专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③；(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，连接BE．①当时，为中点， 是等腰直角三角形，， 又，，， 在和中，，； ②；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ． ③；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ；如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形∴设，则 ∴ ∴ 由题意得，∴ ∴当时，和没有交点; ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则，， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形，，，，，， 在等腰中，，当时，；当时，取得最大， ，，， 在中，，，此时面积最大，． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·河南·校考期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．    在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系． (1)【初步成知】如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程： 小亮： 证明：连接．    由题意，可知，即为的中点． 平分，． ． ． ．．． ． 小红： 证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．    ． 易得． ．…… (2)【深入探究】①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明） (3)【拓展运用】在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长． 【答案】(1)详见解析(2)①，详见解析；②(3) 【详解】（1）∵四边形是矩形，∴． ．，即． 又，． （2）过点作于点于点，如解图1所示，          则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．． 易得．由四边形是矩形，得． ．，即． 又．，即． ②．当点在线段上时，同①可得，即； 当点在的延长线上时，如解图2所示；当点在的延长线上时，如解图3所示． 在解图2，3中，过点作于点于点，则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．．易得，． 由四边形是矩形，得．． 又，，即． （3）．连接，如解图4所示． 的中点为．点在线段的垂直平分线上运动． 当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点； 当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点． 点运动的路径长为． 例2（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）． 【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，∴，∴∠AMD+∠A=180°， ∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四边形AMDN为矩形； （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中点，∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2， ∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴线段AN的长为． 例3（24-25九年级下·江西赣州·期中）【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．    【特例证明】（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．①填空：______；②求证：． 【类比探究】（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值． 【答案】（1）①1；②见解析；（2），理由见解析；（3）3． 【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：， ∵将的直角顶点与点重合，∴，故答案为：1； ②证明：∵四边形是正方形，∴，，， ∴，即，∴，∴． （2），理由如下：过点作交于，∴，，       ∵四边形是正方形，∴，， ∴，， ∴，，即， ∴，∴． （3）过点作交于，作于，作于， 则，∴， 即，∴，由（2）和已知条件可得：，， ∴，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，同理可得：， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 令，则，，，∴，∴． 例4（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】解：（1）连接， ∵，∴菱形、都是正方形， ∴，，，， ∵，∴是中点，∴，，， 又，∴，∴，∴， 又，∴，故答案为：； （2）过作，交于M，，交于N， ∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴，，，， ∴是等边三角形，∴， ∴平行四边形是菱形，∴， ∵，，∴，∴， 又，∴，∵，∴； （3）过作于H， 设，∵，∴，∴，∴， 在中，，在中，， ∴解得或3，∴或3， 又，，∴或． 例5（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3） 【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E， ∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°， 在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB， ∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°， ∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON， 在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON． （2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E， 由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴， 由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON， ∴，∴ON＝k•OM． （3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k•OA， ∴OB＝•a，OA＝•a，∴OE＝OB＝a， ∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝•a， ∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋•a， 由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30° ∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°， ∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋•a， 设AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM， ∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1 ∴， ∴． 例6（24-25九年级下·河南·阶段练习）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F． (1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由； (2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②仍然成立；理由见解析(2)或 【详解】（1）解：①DE=DF； ∵△ABC为等边三角形，∴，∵点D为BC的中点，∴， ∵DE⊥AB，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴DE=DF；故答案为：DE=DF； ②DE=DF仍然成立；将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，为等边三角形，∴， ∵，，∴， ∴，∴DE=DF； （2）①当点E在A、B两点之间时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： 设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，为等边三角形，∴， ∵，，∴，∴， ，∴，∴， ∴，∴； ②点E在B点下方时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： 设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴∴，为等边三角形， ∴，即，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， ∴，∴，∴； 综上分析可知，的值为或4． 