精品解析：河南省驻马店市西平县西平县第一初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

西平一中九年级第二次月考 数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至少有1个球是红球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是红球 D. 至少有2个球是白球 3. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A. B. C. D. 7. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（　　） A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定 8. 如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，，，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点，，那么y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知点 P(a+1,2a-3)关于原点的对称的点在第二象限，则a的取值范围是_______. 12. 如图，直线l与⊙O相切于点C，A、B、D均在⊙O上，OA∥l，∠BDC=85°，则∠BAO的度数为_____． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 14. 如图，直角中，，以A为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是__________ 15. 如图，已知正方形的边长为3，动点P满足，将点P绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接，则的最大值是____________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1）x2+2x﹣3=0 （2）（x﹣1）2=2（x﹣1）． 17. 如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，1）、B（4，0）、C（4，4）． （1）按下列要求作图： ①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1； ②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转得到90°得到△A2B2C2； （2）求点C从开始到点C2的过程中所经过的路径长． 18. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，确定点的坐标为． （1）用树状图或列表法列举点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长． 20. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 21. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示． (1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式； (3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出最大利润． 22. 在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，设旋转角为．（） （1）当时，旋转角___度；当时旋转角____度． （2）发现：线段与有何数量关系，请仅就图2给出证明． （3）应用：当A，C，D三点共线时，求的长． （4）拓展：P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值_____与最小值________． 23. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC． ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西平一中九年级第二次月考 数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键． 【详解】解： ∵一元二次方程化成一般式为， 故选：A． 2. 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至少有1个球是红球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是红球 D. 至少有2个球是白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项判断即可． 【详解】A. 至少有1个球是红球，是随机事件； B. 至少有1个球是白球，是必然事件； C.至少有2个球是红球，是随机事件； D. 至少有2个球是白球，是随机事件； 故选：B． 3. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 首先根据旋转变换的性质求出，结合，即可解决问题． 【详解】解：由题意及旋转变换的性质得：， ， ， 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是掌握求点的坐标的常用方法．过点作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过点作轴于点， ， 由旋转可得， 四边形为矩形， 又、， ，， ， 点坐标为． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 6. 将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知x2＝x+1，将所求式子变形为x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可． 【详解】解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴x3﹣2x2+2x+1 ＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1 ＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1 ＝x2+x﹣1 ＝（x+1）+x﹣1 ＝2x， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴， ∴， 解得x＝或x＝， ∵x＞0， ∴x＝， ∴x3﹣2x2+2x+1＝1+， 故选：B． 【点睛】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键． 7. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（　　） A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】设的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：设的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知，， ． 设方程的两根为m，n，则 . 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 8. 如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 9. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：连接BD，B′D， ∵AB=5，AD=12， ∴BD= ∴， ∵， ∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：． 故选A． 考点：1．弧长的计算；2．矩形的性质；3．旋转的性质． 10. 如图，在矩形ABCD中，，，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点，，那么y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：设BP=x，CQ=y，则AP2=42+x2，PQ2=（6-x）2+y2，AQ2=（4-y）2+62； ∵△APQ为直角三角形， ∴AP2+PQ2=AQ2，即42+x2+（6-x）2+y2=（4-y）2+62，化简得：y=−x2+x 整理得：y=− (x−3)2+ 根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应． 故选D． 【点睛】本题考查的是动点变化时，两线段对应的变化关系，重点是找出等量关系，即直角三角形中的勾股定理． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知点 P(a+1,2a-3)关于原点的对称的点在第二象限，则a的取值范围是_______. 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意可得P（a+1，2a-3）在第四象限，再根据第四象限内点的坐标符号可得点P的横坐标为正，纵坐标为负，再列出不等式组，求解集即可． 【详解】∵点P(a+1,2a-3)关于原点的对称的点在第二象限， ∴点P在第四象限， ∴ ， 解得：． 故答案为:． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的性质、点所在象限的符号特征及不等式组的解法，解决问题的关键是确定出P点所在象限． 12. 如图，直线l与⊙O相切于点C，A、B、D均在⊙O上，OA∥l，∠BDC=85°，则∠BAO的度数为_____． 【答案】50° 【解析】 【分析】连接OC, 由OA//l, 可知∠AOC=∠OCE=,根据等腰直角三角形的性质可知∠OAC=, 又∠BDC=, 可知∠BAC的度数, ∠BAC-∠OAC即为所求. 【详解】解：连接OC， OA//1,直线1与圆0相切于点C, ∠AOC=∠OCE=,OA=OC, ∠OAC=, ∠BAC+∠BDC=, ∠BDC=, ∠BAC=, ∠BAO=∠BAC-∠OAC=-=. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查切线的性质及角度间的计算. 13. 抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 14. 如图，直角中，，以A为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，设分别交于，先由勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再证明是等边三角形得到，进而求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，设分别交于， ∵直角中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中线的性质等等，求出是解题的关键． 15. 如图，已知正方形的边长为3，动点P满足，将点P绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接，则的最大值是____________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质可得根据旋转的性质可得从而可得然后可证从而利用全等三角形的性质可得进而可知点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆，最后可得当点Q在的延长线时，的值最大，进行解答即可. 【详解】 连接， ∵四边形是正方形， 由旋转得： 即 ∴点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆， ∴当点Q在的延长线时，的值最大，如图所示： ∴的最大值= 故答案为：5 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键. 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1）x2+2x﹣3=0 （2）（x﹣1）2=2（x﹣1）． 【答案】（1）x1=-3,x2=1；（2）x1=1,x2=3. 【解析】 【分析】(1) 利用 “十字相乘法” 对等式的左边进行因式分解; (2) 利用因式分解法解方程. 【详解】（1）（x+3）（x-1）=0 x1=-3,x2=1 （2）（x-1）2-2（x-1）=0 （x-1）[（x-1）-2]=0 （x-1）（x-3）=0 x1=1,x2=3 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的十字相乘法及因式分解法. 17. 如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，1）、B（4，0）、C（4，4）． （1）按下列要求作图： ①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1； ②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转得到90°得到△A2B2C2； （2）求点C从开始到点C2的过程中所经过的路径长． 【答案】 （1）①如图，△A1B1C1为所作； ②如图，△A2B2C2为所作； （2）4+2π 【解析】 【分析】（1）①利用点平移的坐标规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1； ②利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2； （2）计算线段CC1的长和弧C1C2的长即可． 【详解】解：（1）略． （2）∵△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1， ∴从C点到C1所经过的路径长为4， ∵将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转得到90°得到△A2B2C2； ∴从点C1到C2所经过的路径长==2π， ∴点C从开始到点C2的过程中所经过的路径长为4+2π． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 18. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，确定点的坐标为． （1）用树状图或列表法列举点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 【答案】（1） 列表如下： 共有9种等可能出现的结果：、、、、、、、、． （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法和画树状图是解答关键． （1）利用列表法列举点所有可能的坐标来求解； （2）根据（1）的统计情况，利用概率公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，满足点在函数的图象上的结果有和共2种， ∴点在函数的图象上的概率为． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长． 【答案】（1）证明：连结OD，∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， 又∵OD=OB， ∴∠B=∠BDO， ∵∠ADE=∠A， ∴∠ADE+∠BDO=90°， ∴∠ODE=90°． ∴DE是⊙O的切线； （2）15. 【解析】 【分析】（1）先连接OD，根据∠A+∠B=90°，∠A=∠ADE推出∠ADE+∠B=90°，再由∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可． （2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2-202，可得x2+122=（x+16）2-202，解方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）连结CD，∵∠ADE=∠A， ∴AE=DE． ∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°． ∴EC是⊙O的切线． ∴DE=EC． ∴AE=EC， 又∵DE=10， ∴AC=2DE=20， 在Rt△ADC中，DC= 设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122， 在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202， ∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9， ∴BC=． 【点睛】考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题． 20. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）、； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解：把，两点的坐标代入， 得， ，解得， 则、， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵、， ∴； 【小问3详解】 解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则， ∵， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标． 21. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示． (1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式； (3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出最大利润． 【答案】（1）y是x的一次函数，y=－30x+600（2）w=－30x2＋780x－3600（3）以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元 【解析】 【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同． （2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量． （3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润． 【详解】解：（1）y是x的一次函数， 设y=kx+b， ∵图象过点（10，300），（12，240）， ∴， 解得． ∴y=－30x＋600． 当x=14时，y=180；当x=16时，y=120， ∴点（14，180），（16，120）均在函数y=－30x+600图象上． ∴y与x之间的函数关系式为y=－30x+600． （2）∵w=（x－6）（－30x＋600）=－30x2＋780x－3600， ∴w与x之间的函数关系式为w=－30x2＋780x－3600． （3）由题意得：6（－30x+600）≤900， 解得x≥15． w=－30x2＋780x－3600图象对称轴为：， ∵a=－30＜0， ∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小． ∴当x=15时，w最大=1350． ∴以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元． 22. 在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，设旋转角为．（） （1）当时，旋转角___度；当时旋转角____度． （2）发现：线段与有何数量关系，请仅就图2给出证明． （3）应用：当A，C，D三点共线时，求的长． （4）拓展：P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值_____与最小值________． 【答案】（1）60或240；或150或330； （2）结论：，理由如下： 如图2中， 由旋转的性质可知：， ， 在和中， ， ， ； （3）或；（4）， 【解析】 【分析】（1）如图1中，易知当点在线段和线段的延长线上时，，此时旋转角或；如图1-1所示，过点O作于H，证明三点共线，由等边三角形的性质得到，据此求出旋转角，当点C在线段上时，即点C在位置时，此时也满足，据此求出旋转角即可； （2）结论：．只要证明即可． （3）在图3、图4中，分别求出的长求解即可． （4）如图5中，由题意，点在以为圆心，2为半径的上运动，过点作于，直线交于、，线段的长即为的最大值，线段的长即为的最小值．易知的最大值，的最小值． 【详解】解：（1）如图1中， 是等边三角形， ， 当点在线段和线段的延长线上时，， 此时旋转角或； 如图1-1所示，过点O作于H， ∵， ∴三点共线， ∵是等边三角形， ∴， ∴此时； 当点C在线段上时，即点C在位置时，此时也满足， ∴此时； 综上所述，或， 故答案为60或240；或150或330； （2）略 （3）①如图3中，当、、共线时，作于． 在中，，， ，， 在中，， ． ②如图4中，当、、共线时，作于． 同理可得 ∴， 综上所述，当、、三点共线时，的长为或； （4）如图5中，由题意，点在以为圆心，2为半径的上运动，过点作于，直线交于、， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且时，有最小值，最小值为； ∵， ∴， ∴当在线段上，且点P与点B重合时，有最大值，最大值为， 综上所述，的最大值为，的最小值为， 故答案为：6；． 【点睛】本题考查主要圆与三角形综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题． 23. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC． ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3－，2﹣4）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将A，B，C代入函数解析式， 得，解得， 这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3； （2）①设BC的解析式为y=kx+b， 将B，C的坐标代入函数解析式，得 ，解得， BC的解析式为y=x﹣3， 设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+， 当n=时，PM最大=； ②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2， n2﹣2n﹣3=－3， P（2，－3）； 当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3－， n2﹣2n﹣3=2－4， P（3－，2－4）； 综上所述：P（2，﹣3）或（3－，2﹣4）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $