专题11 勾股定理的折叠问题（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题11 勾股定理的折叠问题 目录 典例详解 1 类型一、长方形中折痕过对角线模型 1 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 2 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 4 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 6 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 8 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 10 压轴专练 11 类型一、长方形中折痕过对角线模型 沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 例1．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（   ） ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 变式1-1 如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿对折，点落在上的点处．若，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式1-2．如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 变式1-3．如图，将矩形纸片沿折叠，使点D落在处，交于点E，若，则的长为 ． 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 例2．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式2-1．如图，矩形纸片中，，点在边上．将沿翻折得到，若，则的长度为 ． 变式2-2．如图，矩形中，，，点E为射线上一个动点，连接，以所在直线为对称轴折叠，得到，点B的对应点为点F，当点F落在直线上时，求的长？ 变式2-3．在矩形纸片中，点为边上的动点，连结，将矩形纸片沿对折，使点落在点处，连结． (1)如图1，若点，，三点共线，求证：． (2)如图2，若点在对角线上，是对角线的中点，且，求的度数． 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 例3．在数学活动课上，老师让同学们以“折纸做的角”为主题开展数学活动．如图，某小组准备了一张矩形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上的点N处，连接，如图①；继续折叠纸片，使点A落在边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，如图②，这个小组得到以下5个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的结论有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式3-1．长方形纸条，若，按如图方式折叠，点在同一条直线上．若四边形的面积记为S1，四边形的面积记为S2，则的最大值为 ． 变式3-2实践操作 (1)在矩形纸片中，，． ①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________， ②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度； ③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长； (2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长． 变式3-3 如图，已知矩形纸片，，，点在上，且．将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结． (1)求证：． (2)若，，求与的长． (3)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出，之间应满足的数量关系． 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例4．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 变式4-1如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式4-2如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式4-3 如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例5．如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的面积是 ． 变式5-1．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D．2 变式5-2．在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． 变式5-3．如图，中，，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 例6．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 变式6-1．如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 变式6-2．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 变式6-3．如图，等边三角形中，于点D，点分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 一、单选题 1．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 二、填空题 2．如图，在中，，，，点是边的中点，点是上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值为 ． 3．如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． 4．如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是 ． 5．如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 6．如图，在中，，，，点D是边上的一动点（不与点B、C重合）过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处，当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题 7．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 8．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 9．如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 10．如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形                B．直角三角形                C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 勾股定理的折叠问题 目录 典例详解 1 类型一、长方形中折痕过对角线模型 1 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 5 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 11 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 19 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 24 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 30 压轴专练 36 类型一、长方形中折痕过对角线模型 沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 例1．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（   ） ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得则的周长，进而判断②正确，无法证明温恩等边三角形，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④正确． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵矩形周长为8， ∴，则， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由折叠可知，， ∵ ∴，则 ∴， 则的周长，故②正确； 无法证明为等边三角形，故③错误； ∵，， 在中，， 整理得：， ∴当变大时，也变大，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 变式1-1 如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿对折，点落在上的点处．若，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 由矩形的性质得，由，，求得，由折叠得，，，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ， ， 将矩形沿对折，点落在上的点处， ，，， ， ， ， 解得， 故选：B． 变式1-2．如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定与性质．先根据矩形与折叠的性质，证明，得出，设，根据勾股定理建立等式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：B． 变式1-3．如图，将矩形纸片沿折叠，使点D落在处，交于点E，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，可得，设，则，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：由折叠得：， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即的长为， 故答案为：． 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 例2．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，，由折叠的性质得到 ，则，再根据三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式2-1．如图，矩形纸片中，，点在边上．将沿翻折得到，若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】先由勾股定理在中，求得．延长至点G，使得，连接，设，证明，得到，从而，进而得到，从而，得到，根据等角对等边得到，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴在中，． 