【第四章 三角形 03讲 全等三角形】【八大知识点+11大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第四章 三角形 03讲 全等三角形 题型归纳 【题型1. 全等三角形的概念】………………………………………………………… 4 【题型2. 全等三角形的性质】………………………………………………………… 5 【题型3. 用SAS证明三角形全等】…………………………………………………… 9 【题型4. 用ASA证明三角形全等】…………………………………………………… 12 【题型5. 用AAS证明三角形全等】…………………………………………………… 16 【题型6. 用SSS证明三角形全等】…………………………………………………… 21 【题型7. 用HL证明三角形全等】…………………………………………………… 24 【题型8. 添加条件使三角形全等】…………………………………………………… 28 【题型9. 全等三角形的判定综合】…………………………………………………… 32 【题型10. 全等三角形的辅助线问题】………………………………………………… 38 【题型11. 三角形的稳定性】…………………………………………………………… 47 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 49 知识清单 知识点1 全等三角形 1.定义：一般地，能够完全重合的两个图形叫作全等图形，能完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 2.元素：全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，如图A与A’，B与B’，C与C’是对应顶点；互相重合的边叫作对应边，AB与A’B’，BC与B’C’，CA和C’A’是对应边；互相重合的角叫作对应角，∠A与∠A’，∠B与∠B’，∠C与∠C’ 是对应角. 【提示】 （1）如图，△ABC和△A’B’C’全等，记作△ABC≌△A’B’C’，全等用符号“≌”表示，读作“全等于”； （2）在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上. 知识点2 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 如图，∵ △ABC≌△A’B’C’ ∴ AB=A’B’，AC=A’C’，BC=B’C’，∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’ 知识点3 全等三角形的判定（SAS） 1.判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点4 全等三角形的判定（ASA） 1.判定定理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点5 全等三角形的判定（AAS） 1.判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点6 全等三角形的判定（SSS） 1.判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点7 全等三角形的判定（HL） 1.判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点8 三角形的稳定性 1.三角形的性质：只要三角形的三条边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 2.三角形稳定性的应用：如有些房屋的屋顶采用三角形结构，其道理就是三角形的稳定性，又如，自行车车架也利用了三角形的稳定性. 题型专练 题型1. 全等三角形的概念 【例1】（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形是解题的关键，根据全等三角形的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确； 两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确； 面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误； 周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误； 故选B． 题型2. 全等三角形的性质 【例1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，点在上，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键； 根据，可得，再由可得结果． 【详解】解：， ， 又， ， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 平分，， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 解得：， ； 故选：B 【例3】（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点，求的长． 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，若，，求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据，，求出的度数为，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：，， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． (1)的度数为________； (2)求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是： （1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 题型3. 用SAS证明三角形全等 【例1】（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：, , 在和中， ， ． 故选B． 【例3】（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，交于点E，，．求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定，直接根据“”进行证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据所学的三角形全等的有关知识，得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，，， 故， 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，平分，，的延长线交于点．若，求的度数． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，根据已知易证，解题即可． 【详解】解：∵平分， ∴.     在和中， ， ∴，     ∴.     ∵， ∴， ∴. 【变式3】（24-25七年级下·北京·期末）如图，点F，C在线段上，，．与全等吗？为什么？ 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据平行线的性质可得，再证出，然后根据定理即可得证． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型4. 用ASA证明三角形全等 【例1】（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【分析】本题为关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 故答案为：；；；；；；；；；． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（   ）去玻璃店． A．① B．② C．③ D．①和② 【分析】本题考查三角形全等判定解决实际问题，由题中图形可知，第③块玻璃保留了破碎钱三角形玻璃中的两个角及一条边，借助两个三角形全等的判定定理即可到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，要求学生将所需数学知识运用到实际生活中，读懂题意，观察图形，灵活运用三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，第③块玻璃保留了破碎钱三角形玻璃中的两个角及一条边，借助两个三角形全等的判定定理即可到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，因此最省事的办法是带③去玻璃店， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，平分，，交于点E，连接，若的面积为5，则的面积为（   ） A．15 B．14 C．12 D．10 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线，证明，得出点D是中点，即可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， 又， ∴， ∴，即点D是中点， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 题型5. 用AAS证明三角形全等 【例1】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由平行线的性质可得，最后再利用证明，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先求出，根据 “”可证得，推出，然后结合已知条件求出的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【例3】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，，证明，得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：． 【变式2】（2025·广东广州·二模）如图，，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：∵， 在和中 ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在四边形中，对角线交于点O，，E是上的一点，且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理可证明，即． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ， ∴，即． 题型6. 用SSS证明三角形全等 【例1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到两三角形全等即可解题． 【详解】解：因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有C选项与的各边都相等， 故选：C． 【例2】（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 【例3】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，则与全等吗？为什么？ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由已知得，即，利用边边边即可判定全等． 【详解】解：这两个三角形全等； 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由三边相等得，即由判定三角形全等． 【详解】解：根据题意，， 又，为公共边， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 【详解】（1） 在与中 （2） 【变式3】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型7. 用HL证明三角形全等 【例1】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ， ∵在和中 ， ， 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 先证明，根据即可证明． 【详解】证明： ∵，， ∴ 在和中 ∵， ∴（）． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据“”证明即可． 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ， ． 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．求证：． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先根据得出，再根据可证． 【详解】证明：， ，即， ， 在和中， ， ． 题型8. 添加条件使三角形全等 【例1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，已知，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故D符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，相交于点，且，添加下列条件，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴不能判定，故选项符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）． 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．添加的条件是，理由：先求出，再根据对顶角相等可得，然后根据定理即可得． 【详解】解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定条件进行判断即可． 【详解】解：∵，， A．当时，；故A选项不符合题意； B．当时，不能得到；故B选项符合题意； C．当时，；故C选项不符合题意； D．当时，；故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，，，那么需要补充一个直接条件 （写出一个即可），才能使． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据全等三角形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：补充条件， 在和中， ∴； 补充条件， 在和中， ∴； 补充条件， 在和中， ∴； ∴补充条件或或，才能使． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25七年级下·河南·期末）如图：，，相交于点，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，本题已知条件是一条公共边和，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出、，所以添加的条件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等． 【详解】解：当添加时， 在和中， ， ； 当添加时， 在和中， ， ； 故答案为： 或 ． 题型9. 全等三角形的判定综合 【例1】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，找条件证明是解题的关键．证明。得到，即可得到结论． 【详解】解：， ， （直角三角形两锐角互余）， ， ， （同角的余角相等）， 在和中， ， ， ， （全等三角形对应边相等） ． 故答案为：；直角三角形两锐角互余；；同角的余角相等；；全等三角形对应边相等． 【例2】（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．    (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； (2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题； (2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题． 【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF， 选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分） 故答案为：①，SSS； （2）证明：∵△ABC≌△DEF． ∴∠A＝∠EDF， ∴AB∥DE． 【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【例3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，点A、B、D、E在同一直线上，，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，得到，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】证明：∵， ， ∴， ， ， 即， 在和中， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【分析】（1）利用公共边，结合证明即可． （2）利用证明即可得到结论． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．那么吗？请说明理由． 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再证明即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 题型10. 全等三角形的辅助线问题 【例1】（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 【例2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴ 可得， 即：， ∴，的可能取值为3 故答案为：；3（答案不唯一） （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解： 由（2）可得：， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 【变式2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，可得是等边三角形，得，结合利用全等三角形判定定理证出，得出，最后通过等量代换即可完成证明． 