例7（2024·山东·校考一模）已知：是等边三角形，点是边上任意一点． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，点是的中点，，交延长线于点，过点作于点，且，：：求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ，，， ，，，． （2）解：是等边三角形，， ，，，，， 点是的中点，，，，， ，，， ，∽，， ，：：．，，， 如图，作，，即，，， ，即，，， ，，，． 1．（24-25·江苏·九年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 【答案】 【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图， ∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°， 又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形， ∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE， ∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF， 设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x， ∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为． 2．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    【答案】 /度 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，，∴四点在同一个圆上，∴；       （2）如图2，过点分别作于点，作于点 ， 则有： ， ∴，∴， ∵∴，∴，∵，，∴ 又∵，∴，则有 ，即． ∵，∴，即，∵，∴，即． 3．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为 ．    【答案】 【详解】∵∴∴ ∵四边形是菱形，∴， ∴∴∴， 又∵∴．， ∵∴，∴． 设，则，， ；故答案为：． 4．（2025·上海·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB，然后由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果； （2）结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得证结果． (1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°， ∵∠DAE=45°，∴ ∴ ∴∠DAC=∠EAB， ∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB， ∴，即，∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB． (2)证明：∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°-90°-45°=45°， ∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°， ∴∠CAD=180°-∠ADE-∠CDE-∠ACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE， 又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO•CA． 5．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解：①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现：如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用：如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；②(2)平分，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等，矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等，正方形一定是等补四边形，故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中，，，． ，，，，， 又，四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下：如图，过点A分别作于E，于F， 则，四边形是等补四边形，， 又，， ，，，是的角平分线． （3）解：连接，在等补四边形中，，同（2）可知平分， 四边形是等补四边形，， 又，， 平分，平分，， 又，，，即，解得． 6．（2025浙江校考一模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF； （2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题； （3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF； （2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4； （3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°， ∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴， ∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得， ∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴ 解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 综上所述，满足条件的AF的值为或或． 7．（2025·浙江·校考一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°， 【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q． 在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明． 【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由． 【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）． 【答案】0＜m≤2+ 【详解】（操作1）EP=EQ， 证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°， ∵∠BEC=∠FED=90°∴∠BEP=∠CEQ， 在△BEP和△CEQ中，∴△BEP≌△CEQ（ASA），∴EP=EQ； 如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2， 理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC， ∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ， ∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2； 如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N， ∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°， 又∵∠EPB+∠MPE=180°，∴∠MPE=∠EQN，∴Rt△MEP∽Rt△NEQ， ∴，Rt△AME∽Rt△ENC，∴，∴， EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP， ∴0＜m≤2+，（因为当m＞2+时，EF和BC变成不相交）． 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；②；(3) 【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，， 又∵，∴，， ∴，∴， ∴，即， 在中，，∴，∴；    ②证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即，是的中点，，， ，，， ，是等边三角形，， ，根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点， 同①，可得，，，，， 同①可得，， 即线段之间数量关系为； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点， 当与重合时，，则，∴是等边三角形， 当与重合时，同理可得是等边三角形， ∵，∴，∴， ∵分别为的中点，∴则 ∴，则 又∵∴∴ ∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积， ， ，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，，如图所示，过点作于点， ∴∵是等边三角形，∴， ∴，∴，过点作于点，则， ∴，∴， 即线段扫过的图形的面积为． 9．