专题12 直角三角形的压轴题（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题12 直角三角形的压轴题 目录 典例详解 1 类型一、求最短路径（勾股定理的应用） 1 类型二、直角三角形全等的综合应用 5 类型三、角平分线的综合应用 16 压轴专练 27 类型一、求最短路径（勾股定理的应用） 求最短路径（勾股型）三步： 1. 展：将立体或折线路径展开成平面直线； 2. 构：在展开图中连接起终点，构造直角三角形； 3. 算：用勾股定理 a²+b²=c² 求斜边即最短路径长。 关键：展平后“两点直线最短”，注意展开方式唯一且含直角。 例1．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 变式1-1 如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 【答案】39 【分析】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，根据勾股定理计算出最短路程．（勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．） 【详解】解：过B作于E点，如图： 则厘米，厘米，（厘米） 在直角三角形中， 因为 所以厘米 所以蚂蚁爬行是最短路程是39厘米． 变式1-2．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 变式1-3．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，根据“两点之间线段最短”可知的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求出的值． 本题考查了求圆柱体表面上两点之间的最短距离．将几何体展开成平面图形，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】如图， 将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，则的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 延长，过点作于D点， 则，，， 由题意得，， 由勾股定理得． 故答案为：． 类型二、直角三角形全等的综合应用 判全等：先找直角，再套HL（斜边+直角边）或SAS、ASA、AAS。遇高、角平分线、中点，构造双直角三角形；用HL或SAS证全等，得对应边等、角等，进而求边长或角。若缺条件，作垂线或倍长中线补直角。 例2．在和中，．，交于点，延长交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)若． ①如图2，已知，，求线段的长； ②如图3，连接，，延长交于点，判断是否为线段的中点？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)6；是线段的中点 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明； （2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ②先判断F是线段的中点，再说理，利用等角对等边证明，利用证明，据此即可证明F是线段的中点． 【详解】（1）证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴； （2）解：①连接， ∵，，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②F是线段的中点．理由如下， 延长和交于点H，如图， 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（）， ∴，即F是线段的中点． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 变式2-1．已知在中，，，为直线上一动点，连接． (1)如图1，若为线段上的一点且满足，若，求线段的长； (2)如图2，若为线段上的一点，过点作∥交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接，试探究线段之间的数量关系，并证明其结论； (3)如图3，，将绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）过点作于点．求出，得，，证明是等腰直角三角形，得，根据求出，从而得出结论； （2）如图2中，延长交的延长线于点T．证明，推出，，证明，推出，可得结论； （3）将绕点逆时针旋转得到．证明 ，当'时，有最小值．过点作于点，延长交直线于点，连接，证明，求出，，得，求出，，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点． ∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：结论：． 证明如下：如图2，延长交的延长线于点． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的最小值为． 如图3，将绕点逆时针旋转得到． 由旋转的性质可得，， ∴， ∴ ， ∴． ∵是定点， ∴点在直线上运动， ∴当'时，有最小值． 过点作于点，延长交直线于点，连接， ∵在中，， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 变式2-2．在△中，，点为的中点，点、分别在边、上． (1)如图1，若，，，求的值； (2)如图2，当，时，求证：； (3)如图3，连接，已知，，，若，用三条线段、、围成的三角形的面积为，求的长． 【答案】(1)3， (2)见解析， (3) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论； （2）如图2中，连接，作于，于．证明，，可得，，推出，再利用直角三角形30度角性质即可解决问题． （3）延长到，使得，连接，，作于．首先证明，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：连接， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 同理，， ； （2）证明：如图2中，连接，作于，于． ，， ，， ，， ，， ∴ ， ， ， ， ∴ ，， ，， ， ，， ， ，， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，，作于． ，，， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 由题意得：用三条线段、、围成的三角形的面积为，即由、、组成的三角形， ， ， ， ∵在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 变式2-3．如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)6或 (3) 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合中点的定义可得，从而得到，即可解答； （2）先根据勾股定理可得，然后分两种情况：当时，当时，结合直角三角形的性质以及全等三角形解答即可； （3）当点在上时，取得最小值，最小值为，根据勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 类型三、角平分线的综合应用 遇角平分线，先抓两个基本结论：角平分线定理（成比例线段）与角平分线上的点到两边距离相等。 证全等：作垂距，用HL或AAS； 求比例：直接用角平分线定理； 作辅助：倍长角平分线得等腰或构造对称。 综合应用时，“角—距—比”三联动，缺垂设垂，缺比补比，缺等腰造等腰，快速转化条件。 例3．对于同一平面内的及内部的射线，给出如下定义：若组成的3个角：，，中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线是的“牛线”．    (1)图1中，平分，则射线________的一条“牛线”．（填“是”或“不是”） (2)当射线是的“牛线”时，请求出的值． (3)已知：如图，在平面内，，若射线绕点从射线的位置开始，以每秒的 速度逆时针方向旋转，同时射线绕点从射线的位置开始，以每秒的速度逆时针方向旋转．