精品解析：江苏省如东高级中学2024-2025学年高一下学期期中模拟数学试卷

如东高级中学高一（下）数学期中模拟试卷 2025-4-12 一、单项选择题:传在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若复数z满足(1-i)(z+i)=1(i为虚数单位)，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用复数的除法运算求得复数z，再利用复数的概念求解. 【详解】因为， 所以z的虚部为， 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. 12 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】易知，即， 又可得； 所以. 故选：B 3. 已知，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据韦达定理计算得出，再应用二倍角的正切公式计算即可. 【详解】因为是方程的两根， 所以， 所以， 则. 故选：D. 4. 已知轮船在灯塔的北偏东45°方向上，轮船在灯塔的南偏西15°方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，分析角度后，再利用余弦定理解题即可. 【详解】如图，由题意可知千米，千米，，由余弦定理可得，则千米． 故选：D. 5. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的概念列式，化简得到，结合、的坐标建立关于的方程，解出值，进而求出的值． 【详解】根据题意，可得，可得， 因为，，所以，解得，可得． 故选：D． 6. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 7. 如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再结合数量积运算，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，即，则， ， 所以， . 故选：D 8. 已知为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的范围和同角的三角函数关系求出和，利用两角和的余弦公式计算可得答案. 【详解】∵为锐角，， ∴. ∵，∴，且， ∵，函数上单调递增， ∴， ∴， ∴ . 故选：B． 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对-个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 D. 若复数z满足，则的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，先求得，再计算即可； 对于B，设，得，从而可判断； 对于C，由复数模的几何意义可判断； 对于D，根据条件得到的表达式，再求最值即可. 【详解】对于A，，则，所以，故A正确； 对于B，设，则，则可知，而，若时， ，故B不正确； 对于C，由复数的模的几何意义可知是正确的； 对于D，设，由z满足，则有，令， 则，所以的最小值为2，故D不正确.. 故选：AC 10. 下列选项中，值为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角恒等变换以及诱导公式逐一验算即可求解. 【详解】A选项：； B选项： ； C选项： ； D选项：因为，可得； 故选：ABD. 11. 在中内角的对边分别为，设的面积为，若，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，且，则有两解 B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C. 若，且，则的外接圆半径为 D. 若，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先证明题干中的条件等价于，然后逐个选项判断：对于A，直接解出两种可能的情况即可判断A选项正确；对于B，用正弦定理证明，然后求的范围即可判断B选项正确；对于C，求出的三边，然后说明是直角，从而得到，即可判断C选项正确；对于D，直接利用C的条件计算得作为反例，即可说明D选项错误. 【详解】设的外接圆半径为，则， 由，可知， 即，从而. 对于A，若，且，由余弦定理得， 即，解得或. 由于当三角形的三边确定后，三角形唯一确定， 故只有两种可能.经验证，的以下两种情况都是可能的： ①； ②.故有两种可能，选项A正确； 对于B，若，且为锐角三角形，由于， 而为锐角三角形，即， 解得，从而的范围是，故的范围是，选项B正确； 对于C，若，且，则，且， 故，从而. 而，故，从而，. 这意味着，所以， 从而，故，选项C正确； 对于D，若，由于，， 故存在使得的，此时，满足条件. 在此情况下，有，故， 从而， 此时，这表明不可能以为最大值，选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案： 13. 在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 14. 如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理结合到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简复数为，再根据为纯虚数求解； （2）先化简复数，再根据复数在复平面对应的点在第一象限求解. 【小问1详解】 解：因为复数， 所以， 则， 因为为纯虚数， 所以，解得； 【小问2详解】 复数， 因为复数在复平面对应的点在第一象限， 所以，解得. 16. 已知函数的最大值为3． （1）若的定义域为，求的单调递增区间； （2）若，，求的值． 【答案】（1）单调递增区间为和 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间； （2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式即可求得结果. 【小问1详解】 将化简可得， 因为，所以． 此时， 当时， 令．得； 令，得， 所以的单调递增区间为和． 【小问2详解】 由（1）知． 由，得， 所以．又因为．所以， 所以． 所以， ， 所以 . 17. 在锐角中，角，，所对边分别为，，，已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若边上的中线，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先化简得到，再求出，最后求即可； （2）先得到，再得到方程，接着求出，最后求即可. 【详解】解：（1）因为，， 所以，因为， 所以，因为， 所以， 所以 （2）因为是边上的中线，所以， 所以， 所以，因为 所以， 所以， 【点睛】本题考查向量的加法、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式、三角形的面积公式，是基础题. 18. 如图，在中，，，，，. （1）求的值； （2）线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若是内一点，且满足，求的最小值. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）先转化表示数量积，再结合基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 设， ， ， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 ， 所以， ， ， ， ， ，，、、三点共线， ， 当且仅当即为中点时取等号， 而， 所以的最小值为. 19. 由倍角公式 ，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有. 可见可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个 多项式使得使得 ，这些多项式称为切比雪夫(P. L. Tschebyscheff)多项式. （1）请求出， 即用一个的四次多项式来表示; （2）利用结论，求出的值； （3）证明: . 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式展开即可； （2）依题意可得，而，平方相加，即可得出，从而求出； （3）令可得，结合即可证明； 【小问1详解】 因为 ， 所以， 由切比雪夫多项式可知，， 即. 令，可知. 【小问2详解】 因为，可得， . 又，所以， 所以， 令，可知， 展开即可得出， 所以，解方程可得. 因为，所以， 所以. 【小问3详解】 因为多项式， 即， 当时，得， 当时，，即，即； 又且， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 如东高级中学高一（下）数学期中模拟试卷 2025-4-12 一、单项选择题:传在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若复数z满足(1-i)(z+i)=1(i为虚数单位)，则z的虚部为（ ） A B. C. D. 2 已知，则（ ） A. 12 B. C. 8 D. 3. 已知，是方程两根，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知轮船在灯塔的北偏东45°方向上，轮船在灯塔的南偏西15°方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 5. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 或 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对-个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 D. 若复数z满足，则的最小值为6 10. 下列选项中，值为的有（ ） A B. C. D. 11. 在中内角的对边分别为，设的面积为，若，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，且，则有两解 B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C. 若，且，则的外接圆半径为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 13. 在中，已知，则的形状为______ 14. 如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 16. 已知函数的最大值为3． （1）若的定义域为，求的单调递增区间； （2）若，，求的值． 17. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若边上的中线，，求的面积. 18. 如图，在中，，，，，. （1）求的值； （2）线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； （3）若是内一点，且满足，求的最小值. 19. 由倍角公式 ，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有. 可见可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个 多项式使得使得 ，这些多项式称为切比雪夫(P. L. Tschebyscheff)多项式. （1）请求出， 即用一个四次多项式来表示; （2）利用结论，求出的值； （3）证明: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $