为圆心，以适当长为半径画弧交与，交与，再以为圆心，以同样长为半径画弧交的延长线与，最后以为圆心，的长为半径，与弧交于，则直线即为所求； （2）①根据平行线的性质得出，再由等量代换及平行线的判定即可证明； ②根据垂直的定义得出，再由角平分线及平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：（1）如图：;    理由：由作图可知， ，根据同位角相等，两直线平行，所以 。 （2）①． 证明：∵， ， ， ， ， ②， DF平分， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的应作，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明，即可解答； （2）在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 利用证明即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中 ； （2）解：如图，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 理由如下： ，，， ， ． 题型2. 尺规作图——作一个角等于已知角 【例1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）尺规作图 如图，已知：求作：．（保留作图痕迹，不用写出作法） 【分析】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，先作射线，然后以点为圆心，以任意长为半径，画弧分别与、相交于点、，以为圆心，以相同的长度为半径画弧与相交于点，再以点为圆心，以的长度为半径画弧，与前弧相交于点，过点、作射线，则即为所求，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求： 【例2】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，请用尺规过点作一条直线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定，尺规作图—作与已知角相等的角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 作，根据同位角相等，两直线平行，即可解决问题． 【详解】解：如图所示． 【例3】（2025·河南驻马店·三模）如图，是的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离． 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，尺规作图—作与已知角相等的角，平行线分线段成比例定理，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）由三角形中线的定义得到，证明，得到，即，则，据此可得点到直线的距离是1． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：是的中线， ， ∵，， ， ， 即， ， 又∵和同底，点A到直线的距离是1， 点到直线的距离是1． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，请在的边上找一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法． 通过尺规作图，构造一个角等于已知角，利用作一个角等于已知角的基本作图步骤来确定点的位置． 【详解】如图：点即为所求，使． 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）如图，已知，以点O为顶点，射线为一边，在外作一个角，使它等于． 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，根据作图方法以为边在外作即可. 【详解】解：如图，即为所求： 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点在的延长线上，其中，． (1)在内部，求作射线，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． （）作，则，射线就是所求作的直线； （）依据平行线的性质，即可得到和的度数，进而得出的度数． 【详解】（1）解：如图，作，则， ∴射线即为所求； （2）解：由作图可知：， ∴， ∴， ∴． 题型3. 尺规作图——过直线外一点作这条直线的平行线 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线及上方一点，请仅用圆规和直尺作一直线，使得直线与直线平行不写作法，保留作图痕迹． 【分析】本题考查作图复杂作图、平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 结合平行线的判定，在直线上任取点，，连接，在的右侧作，作所在的直线即可． 【详解】解：如图，在直线上任取点，，连接，在的右侧作，作所在的直线， 则直线即为所求． 【例2】（24-25七年级下·山东·期中）如图，点M，N代表两个城市，是两条公路．现规划建造两条经N市的公路，这两条公路分别与平行，并在与的交会处分别建一座立交桥．请在图中画出规划建造的两条公路及立交桥的位置． 【分析】本题考查了作平行线，过点N分别作直线，交于点P；作直线，交于点Q，分别为规划建造的两条经N市的公路，立交桥应分别建在P，Q处． 【详解】解： 如图，过点N分别作直线，交于点P；作直线，交于点Q，分别为规划建造的两条经N市的公路，立交桥应分别建在P，Q处． 【例3】（24-25六年级下·山东青岛·期末）尺规作图：如图，点在的边上，按要求画图． (1)反向延长射线，得到射线； (2)在射线上截取； (3)过点作直线． 【分析】本题考查了线段、射线、过直线外一点作已知直线的平行线画法，熟练掌握线段、射线、过直线外一点作已知直线的平行线的画法是解题的关键． （1）按要求画即可； （2）用圆规截取即可； （3）以C为顶点，作一个角等于即可． 【详解】（1）解：如图； （2）解：如图，点F满足； （3）解：如图，． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，过点D作的平行线交于点E．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】此题考查了尺规作已知直线的平行线，尺规作，即可得到． 【详解】如图所示，即为所求． 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，直线和直线相交于点O，点P在直线上． 求作：直线l的平行直线，使它经过点P．（只保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题考查了尺柜作图－作平行线，在点P的右边取点C，以为一边在m的上方作即可． 【详解】解：作图如下： 【变式3】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）几何作图是人类探索空间关系的智慧结晶．中国《周髀算经》记载，西周时期已用“矩”（直角曲尺）测定方位、规划建筑，通过“移矩定平”的方法确保宫室梁柱平行；古希腊《几何原本》则系统建立了尺规作图体系，欧几里得以五大公理为基础，用圆规直尺演绎出千年前仍被沿用的平行线作图法．东西方虽工具不同（中国重实用直角器，希腊重抽象尺规），但都揭示了平行线的本质——方向一致性．下列问题将带你体验两种文明的几何智慧： (1)知识再现：图1，教材中，我们可以用直尺和三角尺，过直线外一点画已知直线的平行线a． 下面是操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边贴住直线； 正确的操作顺序是：_____ （填序号）； (2)类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线，使经过点且．（保留作图痕迹，不写画法） 【分析】本题考查作图复杂作图、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． （1）根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； （2）根据同位角相等，两直线平行，作图即可． 【详解】（1）解：（1）正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线b； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线a； 故答案为：④②①③； （2）如图，直线a即为所求； 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了尺规作角等于已知角，全等三角形的性质和判定．根据尺规作图的过程可得，即可根据“边边边”证明，即可解答． 【详解】解：由作法得：， ∴， ∴． 故选：C 2．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【详解】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图是解题关键．根据作一个角等于已知角可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由题意可知，，则选项C符合题意； ∵， ∴，则选项D符合题意； ∵，， ∴，则选项B符合题意； 假设正确，则， ∴， 又∵， ∴，但根据已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即选项A不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如下图．这一作法中，“”的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等） 故选：B． 5．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，则下列判断正确的是（　　） A．小明和小华的作法都正确 B．小明的作法正确，小华的作法不正确 C．小明的作法不正确，小华的作法正确 D．小明和小华的作法都不正确 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作一个角等于已知角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，根据作图可得，即可得出结论； 【详解】解：小明的做法：， ∴， ∴，即， 小华的做法：， ∴， ∴，即， 综上所述，小明和小华的做法都正确， 故答案为：A． 6．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 7．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，全等三角形的判定定理，由作图可得，，，再结合全等三角形的判定定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：，，， 在和中， ， ∴， 故选：B． 8．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 9．（2025·四川成都·二模）如图，在中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了作图、平行线的判定和性质、三角形的中位线，理解题意并灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图过程可知，则，可得，再根据是的中点可推出是的中点，即可求解． 【详解】解：A：由作图过程可知，该选项正确，故该选项不符合题意； B：∵，∴，，该选项正确，故该选项不符合题意； C：∵是的中点，，∴，∴，该选项正确，故该选项不符合题意； D：根据已知条件不能得出，故该选项符合题意． 故选：D ． 10．（2025·河北·模拟预测）如图，使用尺规经过直线a外的点P作直线a的平行线b，其作图步骤如下： 第①步：过点P作直线l交直线a于点O； 第②步：以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交直线a于点A，交直线l于点B； 第③步：以点P为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点C； 第④步：以点C为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点D，过点D，P作直线b，即为所求． 上述作图步骤中，作法错误的步骤是（    ） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定与性质，根据证明即可解决问题． 【详解】解：根据作图过程可知：第④步：以点C为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点D，过点D，P作直线b，即为所求．错误； 第④步：应该是：以点C为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点D，过点D，P作直线b，即为所求． 如图，连接，， 由作图可知，，， ∴， ∴， ∴，即． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与用尺规作一个角等于已知角的原理．解题的关键是理解尺规作图过程中构造出的相等线段，从而确定全等三角形的判定依据． 分析用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图过程，找出对应的相等边，确定全等三角形的判定方法． 【详解】以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； 同样地，以为圆心，同样的长度（即与前面半径相等）为半径画弧，交于点， 再以为圆心，长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点， 连接，这样就得到． 在和中，三边对应相等，根据全等三角形判定定理“SSS（边边边）”， 可得 所以，即得出作一个角等于已知角的依据是“”． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，第一步以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点E、F，第二步以点E为圆心，以线段的长为半径画弧②，过两弧的交点作射线，若，则的度数为 度． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识；根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接， 根据作图过程可知： ，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是 【分析】本题考查了作图－基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知， 在与中， ， ， ， 故答案为：． 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 14．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 【分析】本题考查了作图-基本作图．根据作图得到，于是得到结论． 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·北京·期中）如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹弧②的作法是 ． 【分析】根据做一个角等于已知角的作图方法，即可求解， 本题考查了，作图做一个角等于已知角，解题的关键是：熟练掌握作图做一个角等于已知角． 【详解】解：以点E为圆心，长为半径画弧， 故答案为：以点E为圆心，长为半径画弧． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 17．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若，，则 ． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，作图-基本作图，平行线的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理是解决此题的关键．由作图可得，于是证得，得出，再根据三角形内角和定理求出的度数，问题即可得解. 【详解】解：由作图可得， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：76． 19．（24-25八年级上·吉林延边·期末）如图，，尺规作图操作步骤如下：①以点为圆心，以适当的长度为半径画弧，分别交的两边于点A，B，连接，②作射线，③以为圆心，以长为半径画弧交射线于点，④以点为圆心，以长为半径画弧，将两弧交点记为点，⑤作射线．则的度数为 ． 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定以及性质，根据作图可知，，，则可得出，由全等三角形的性质可得出． 【详解】解：由作图可知：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 【分析】本题考查了平行线的性质、基本作图—作一个角等于已知角，由平行线的性质得出，由作法可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知线段a和，请利用尺规作，使，． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，分别作，截取即可． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形． 22．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知三角形，点F 在边上，过点F 画直线，使，垂足为 E． 【分析】本题考查了平行线判定，作一个角等于已知角，作垂线，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． 作，根据同位角相等，两直线平行，即可得到，再结合作垂线步骤作出，即可解题． 【详解】解：所作直线如图所示： 23．（24-25七年级下·河南郑州·期中）（1）如图，方格纸中有一条直线和一格点C．在直线上找一点N，使得最小； （2）如图，已知点是直线外一点，用尺规作直线，使． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，平行线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点E，D，连接，交于N，点N即为所求； （2）过点C任作一条直线交直线于E，再作即可． 【详解】解：（1）如图所示，取格点E，D，连接，交于N，点N即为所求； 由网格的特点可得，则，由垂线段最短可得，点N即为所求； （2）如图所示，过点C任作一条直线交直线于E，再作即可． 24．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，某公园的两条直道和交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路上的点P再修建一条直道，并且使与平行． (1)过点P的直线有 条． (2)用尺规作出过点P的直线，不要求写作法，保留作图痕迹． (3)这种做法的依据是： ． 【分析】本题考查作一个角等于已知角； （1）根据过一点可以作无数条直线解答即可； （2）根据作一个角等于已知角解答即可； （3）根据同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：过一点可以作无数条直线， 故答案为：无数； （2）如图，直线即为所作； （3）解：以上作图的依据为：同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 25．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知点是线段上一点． (1)如图，请使用尺规过点作直线交于点，作直线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)试判断与的关系，并说明理由． 【分析】（1）利用尺规作图中作平行线的方法（如利用同位角相等作平行线 ），过点作出与、平行的直线． （2）根据平行公理及推论，通过平行线的性质（两直线平行，同位角相等 ），逐步推导与的关系． 本题主要考查了尺规作平行线以及平行线的性质与判定，熟练掌握尺规作图方法和平行线的性质（两直线平行，同位角相等 ）是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，直线，即为所求． （2）解：． 理由如下： 由（1）可知， ∴． 由（1）可知， ∴． ∴． 26．（24-25七年级下·北京海淀·期末）小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据题意作图步骤进行作图即可； （2）根据作图痕迹，利用即可证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：根据作图可知：，，， ∴， 即判定的依据是②， 故答案为：②． 27．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，是的角平分线，请完成以下作图与填空： (1)用尺规在右侧作，使得，射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在中，，，是的角平分线，．求的度数． 解：在中，________①______°， ． 是的角平分线， _________②_________． ， ___________③___________， ． 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，与角平分线有关的三角形内角和问题，平行线的性质和判定等知识，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：在中，， ． 是的角平分线， ． ， ， ． 故答案为：①180，②③. 28．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，平分，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：． 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点,点即为所求； （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由（1）知，，， ，． ， ． 平分， ． 又， ， ，， ． 29．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点C． 求作：过点C作直线的平行线． 作法：①过点C作一条直线，与直线相交于点E； ②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ， （____________）， ， （____________）． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定填空即可． 【详解】证明：由作图可知，在和中， ， ∴， ∴， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；同位角相等，两直线平行． 30．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，，． (1)过点作平行于的直线，交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 小星是这样思考的： （已知）， （___________）． 又（已知）， ___________（两直线平行，内错角相等）， ， ___________． 请将上面小星思考的过程填写完整． 【分析】本题考查了作图——过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的平行线的作法作图即可； （2）根据平行线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$