【详解】解：，理由如下： 过点作交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，   ， ， ， ，            在和中， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 题型11. 三角形的稳定性 【例1】（24-25七年级下·重庆·期末）利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形具有稳定性，即三边确定后形状固定不变形，而四边形等不具备该特性，需逐一分析选项，判断是否利用三角形结构来增强稳定性． 【详解】解： A：车库起落杆通常为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，而非三角形稳定性； B：四条腿的方桌仅由四边形支撑，未添加三角形加固结构，易摇晃，属于四边形不稳定的实例； C：枪的准星瞄准目标时，三点一线原理属于几何应用，与结构稳定性无关； D：脚踏车三角车架通过三角形结构连接各部件，利用三角形的稳定性使车架坚固不易变形； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【分析】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； D、应用到三角形的稳定性，不符合题意； 故选：C． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：甲：不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 综上分析可知：和全等的图形是乙和丙． 故选：B． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 4．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．2 C．3 D． 【分析】本题考查了全等三角形的证明和三角形中线的性质求解三角形的面积，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解决本题的关键． 由点为的中点可得和的面积相等，都为3，再由角边角的证明方法可证明与全等，则面积也相等，再由点为的中点可得和的面积相等，计算即可． 【详解】解：因为点为的中点， 则在中，为的中线， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 在和中， ， 所以， 则在和中， 因为， 所以， 所以， 因为点为的中点， 则在中，为的中线， 所以， 所以阴影部分的面积为 ． 故选：D ． 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项是否符合全等条件． 【详解】解：A．两角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等判定，正确，不符合题意； B．两边对应相等，但其中一组等边的对角相等，属于条件，无法唯一确定三角形（存在歧义情况），不能保证全等，错误，符合题意； C．两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，正确，不符合题意； D．两角对应相等，且一组等角的平分线相等，通过角平分线定理可推第三边相等，符合或全等判定，正确． 故选：B． 6．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 7．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）下列关于三角形的性质描述错误的是（    ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的高线不一定在三角形的内部 C．三角形的外角和为360° D．三角形的一个外角等于两个内角之和 【详解】本题考查三角形的基本性质，需逐一分析各选项的正确性． 【分析】三角形三边确定后形状唯一，具有稳定性，故A正确． 钝角三角形的高线可能位于外部，直角三角形的高线在边上，因此高线不一定在内部，故B正确． 三角形每个顶点处取一个外角，三个外角的和为360°，故C正确． 三角形的一个外角应等于与它不相邻的两个内角之和，而非任意两个内角之和，若未强调“不相邻”，故D错误． 故选D． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 9．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，与有公共斜边（顶点A、D在同侧），，连接，已知，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．12 D．8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，延长，相交于点F，先得出，再证明，由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出，进而可求出，最后根据三角形面积求解即可得出答案． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵，， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D 10．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，， ， ， ∵四边形是矩形， ， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当时，， ， ； ②当时，， ，， ，， 的值为2或， 故选：D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米，如果需要想象的话，可以将之视为200层的高楼．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性作答即可． 【详解】解：由题意知，蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，，，且点在上，点在上，添加一个条件： ，使得． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，结合图形，利用全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：∵，， 添加，利用得出； 添加，利用得出； 故答案为：（或） 13．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A、B、C、D、E在同一平面内． 已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．根据题意证明出即可求解． 【详解】解：每本书长，厚度为， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：24． 14．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是 ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则 （用含的代数式表示）． 【分析】本题考查了三角形的全等的性质，角平分线的定义，平行线的性质， 根据角平分线的定义求出，利用，得，可得， 根据平行线的性质，分三种情况求解即可， 【详解】解：当交点H在线段上时， 平分， ， ， ， ， ， ， 当交点H在直线上且在点E下方时， ， ， 当交点H在直线上且在点F上方时， ， ， 平分， ， ， ， 综上，的度数为． 故答案为：或或． 16．（24-25八年级上·北京·期中）如图，于点于点，且．若，则的大小为 ． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：25． 17．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意得先证明，进而可得，，，根据即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵． ∴． 又∵． ∴． ∴，，， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当为线段上时，作于点，证明，求得，，，再证明，求得，即可求解的长；当为线段上时，同理求解即可． 【详解】解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或7． 故答案为：3或7． 19．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 【分析】本题考查去啊能三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． 根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒） ∴的值为或或， 故答案为：或或． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③；④若，，则的面积是4．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，余角的性质．根据旋转的性质可得，可判断①；再由全等三角形的性质可得，，从而得到，可判断②；再由余角的性质可得，可判断③；根据三角形的面积公式可判断④． 【详解】解：由旋转的性质得：，故①正确； ∴，， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴的面积是，故④正确； 综上，所有正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④ 三、解答题 21．