当射线与射线碰撞后，射线的速度发生变化，以每秒的速度继续逆时针旋转，此时的射线则以每秒的速度继续逆时针旋转，当射线与射线的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若运动开始旋转的时间记为秒，当射线是的“牛线”时，直接写出所有满足条件的的值________． 【答案】(1)是 (2)，， (3)，，， 【分析】（1）由牛线的定义可得． （2）分三种情况讨论，由“牛线”的定义，可得出． （3）分三种情况讨论，由“牛线”的定义，分碰撞之前和碰撞之后列出方程可求出t的值． 【详解】（1）平分，则射线是的一条“牛线”； （2）当射线是的“牛线”时， 若，则； 若，则； 若，则． （3）若旋转的时间记为秒，当射线与射线碰撞时， ，解得， ∴当时，两条射线碰撞； 碰撞之前，则，， ，即，， ，即，； ，即，． 碰撞之后，旋转时间是， 则，， 当射线与射线的反向延长线重合时，，． 由（2）得： ，即，（舍）， ，即，； ，即，（舍）． 即的值是：.，，． 【点睛】本题考查了角的角平分线，角的和差倍分，熟练掌握“牛线”的定义是解题的关键． 变式3-1．如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)线段与相等，详见解析 (2)8 (3)，详见解析 【分析】先证明，进而可依据判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 过点D作于点H，根据角平分线性质得，依据判定和全等得，则，再证明和全等得，则，由此即可得出的长； 在的延长线上截取，连接，证明和全等得，，由此根据已知条件得，进而依据判定和全等得，然后根据即可得出这三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：线段与相等，理由如下： ， ， 在中，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ； （2）过点D作于点H，如图2所示： ，， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3），，这三者之间的数量关系是：，理由如下： 在的延长线上截取，连接，如图3所示： 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 变式3-2 【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 变式3-3 （1）如图1，已知：和是等边三角形，点、、在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①求的度数； ②猜想线段、和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）          （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①，②，理由见解析；（3） 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质利用证明即可解题； （2）①证明，得到，然后利用角的和差和三角形的内角和定理解题即可；②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）在上找一点，使得，连接，证明，即可得到，然后利用勾股定理得到长，再根据解题即可． 【详解】解：（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； （2）①同理可证， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②，理由为： 过点作，于点，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 在上截取，连接， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，， ， ，即， ， ， ， 又， ， ， ． 一、单选题 1．如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长，交于，的垂直平分线分别交、于点、点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由，可得，可判断①正确；设，则，表示和的长，可判断②正确；③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③正确；设设则，，再表示出与即可判断④不正确． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； 设，则， ，， 中，，， ， 故②不正确； ③如图，过作于，连接， 在等边三角形中， ， 平分，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，故③正确； 设 在中，， ，是的中点，，则， 设则，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故④错误， 故①③正确． 故选：B． 2．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的表面爬行到点，则爬行的最短路程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：底面周长为，则半圆弧长为， 画展开图形如下： 由题意得：，， 根据勾股定理得： ． 故选：A． 二、填空题 3．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 【答案】25 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 三、解答题 4．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，25千米 (3)5 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，也考查二次根式运算． （1）根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论； （2）过作于，根据矩形的性质得到，求得千米，根据勾股定理得到（千米），作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则此时的值最小，即总造价最低，过作于，则千米，千米，根据勾股定理得到（千米）； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵ ∴，，， ∴， ∴梯形的面积 ，四边形的面积 ，的面积 ， ∵梯形的面积四边形的面积的面积， ， 化简得； （2）解：过作于， ，， ， 四边形是长方形， ，， 千米，千米， 千米， 千米， （千米）， 作点关于直线的对称点，则，， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为长，即连接交直线于点， 过作于，则四边形为长方形， 则千米，千米， （千米）， （千米）， 答：两条公路的总长为25千米； （3）解：如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，过作于，则四边形为长方形， 设，则 ∴，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值，最大值为． 5．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 6．如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． (1)当平分的面积，求满足条件的t的值． (2)当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值． (3)过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 【答案】(1) (2) (3)当t的值为5或11时，能使 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，一元一次方程，等腰三角形的定义，分类思想，三角形面积的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定是解题的关键． （1）根据题意，，由平分的面积，得结合，解答即可； （2）当是以为底的等腰三角形，，然后对运用勾股定理建立方程求解； （3）根据勾股定理，得，分点P在上和在的延长线上，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， 由平分的面积， 得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：当是以为底的等腰三角形，， 根据题意得， ， ， ∵， ∴， ， 解得； （3）解：连接， ∵，，，，， ∴， 根据勾股定理，得， 当点P在上时， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 当点P在的延长线上， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． ∴， 解得． 故当或时，． 7．几何探究： 已知：利都是等边三角形，连接，交于点． (1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________： ②连接与的数量关系是：______________； (2)如图2，H，G分别是，的中点， ①当时，______________； ②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由： (3)连接，求的值． 【答案】(1)①；60；② (2)①60；②不变；理由见解析 (3) 【分析】（1）①证明，得出，，，根据，得出； ②过点A作于点M，于点N，根据，，得出，证明，即可得出答案； （2）①连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出； ②连接，当发生变化时，同理可证明，得出，，证明为等边三角形，得出； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，得出，求出，，根据，即可得出． 【详解】（1）解：①∵利都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴； ②过点A作于点M，于点N，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的角平分线上， ∴； （2）解：①连接，如图所示： ∵H，G分别是，的中点， ∴，， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②当发生变化时，的度数不变；理由如下： 连接，如图所示： 当发生改变时，同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：过点A作于点M，作于点N，如图所示： 根据解析（1）可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 8．在中，， ，，将绕A按逆时针方向旋转，得到． (1)如图1，点F为与的交点，连接． ①求证：平分； ②求的面积． (2)如图2，点P为线段中点，点G是线段上的动点，在绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点，请直接写出线段长度的最大值与最小值的差 【答案】(1)①见解析，② (2) 【分析】（1）①过点A作于点M，作于点N，证明AM=AN，即可得出结论； ②由①可得，求得，，，得到，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①当G在上运动至垂足点F，绕点A旋转，使点G的对应点在线段上时，最小；②当G在上运动至点C，绕点A旋转，使点G的对应点在线段延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值． 【详解】（1）解：①过点A作于点M，作于点N， 根据旋转的性质可知：，， ∴，即， ∴， ∴平分． ②由①可得， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图，过点A作于点F， 在中，，， ∴， ∵，点P为线段中点， ∴， 当G在上运动，与垂直时，即点F与点G重合时，绕点A旋转，使点G的对应点在线段上时，最小， 最小值为：； ②如图，当G在上运动至点C， 绕点A旋转，使点G的对应点在线段延长线上时，最大， 最大值为：． 综上所述，线段长度的最大值为，最小值为，它们的差为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系是解题的关键． 9．已知线段，点B为直线外一动点． 连接，，在中，点D是三边中垂线的交点，点E是与的角平分线交点，设． (1)在图1中画出图形，求证：点E在平分线上； (2)如图2，当点B运动使得E、D同时在内部时，请写出和的数量关系； (3)如图3，当点B运动使得D在外部时，是否存在某个位置，使得A、E、D三点共线，且点D，E关于直线对称？若存在，请在求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)存在， 【分析】（1）过分别作交于，交于，交于，由角平分线的性质及判定定理，即可得证； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形的性质得，，，结合三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，，结合三角形内角和定理得，即可求解； （3）连接，设，由角平分线的定义及线段垂直平分线的性质得，由三角形内角和定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：过分别作交于，交于，交于， 点E是与的角平分线交点， ，， ， 点E在平分线上； （2）解：连接， 点D是三边中垂线的交点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E是与的角平分线交点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：存在； 如图，连接， 设， 点E是与的角平分线交点， ， A、E、D三点共线，且点D，E关于直线对称， ， ， ， 点D是三边中垂线的交点， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， ， 解得：， ， ； 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，对称的性质等，能熟练利用线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理进行求解是解题的关键． 10．【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点点不与点、重合，连结，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由联想到构造以为直角边的等腰直角三角形，便尝试着过点作的垂线，与相交于点图②，得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】（1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】在图①中，连结，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；问题提升： 【分析】问题解决：（1）过点作，与相交于点，，，可得是等腰直角三角形，有，，，从而，而，故，有，又，知，根据可得； （2）求出 ，因， ，故 ； 问题提升：设直线与直线交于，过作于，由（1）知，，知是等腰直角三角形，而为的中点，可得是的垂直平分线，有，从而是的平分线，，再证是等腰直角三角形，得 ，故 ，解得， ． 【详解】问题解决：（1）证明：过点作，与相交于点，如图： ，， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ，， ， 由（）知，是等腰直角三角形， ， ， ； 问题提升：解：设直线与直线交于，过作于，如图： 由（1）知， ， ， 是等腰直角三角形， 为的中点， ， 是的垂直平分线， ， ，即是的平分线， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，垂直平分线的性质与判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题． 11．如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 【答案】水厂位置见解析，铺设水管的总费用为15000元 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点A关于的对称点，连接交于O，点O即为水厂的位置．过点作交的延长线于点E，过点A作于点F，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点， 连接交于O， ∴， ∴点O即为水厂的位置． 过点作交的延长线于点E，过点A作于点F， 则，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 在中，， 由勾股定理得． ∴（元）． 故铺设水管的总费用为15000元． 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 直角三角形的压轴题 目录 典例详解 1 类型一、求最短路径（勾股定理的应用） 1 类型二、直角三角形全等的综合应用 2 类型三、角平分线的综合应用 5 压轴专练 9 类型一、求最短路径（勾股定理的应用） 求最短路径（勾股型）三步： 1. 展：将立体或折线路径展开成平面直线； 2. 构：在展开图中连接起终点，构造直角三角形； 3. 算：用勾股定理 a²+b²=c² 求斜边即最短路径长。 关键：展平后“两点直线最短”，注意展开方式唯一且含直角。 例1．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 变式1-1 如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是 厘米． 变式1-2．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 变式1-3．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 类型二、直角三角形全等的综合应用 判全等：先找直角，再套HL（斜边+直角边）或SAS、ASA、AAS。遇高、角平分线、中点，构造双直角三角形；用HL或SAS证全等，得对应边等、角等，进而求边长或角。若缺条件，作垂线或倍长中线补直角。 例2．在和中，．，交于点，延长交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)若． ①如图2，已知，，求线段的长； ②如图3，连接，，延长交于点，判断是否为线段的中点？并说明理由． 变式2-1．已知在中，，，为直线上一动点，连接． (1)如图1，若为线段上的一点且满足，若，求线段的长； (2)如图2，若为线段上的一点，过点作∥交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接，试探究线段之间的数量关系，并证明其结论； (3)如图3，，将绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 变式2-2．在△中，，点为的中点，点、分别在边、上． (1)如图1，若，，，求的值； (2)如图2，当，时，求证：； (3)如图3，连接，已知，，，若，用三条线段、、围成的三角形的面积为，求的长． 变式2-3．如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________ 类型三、角平分线的综合应用 遇角平分线，先抓两个基本结论：角平分线定理（成比例线段）与角平分线上的点到两边距离相等。 证全等：作垂距，用HL或AAS； 求比例：直接用角平分线定理； 作辅助：倍长角平分线得等腰或构造对称。 综合应用时，“角—距—比”三联动，缺垂设垂，缺比补比，缺等腰造等腰，快速转化条件。 例3．对于同一平面内的及内部的射线，给出如下定义：若组成的3个角：，，中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线是的“牛线”．    (1)图1中，平分，则射线________的一条“牛线”．（填“是”或“不是”） (2)当射线是的“牛线”时，请求出的值． (3)已知：如图，在平面内，，若射线绕点从射线的位置开始，以每秒的 速度逆时针方向旋转，同时射线绕点从射线的位置开始，以每秒的速度逆时针方向旋转．当射线与射线碰撞后，射线的速度发生变化，以每秒的速度继续逆时针旋转，此时的射线则以每秒的速度继续逆时针旋转，当射线与射线的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若运动开始旋转的时间记为秒，当射线是的“牛线”时，直接写出所有满足条件的的值________． 变式3-1．如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 变式3-2 【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 变式3-3 （1）如图1，已知：和是等边三角形，点、、在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①求的度数； ②猜想线段、和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）          （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，，请直接写出的值． 一、单选题 1．如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长，交于，的垂直平分线分别交、于点、点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的表面爬行到点，则爬行的最短路程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 三、解答题 4．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 5．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 6．如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． (1)当平分的面积，求满足条件的t的值． (2)当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值． (3)过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 7．几何探究： 已知：利都是等边三角形，连接，交于点． (1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________： ②连接与的数量关系是：______________； (2)如图2，H，G分别是，的中点， ①当时，______________； ②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由： (3)连接，求的值． 8．在中，， ，，将绕A按逆时针方向旋转，得到． (1)如图1，点F为与的交点，连接． ①求证：平分； ②求的面积． (2)如图2，点P为线段中点，点G是线段上的动点，在绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点，请直接写出线段长度的最大值与最小值的差 9．已知线段，点B为直线外一动点． 连接，，在中，点D是三边中垂线的交点，点E是与的角平分线交点，设． (1)在图1中画出图形，求证：点E在平分线上； (2)如图2，当点B运动使得E、D同时在内部时，请写出和的数量关系； (3)如图3，当点B运动使得D在外部时，是否存在某个位置，使得A、E、D三点共线，且点D，E关于直线对称？若存在，请在求出的度数；若不存在，请说明理由． 10．【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点点不与点、重合，连结，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由联想到构造以为直角边的等腰直角三角形，便尝试着过点作的垂线，与相交于点图②，得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】（1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】在图①中，连结，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为 ． 11．如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 1 / 14 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