第2章 专题3 实数的大小比较-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套课件（北师大版2024）

八年级数学 上册·北师版 第二章 实数 专题3　实数的大小比较 数轴比较法　　 因为实数与数轴上的点是一一对应的关系，并且数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，所以可以利用数轴比较实数的大小．这种方法其实就是渗透了数形结合思想． 比较－3， eq \r(2)，0的大小． 解：把－3， eq \r(2)，0分别在数轴上表示出来，如答图．根据数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，得－3<0< eq \r(2). 1题答图 绝对值比较法　　 本方法依据基本原理“两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的反而小”进行比较． 比较－ eq \r(10)与－ eq \r(11)的大小． 解：因为|－ eq \r(10)|＝ eq \r(10)，|－ eq \r(11)|＝ eq \r(11)， eq \r(10)< eq \r(11)，所以－ eq \r(10)>－ eq \r(11). 平方法或立方法　　 a>b≥0⇔ eq \r(a)> eq \r(b) 用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较；类似地，比较几个三次方根，可以使用立方法． 比较 eq \r(13)＋ eq \r(5)与 eq \r(15)＋ eq \r(3)的大小． 解：( eq \r(13)＋ eq \r(5))2＝13＋2 eq \r(65)＋5＝18＋2 eq \r(65)， ( eq \r(15)＋ eq \r(3))2＝15＋2 eq \r(45)＋3＝18＋2 eq \r(45). 因为18＋2 eq \r(65)>18＋2 eq \r(45)， 所以 eq \r(13)＋ eq \r(5)> eq \r(15)＋ eq \r(3). 作差比较法　　 对于任意实数a，b，有a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 比较 eq \f(3－\r(5),2)与 eq \f(3,8)的大小． 解： eq \f(3－\r(5),2)－ eq \f(3,8)＝ eq \f(12－4\r(5)－3,8)＝ eq \f(9－4\r(5),8). 因为4<5<5.062 5， 所以2< eq \r(5)<2.25，所以8<4 eq \r(5)<9， 所以9－4 eq \r(5)>0，所以 eq \f(9－4\r(5),8)>0， 即 eq \f(3－\r(5),2)－ eq \f(3,8)>0，所以 eq \f(3－\r(5),2)> eq \f(3,8). 估算法　　 当两个实数不能直接比较大小时，可以估算这两个数的大小，找到一个中间数，使一个数比中间数大，另一个数比中间数小，即可比较这两个数的大小． 比较 eq \r(65)－2与 eq \r(10)＋2的大小． 解：因为8< eq \r(65)<9，3< eq \r(10)<4， 所以6< eq \r(65)－2<7，5< eq \r(10)＋2<6， 所以 eq \r(65)－2> eq \r(10)＋2. 倒数法　　 对于任意正实数a，b，有 eq \f(1,a)> eq \f(1,b)⇔a<b； eq \f(1,a)< eq \f(1,b)⇔a>b. 已知x＝ eq \r(n＋3)－ eq \r(n＋1)，y＝ eq \r(n＋2)－ eq \r(n)，比较x，y大小． 解： eq \f(1,x)＝ eq \f(1,\r(n＋3)－\r(n＋1))＝ eq \f(\r(n＋3)＋\r(n＋1),2)>0， eq \f(1,y)＝ eq \f(1,\r(n＋2)－\r(n))＝ eq \f(\r(n＋2)＋\r(n),2)>0. 因为 eq \r(n＋3)＋ eq \r(n＋1)> eq \r(n＋2)＋ eq \r(n)>0， 所以 eq \f(1,x)> eq \f(1,y)>0，所以x<y. $$