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）如图，，，判断与的数量关系，请说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：．理由如下： ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 24．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． (1)求证：： (2)若，求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意推出，，即可求证； （2）根据题意推出结合，得；根据，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； ∵． ∴， ∵A ∴； （2）解：∵， ∴； ∵ ∴ ∵， ∴； ∴， ∴ 25．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在一条直线上，且（）； ②测得 ③在的延长线上取点，使得 ④测得的长度为30米． (1)两点间距离是____________米． (2)请你说明方案正确的理由． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）直接猜想两点间距离是米． （2）由三角形内角和定理，得出，进而证明，推出，即可求解． 【详解】（1）解：两点间距离是米； （2）解：， ． ， ． 在和中， ， ． ， ， 米， 即、两点间的距离为30米． 26．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 27．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 29．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点G，使，连接，可证明，则可证明，得到，，再证明，进而证明，则，据此可得结论； （2）延长到点G，使，连接，可证明，再同（1）证明即可． 【详解】解：（1）如图所示，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ， ． （2）如图所示，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ∴， ，． ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 30．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，，过点作直线． (1)如图1，当点，位于直线的同侧时，过点作于点，过点作于点，与全等吗？请说明理由； (2)如图2，当点，位于直线的异侧时，过点作于点，过点作于点，试探究线段，，的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由，得，证得，根据等角的余角相等得到，根据可证明； （2）证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 于D，于N，（已知）， （垂直定义）， （三角形内角和定理）， ，（已知） ，（平角定义） ，（同角的余角相等） 在和中， ， ． （2）； 理由：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，余角和补角的性质等知识点，熟练证明三角形全等是解题的关键． 31．（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，O是等腰直角内一点，连接、、，当，，时，求的度数，并说明理由， 【分析】本题考查了旋转的性质，旋转前、后的图形全等，勾股定理的逆定理．如图，将绕点B顺时针旋转后得到，则是等腰直角三角形，利用勾股定理的逆定理判断出，可得结论． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 可得，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 33．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 03讲 全等三角形 题型归纳 【题型1. 全等三角形的概念】………………………………………………………… 4 【题型2. 全等三角形的性质】………………………………………………………… 4 【题型3. 用SAS证明三角形全等】…………………………………………………… 6 【题型4. 用ASA证明三角形全等】…………………………………………………… 8 【题型5. 用AAS证明三角形全等】…………………………………………………… 9 【题型6. 用SSS证明三角形全等】…………………………………………………… 11 【题型7. 用HL证明三角形全等】…………………………………………………… 13 【题型8. 添加条件使三角形全等】…………………………………………………… 15 【题型9. 全等三角形的判定综合】…………………………………………………… 16 【题型10. 全等三角形的辅助线问题】………………………………………………… 19 【题型11. 三角形的稳定性】…………………………………………………………… 23 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 24 知识清单 知识点1 全等三角形 1.定义：一般地，能够完全重合的两个图形叫作全等图形，能完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 2.元素：全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，如图A与A’，B与B’，C与C’是对应顶点；互相重合的边叫作对应边，AB与A’B’，BC与B’C’，CA和C’A’是对应边；互相重合的角叫作对应角，∠A与∠A’，∠B与∠B’，∠C与∠C’ 是对应角. 【提示】 （1）如图，△ABC和△A’B’C’全等，记作△ABC≌△A’B’C’，全等用符号“≌”表示，读作“全等于”； （2）在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上. 知识点2 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 如图，∵ △ABC≌△A’B’C’ ∴ AB=A’B’，AC=A’C’，BC=B’C’，∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’ 知识点3 全等三角形的判定（SAS） 1.判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点4 全等三角形的判定（ASA） 1.判定定理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点5 全等三角形的判定（AAS） 1.判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点6 全等三角形的判定（SSS） 1.判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点7 全等三角形的判定（HL） 1.判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点8 三角形的稳定性 1.三角形的性质：只要三角形的三条边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 2.三角形稳定性的应用：如有些房屋的屋顶采用三角形结构，其道理就是三角形的稳定性，又如，自行车车架也利用了三角形的稳定性. 题型专练 题型1. 全等三角形的概念 【例1】（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2. 全等三角形的性质 【例1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，点在上，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例2】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，若，，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． (1)的度数为________； (2)求的度数． 题型3. 用SAS证明三角形全等 【例1】（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，交于点E，，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据所学的三角形全等的有关知识，得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，平分，，的延长线交于点．若，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·北京·期末）如图，点F，C在线段上，，．与全等吗？为什么？ 题型4. 用ASA证明三角形全等 【例1】（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【例2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（   ）去玻璃店． A．① B．② C．③ D．①和② 【变式2】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，平分，，交于点E，连接，若的面积为5，则的面积为（   ） A．15 B．14 C．12 D．10 【变式3】（24-25九年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 题型5. 用AAS证明三角形全等 【例1】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，且，点在上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，，连接交于点，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东广州·二模）如图，，，．求证：． 【变式3】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在四边形中，对角线交于点O，，E是上的一点，且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)与相等吗？为什么？ 题型6. 用SSS证明三角形全等 【例1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，则与全等吗？为什么？ 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式3】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 题型7. 用HL证明三角形全等 【例1】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知A、F、B、D在同一直线上，且，，，与相交于点O．求证：． 题型8. 添加条件使三角形全等 【例1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，相交于点，且，添加下列条件，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·河南平顶山·阶段练习）如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）． 【变式1】（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，，，那么需要补充一个直接条件 （写出一个即可），才能使． 【变式3】（24-25七年级下·河南·期末）如图：，，相交于点，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是 ． 题型9. 全等三角形的判定综合 【例1】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 【例2】（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．    (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； (2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 【例3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，点A、B、D、E在同一直线上，，，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【变式3】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．那么吗？请说明理由． 题型10. 全等三角形的辅助线问题 【例1】（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【例2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【变式2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【变式3】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 题型11. 三角形的稳定性 【例1】（24-25七年级下·重庆·期末）利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 【变式1】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 巩固练习 一、单选题 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 4．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．2 C．3 D． 5．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 6．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）下列关于三角形的性质描述错误的是（    ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的高线不一定在三角形的内部 C．三角形的外角和为360° D．三角形的一个外角等于两个内角之和 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，与有公共斜边（顶点A、D在同侧），，连接，已知，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．12 D．8 10．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 二、填空题 11．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米，如果需要想象的话，可以将之视为200层的高楼．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，，，且点在上，点在上，添加一个条件： ，使得． 13．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A、B、C、D、E在同一平面内． 已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 14．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是 ． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则 （用含的代数式表示）． 16．（24-25八年级上·北京·期中）如图，于点于点，且．若，则的大小为 ． 17．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 19．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③；④若，，则的面积是4．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 21．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 22．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 23．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）如图，，，判断与的数量关系，请说明理由． 24．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的两侧，，． (1)求证：： (2)若，求的度数． 25．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A，B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在一条直线上，且（）； ②测得 ③在的延长线上取点，使得 ④测得的长度为30米． (1)两点间距离是____________米． (2)请你说明方案正确的理由． 26．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 27．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 28．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 29．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 30．（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，，过点作直线． (1)如图1，当点，位于直线的同侧时，过点作于点，过点作于点，与全等吗？请说明理由； (2)如图2，当点，位于直线的异侧时，过点作于点，过点作于点，试探究线段，，的数量关系，并说明理由． 31．（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，O是等腰直角内一点，连接、、，当，，时，求的度数，并说明理由， 33．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$