（24-25·山东·九年级期末）如图1，将直角三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点． （1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）2 【详解】(1)证明：∵，，∴， 在和中，，∴，∴； (2)解：成立．证明：如图，过点作于，过点作于， ∵四边形为正方形，∴平分， 又∵，，∴，∴四边形是正方形，∴， ∵，， ∴，∴，∴； ． (3)解：如图，过点作于，过点作于，垂足分别为、，则， ∴，．∴，， ∴，，∴，即， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 10．（24-25·河南驻马店·一模）如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°． （1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　 　，请证明你的结论； （2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　 　； （3）如图3，若=k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示） 【答案】（1）1，证明见解析；（2）；（3） . 【详解】（1）如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H， ∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，∴CD平分∠ACB， ∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∴PG=PH， ∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG， ∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴=1，故答案为：1； （2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H， ∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG， ∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴， ∵PG=HC，∴∵D为AB中点，∴DC=DB，∴∠DBC=∠DCB，∴△PHC∽△ACB， ∴，∴故答案为：； （3）如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K， 同（2）可得△PMH∽△PGN，∴，∵，∴， ∵DT∥PG，DK∥PH，∴，∴，∴． 11．（24-25九年级下·吉林长春·自主招生）在菱形中，P是对角线上一点． 【感知】如图①，过点P作交于点M，作交于点N．易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点E、F（E、F不与菱形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由． （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图③，，的两边分别交边所在直线于点E、F，连结，当，，且时，线段的长为______． 【答案】【应用】（1）等边三角形，见解析；（2）；【拓展】或 【详解】解：应用：（1）是等边三角形，理由如下： 四边形是菱形，，， ，点、、、共圆， ，，是等边三角形； （2）当时，的边长最小，则面积最小，此时， 四边形是菱形，， ，是等边三角形，， ，，，，故答案为：； 拓展：如图，当点E在点B左侧时， 同理（1）可得：是等腰三角形，四边形是菱形，， ，是等腰三角形，， ，，，， ，，，作于，作于， 可得，可得，， ，， 当点E在点B右侧时，同理：；故答案为：或． 12．（2025·河南周口·校考一模）（1）问题发现：如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）； （2）拓展探究：在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明； （3）问题解决：如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）．    【答案】（1）；（2）的大小没有变化，证明见解析；（3） 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∵，， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，故答案为：；． （2）的大小没有变化．证明如下：过作于点，于点， 则，，， 又，，， ，，，，， 又，，，即，．    （3）解：过作于点，于点， 则，，， 又，，，，， ，，，又，，即， 四边形是正方形，， 当时（n是正实数），，∴， ∴四边形的面积，故答案为：． 13．（24-25江西九年级期末）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（　　） A、DP＜DQ       B、DP＝DQ      C、DP＞DQ      D、无法确定 ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为　　（直接写出结论，不必证明）。（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①B；②DP＝2DQ，理由见解析；③DP＝nDQ；（2）存在，，最小值是5，最大值为10，理由见解析． 【分析】（1）①首先利用等腰直角三角形的性质得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案； ②首先得出△DPM∽△DQN，则＝，求出△AMD∽△BND，进而得出答案； ③根据已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，则＝＝，则AD＝nBD，求出即可； （2）当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值；当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，S有最大值分别求出即可． 【详解】解：（1）①DP＝DQ，理由：如图2，连接CD，∵AC＝BC，△ABC是等腰直角三角形， ∴AD＝CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°， ∴∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ， 在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（ASA），∴DP＝DQ； ②DP＝2DQ，理由：如图3，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为：M，N， 则∠DMP＝∠DNQ＝90°，∴∠MDP＝∠NDQ，∴△DPM∽△DQN，∴＝， ∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，∴△AMD∽△BND，∴＝， ∴＝＝＝2，∴DP＝2DQ； ③如图1，过D点作DM⊥CB于点M，作DN⊥AC于点N， ∵∠C＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP+∠QDB＝90°，可得：∠MDN＝90°，∴∠QDM＝∠NDP， 又∵∠DNP＝∠DMQ，∴Rt△DNP∽Rt△DMQ，∴＝， ∵由（1）知，△ADN∽△BDM，∴＝＝， ∵AD＝nBD，∴＝＝＝n，∴DP与DQ满足的数量关系式为：DP＝nDQ；故答案为：DP＝nDQ； （2）存在，设DQ＝x，由（1）①知，DP＝x，∴S＝x•x＝x2， ∵AB＝20，∴AC＝BC＝10，AD＝BD＝10， 当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值，S最小＝×（5）2＝25， 当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，此时，S有最大值，S最大＝×102＝50． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质以及求最值等知识，熟练利用相似三角形的性质得出对应边关系是解题关键． 14．（24-25九年级上·广东·期末）已知，是的平分线，将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合． (1)如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；(2)如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值； (3)若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长． 【答案】(1)与的数量关系是相等，证明见解析(2)(3)示意图见解析，或 【详解】（1）解： 与的数量关系是相等． 证明：过点作，，垂足分别为点、，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∵是的平分线， ∴，， 在和中，， 又∵，∴，∴； （2）解：∵，，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴； （3）解：①如图1所示，若与射线相交，交点与点在点的同侧， ∵，，∴，∴，即，， ∵以、、为顶点的三角形与相似，， ∴，即，∴， ∵即，∴，∵，，∴； ②如图2所示，若与射线相交，交点与点在点的两侧，过点作，，垂足分别为点、，∴， ∵是的平分线，∴，，∵， 又∵以、、为顶点的三角形与相似，， ∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，设， ∵，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，设边长为，∴， ∴，即，∴或（舍去），∴， ∵，∴， ∵，∴，解得：，即， 综上所述，或． 