延长至点G，使得，连接， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，正确作出辅助线，证明等腰三角形是解题的关键． 变式2-2．如图，矩形中，，，点E为射线上一个动点，连接，以所在直线为对称轴折叠，得到，点B的对应点为点F，当点F落在直线上时，求的长？ 【答案】或15 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理．根据题意，由折叠的性质和矩形的性质，得到，，利用勾股定理求出的长度，然后分两种情况进行分析：①当点E在线段上时；②当点E在的延长线上时，分别求出的长度即可． 【详解】解：∵在矩形中，则，，， 由折叠的性质，则，， 在中，由勾股定理，得； ①当点E在线段上时，如图1： ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴ 解得：， ∴； ②当点E在的延长线上时，如图2： ∴， 在中，设，则， ∴由勾股定理，得， ∴， 解得：， ∴； 综合上述，的长为或15． 故答案为：或15． 变式2-3．在矩形纸片中，点为边上的动点，连结，将矩形纸片沿对折，使点落在点处，连结． (1)如图1，若点，，三点共线，求证：． (2)如图2，若点在对角线上，是对角线的中点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线、外角的性质，添加恰当辅助线是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，可得； （2）利用斜边上的中线等于斜边的一半可得和为等腰三角形，由折叠可知，由，，，可得，由外角的性质，可得，最后在中，利用三角形的内角和定理列出方程，可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， 由折叠知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 例3．在数学活动课上，老师让同学们以“折纸做的角”为主题开展数学活动．如图，某小组准备了一张矩形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上的点N处，连接，如图①；继续折叠纸片，使点A落在边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，如图②，这个小组得到以下5个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的结论有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】先根据矩形的性质可得，再证明垂直平分，从而可根据垂直平分得到，根据折叠的性质可得出，从而可得是等边三角形，由此可判断④；根据是等边三角形，可得出，从而可得出，由此可判断①； 根据折叠的性质可得出，再利用四边形的内角和定理求得，然后利用邻补角的意义求得，由此可判断②； 先利用折叠的性质结合矩形的性质求得，再利用求解，可判断③； 先证明是等腰直角三角形，从而可得，再利用等腰直角三角形的性质求得，即可判断⑤． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵一张矩形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵沿折叠，使点A正好落在上的点N处， ∴， 是等边三角形，故④正确； ， ，故①正确； ∵沿折叠，使点A正好落在上的点N处， ， ∵， ，解得：， ，故②正确； ∵继续折叠纸片，使点A落在边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，如图②， ， ，故③正确； 是等边三角形， ， ， 是等腰直角三角形，， ，故⑤正确， 综上所述，其中正确的结论有5个， 故选：D． 变式3-1．长方形纸条，若，按如图方式折叠，点在同一条直线上．若四边形的面积记为S1，四边形的面积记为S2，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题可先根据折叠的性质得到相关线段和角的关系，得到四边形是平行四边形，进而可知用表示出四边形的面积，再用 表示出，根据函数取值关系求出最值即可； 【详解】解： 由折叠可知， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 由题和折叠可知：， 即， 化简为： 要想最大值，那么取最小值，即最小 ∵两平行线之间的垂直距离最短， ∴的最小值为5， ∴的最大值为， 故答案为：25. 变式3-2实践操作 (1)在矩形纸片中，，． ①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________， ②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度； ③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长； (2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及全等三角形的性质与判定，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ②根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解； ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，证明，得出，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，即可求解； （2）连接，过，得，由②可得，，证明，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，进而求得，在直角三角形中，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则； ②矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为 ， 在直角三角形中，，， ， ， 在直角三角形中，， ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， 解得：； （2）解：连接，过，得，，由②可得，， ， ， 即， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， ， 解得：， ， 在直角三角形中，， ， ， 变式3-3 如图，已知矩形纸片，，，点在上，且．将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结． (1)求证：． (2)若，，求与的长． (3)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出，之间应满足的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解决本题关键证明利用勾股定理构建方程． （1）先证明，便可证明得结论； （2）过点E作于点M，则四边形是矩形，得出，求出，根据矩形的性质和勾股定理即可求出折痕的长； （3）分两种情况讨论：当时，过点E作于点M，连接，当时，连接，交于点O，如图所示，分别利用勾股定理依次进行解答即可． 【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠知，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：，， 如图，过点E作于点M， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴, ∴折痕的长为； （3）解：是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： 当时，过点E作于点M，连接，如图所示， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得； 当时，连接，交于点O，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上所述：当为等腰三角形时，或. 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例4．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 变式4-1如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 变式4-2如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 变式4-3 如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 【答案】或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：当时，如图， 在等腰直角三角形中，，， ∴，， 设，则，， ∵将沿翻折， ∴，， ∴，即， 解得； ∴ 当时，如图， 此时，； 当时，如图， 此时，点A，B，在同一直线上，； 综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2． 故答案为：或1或2． 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例5．如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的面积是 ． 【答案】42 【分析】连接，过点B作于点M，过点B作于点E，用等面积法求出，再用勾股定理求出和的长度，证明，，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点B作于点M，过点B作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：， 在中，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴ ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：42． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用等面积法求出三角形的高，正确画出辅助线，构造全等三角形． 变式5-1．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】延长交于点,作,垂足为，首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点,作,垂足为， 在中，, ， 为的中点， , ， ,解得， 由翻折的性质可知, ,， ， ， ， ， , , , 为直角三角形， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，能灵活运用面积法求高是解决此题的关键． 变式5-2．在△ABC中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（     ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G，证明△DHE≌△EGD，利用勾股定理求出，即可得到BE. 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8， ∴， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=5， 由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC，CE=AC=6， ∴BD=DE， 作DH⊥BE于H，EG⊥CD于G， ∴∠DHE=∠EGD=90，∠EDH=∠BDE=（180-2∠EDC）=90-∠EDC， ∴∠DEB= 90-∠EDH=90-(90-∠EDC)=∠EDC， ∵DE=DE， ∴△DHE≌△EGD， ∴DH=EG，EH=DG， 设DG=x，则CG=5-x， ∵=， ∴， ∴， ∴， ∴BE=2EH=， 故选：C. 【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE≌△EGD，由此求出BE的长度. 变式5-3．如图，中，，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的方法是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．设，则，依据中，，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 是的中点， ， ， 中，， 即， 解得， ， 故选：C． 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 例6．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出的长是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 分别求出和的面积，利用可得结果． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴，， 设， 则， 在中，，即， 解得：， ∴， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴， 设， 则，，， 则有，即， 解得：， 则， ∴ ， 故答案为：． 变式6-1．如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，中垂线的性质，等腰三角形的性质，分和两种情况，根据折叠的性质，中垂线的性质，勾股定理，进行求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：①当时，如图，设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴； ②当时，如图，过点作，则：， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 综上：或； 故答案为：或 变式6-2．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形解答：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意： ，则，为等边三角形，得；②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌，则，，作于点，设，可得，求出的值，再根据得结论． 【详解】解：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：≌， 则，， ∴为等边三角形， ． ②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：，； 则，，， 作于点，设， ∴， ∴， ， ． 综上，线段的长为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键．分类讨论点恰好落在直角三角形纸片的不同边上． 变式6-3．如图，等边三角形中，于点D，点分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得，分两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：是等边三角形，， 由折叠的性质可得： 若且 若 故答案为∶ 或． 一、单选题 1．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点A作于点E，当点A在的上时的值最小，根据勾股定理依次求出，，，的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系． 二、填空题 2．如图，在中，，，，点是边的中点，点是上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，过点作于点，由，得到，当点三点重合时，取得最小值，然后由折叠的性质以及勾股定理，角直角三角形的性质取求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点，将沿翻折得到 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点三点重合时，的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． 【答案】 【分析】分类讨论：①当点落在对角线上时和②当点落在对角线上时，分别正确作出辅助线，结合题意求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当点落在对角线上时，连接，如图， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为， ∴，． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动的距离为2； ②当点落在对角线上时，作于点H，如图， ∴． ∵在长方形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴此时点运动的距离为． 综上可知点运动的距离为2或． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 4．如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．分三种情况讨论，当、和，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：设与交于点，由折叠知是线段的垂直平分线，，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论， 当时， ，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得（舍去负值），即； 当时，如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即； 当时，点在线段的垂直平分线上， ∵点、都在线段的垂直平分线上， ∴点、重合， 此时，； 综上，的长是或或， 故答案为：或或． 5．如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 【答案】3 【分析】连接，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出是等腰三角形；再根据平行线的性质得出与相等，进而得到是等腰三角形，即可得出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 设，， 在中，，，， ， 中，是的中点， ， 又， ， ，即， ， 又， ， ∴， 又∵， ∴， ， 又， ， ，即， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，直角三角形斜边上中线，等腰三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 6．如图，在中，，，，点D是边上的一动点（不与点B、C重合）过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键. 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，当 时，得到，根据，得到，根据含的直角三角形性质和勾股定理得到， ；当时，，，得到，． 【详解】由折叠知，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图2，若， 则， ∴， ∵， ∴； ∴为直角三角形时，的长为：2或4． 故答案为：2或4． 三、解答题 7．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 8．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 9．如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题考查勾股定理与折叠，完全平方式的应用． （1）由折叠的性质得，又，有，故，，知为等腰三角形； （2）设，在中，可得，即可解得即； （3）①过作于，设，则，设，在中，，有，故，根据线段与边相交，即可得，从而最大为4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为；当落在上时，与重合，求出，故由最大运动到落在时，的运动路径为，即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：设， ，，， ， 由（1）知， 在中，， ， ， 即； （3）解：①过作于，如图： 设，则， 设， ， 四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 化简整理得， 线段与边相交， ， ， ，， ， ， ， 最大为4； 故答案为：4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为； 当落在上时，与重合，如图： 此时，，， ， ， 由最大运动到落在时，的运动路径为， 点从点向点运动的过程中，点运动的路径长为． 故答案为：． 10．如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又 ， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 11．综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形                B．直角三角形                C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 【答案】(1)C， (2)见解析 (3)见解析，的长为或 【分析】（1）问题1：利用翻折的性质和矩形的性质即可得出等腰三角形；问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用角平分线的作法作图，即以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点； （3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出，可得，然后设，则，在中利用勾股定理列方程，求出，再由即可得出答案；当点落在矩形内部时，同上述思路即可得出答案． 【详解】（1）解：问题1：如图2所示， 由翻折的性质可得，， ， ， ， 是等腰三角形， 故选：C； 问题2：如图所示，过点作交于点， ， 由勾股定理得，， ， 点到的距离为， 故答案为：； （2）解：点的位置如下图所示； （3）解：①如图所示， 当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则， 由题意，得，，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ； ②如图所示， 当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，， 同①，可得， ， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形和翻折的结合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图——角平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并掌握分类讨论的数学思想． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$