15．（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）． 【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四边形AMDN为矩形； （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中点，∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴线段AN的长为． 16．（24-25山西忻州·九年级校考期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．    问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）∵在等边中，，，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，即，∴； （2）如图，连接，过D作于M，作于N， ∵是等边三角形，D为的中点， ∴是的平分线，，∴，， 又∵，∴，∴， ∴在与中，，∴，∴；    （3）过点分别作于，于， 在中，，是的中点，， ，，，，， 是的中点，是的中位线，是的中位线，，， 四边形为矩形，，， ，， ，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·河南·校考期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．    在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系． (1)【初步成知】如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程： 小亮： 证明：连接．    由题意，可知，即为的中点． 平分，． ． ． ．．． ． 小红： 证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．    ． 易得． ．…… (2)【深入探究】①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明） (3)【拓展运用】在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长． 例2（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 例3（24-25九年级下·江西赣州·期中）【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．    【特例证明】（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．①填空：______；②求证：． 【类比探究】（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值． 例4（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 例5（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 例6（24-25九年级下·河南·阶段练习）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F． (1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由； (2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值． 例7（2024·山东·校考一模）已知：是等边三角形，点是边上任意一点． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，点是的中点，，交延长线于点，过点作于点，且，：：求线段的长． 1．（24-25·江苏·九年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 2．（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片  内剪取一个直角，点 ，， 分别在，， 边上．请完成如下探究：（1）当 为的中点时，若，    （2）当，、时 ， 的长为    3．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为 ．    4．（2025·上海·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 5．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解：①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现：如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用：如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 6．（2025浙江校考一模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 7．（2025·浙江·校考一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°， 【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q． 在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明． 【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由． 【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）． 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 9．（24-25·山东·九年级期末）如图1，将直角三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点． （1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，则______． 10．（24-25·河南驻马店·一模）如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°． （1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　 　，请证明你的结论； （2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则=　 　； （3）如图3，若=k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示） 11．（24-25九年级下·吉林长春·自主招生）在菱形中，P是对角线上一点． 【感知】如图①，过点P作交于点M，作交于点N．易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点E、F（E、F不与菱形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由． （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图③，，的两边分别交边所在直线于点E、F，连结，当，，且时，线段的长为______． 12．（2025·河南周口·校考一模）（1）问题发现：如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）； （2）拓展探究：在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明； （3）问题解决：如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）．    13．（24-25江西九年级期末）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（　　） A、DP＜DQ       B、DP＝DQ      C、DP＞DQ      D、无法确定 ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为　　（直接写出结论，不必证明）。（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·广东·期末）已知，是的平分线，将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合． (1)如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；(2)如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值； (3)若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长． 15．（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 16．（24-25山西忻州·九年级校考期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．    问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$