精品解析：广东省汕尾市陆丰市碣北中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋季九年级上册数学学科12月月考 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 直角坐标系内，点P(－2,3)关于原点的对称点Q的坐标为（ ） A. （2，－3） B. （2,3） C. （－2,3） D. （－2，－3） 【答案】A 【解析】 【详解】根据中心对称的性质，得点P（-2，3）关于原点对称点Q的坐标是（2，-3）． 故选A． 【点睛】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）． 2. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】把代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．此题实际上是解关于系数m的一元二次方程． 【详解】把代入方程可得，解得． 故答案选：C． 3. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，判断是否能找到对称中心即可解答． 【详解】A、C是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故A、C错误； B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故B错误； D、是中心对称图形．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. 抛物线与轴的交点坐标为（） A. (1,0) B. (-1,0) C. (0,-1) D. (0,1) 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵与y轴的交点就是当x=0时y的值， ∴将x=0代入函数解析式可得：y=1， ∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，1)， 故选择：D． 5. 抛物线不经过的象限是（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】令x=0求出抛物线与y轴的交点坐标，然后根据二次函数图象开口向上作出草图，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为(1，-1)， 解：x=0时，y=3-1=2， 所以，抛物线与y轴正半轴相交，与y轴的交点坐标为(0,2)， ∵a=3＞0，∴抛物线开口向上， 则函数不经过第三象限， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 6. 如图所示，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是同弧所对的圆周角和圆心角，，因为圆心角∠BOC=100°，所以圆周角∠BAC=50° 【点睛】本题考查圆周角和圆心角，解本题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 8. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠DOC=50°，进而得出答案． 【详解】解：连接OC， ∵DC是⊙O的切线，C为切点， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=40°， ∴∠DOC=50°， ∵AO=CO， ∴∠A=∠ACO， ∴∠A=∠DOC=25°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠DOC=50°是解题关键． 9. 水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（ ） A. 0.8 m B. 1.2 m C. 1.6 m D. 1.8 m 【答案】C 【解析】 【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，由垂径定理得出AB=2BC，∠OCB=90°，OB=OD=1m，CD=0.4m，求出OC=OD-CD=0.6m，由勾股定理求出BC，即可得出AB． 【详解】解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示： 则AB=2BC，∠OCB=90°， OB=OD=1m，CD=0.4m， ∴OC=OD-CD=0.6m， ∴BC===0.8（m）， ∴AB=2AC=1.6m， ∴排水管道截面的水面宽度为1.6m， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出BC是解决问题的关键． 10. 如图所示，抛物线的图象与轴交于和，其中．现存在以下结论；①；②；③；④．其中正确的结论个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点位置和与y轴交于正半轴上一点可判断抛物线的开口向下，则a＜0，再利用抛物线的对称性得到﹣＜﹣＜0，则a＜b，于是可对①③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；利用x＝1时，y＝0得到a+b+c＝0，则a+c＝﹣b＞0，而x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，所以4a+2a+2c+c＜0，则可对④进行判断． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（1，0）和（x1，0），与y轴交于正半轴上一点， ∴抛物线的开口向下，即a＜0， ∵﹣2＜x1＜﹣1， ∴﹣＜﹣＜0， ∴a＜b，所以③错误； ∴b＜0，所以①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴ac＜b2，所以②正确； ∵x＝1时，y＝0， ∴a+b+c＝0， 即a+c＝﹣b＞0， ∴c＞﹣a， ∵x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0， ∴4a+2a+2c+c＜0， ∴c＜﹣2a， ∴﹣a＜c＜﹣2a，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二 、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则该方程两根之积_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．是一元二次方程的两根时，，反过来也成立，即． 由一元二次方程根与系数的关系，即可得方程的两根之积为：． 【详解】解：若是的两根， 则． 故答案为：． 12. 如图，中，，按逆时针方向旋转一个角度后，成为，则图中的________是旋转中心，旋转角是________度． 【答案】 ①. A点 ②. ##90度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、旋转中心、旋转角等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键． 利用旋转的性质确定对应点，再确定旋转中心和旋转角即可． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转一个角度后，成为， ∴A的对应点是A，B的对应点是C，C的对应点是D， ∴A点是旋转中心，旋转角度等于． 故答案为：A点，． 13. 二次函数的图象如图所示，则______0（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，然后判断的正负即可． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 若的弦等于半径，则所对的圆心角的度数是__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，掌握三边相等的三角形是等边三角形、等边三角形的三个角都相等且都等于成为解题的关键． 如图：根据圆的性质可得，再结合弦等于半径可得是等边三角形，然后求得所对的圆心角的度数即可． 【详解】解：如图：由圆的性质可得：， ∵弦等于半径， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即所对的圆心角的度数是． 故答案为：． 15. 已知点，在抛物线上，则的大小关系是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据增减性判定函数值的大小即可． 【详解】解：抛物线， ∵，对称轴直线为， ∴图象开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴直线越远，函数值越大， ∵，, ∴， 故答案为： ． 三、解答题（一）本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 17. 如图，的弦，是的中点，且，求的半径． 【答案】半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理；结合垂径定理的推论可证得是直角三角形，根据垂径定理即可求得，根据勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图所示： 是的中点， ，且， 在中， 即的半径为． 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C 都是格点． （1）请画出与关于点O中心对称的； （2）依次连结， 猜想四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 【答案】（1） 如图：为所求作的三角形． （2） 四边形是平行四边形，理由如下： ∵点B与，点C与分别关于点O成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用旋转变换作图、平行四边形的判定定理等知识点，熟练掌握网格结构、准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转得出对应点，然后顺次连接即可得出； （2）如图：，，由（1）可得点B与，点C与分别关于点O成中心对称可得 ，证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标： （2）填空：要使该二次函数的图象与x轴有交点，应把图象沿y轴至少向下平移 个单位， 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的顶点式、二次函数图象的平移变换等知识点，灵活运用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）分别将点A、B的坐标代入解析式得到关于a、c的方程组求解可得到a、c的值，即可得到二次函数的解析式；再将解析式化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）设把图象沿y轴向下平移m个单位表示出平移后的解析式，根据写出的解析式，找出顶点坐标，然后根据二次函数的图象与x轴有交点，得到关于m的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴把分别代入， 得：，解得： ∴该二次函数的解析式为：； ∵。 ∴该二次函数的顶点坐标。 【小问2详解】 解：设把图象沿y轴向下平移m个单位，则平移后的解析式为：， 此时二次函数的顶点坐标为 ∵该二次函数的图象与x轴有交点， ∴抛物线的顶点在x轴上或x轴下方， ∴，即， ∴应把图象沿y轴至少向下平移2个单位． 故答案为：2. 20. 如图，垂直于半径于点，弦，垂足为，与相交于点，已知， （1）求的度数； （2）计算弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，垂径定理，锐角三角函数的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据切线的性质，锐角三角函数的计算即可求解； （2）根据垂径定理得到，由锐角三角函数的计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵垂直于半径于点， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵弦，垂足为， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 21. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次． 【答案】（1）20%（2）8640万人次 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解． （2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次． 【详解】解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得 5000（1+x）2 =7200． 解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）． 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%． （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次． 答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分、第23题14分，共27分） 22. 如图，是的外接圆，，弦交的延长线于点E （1）求证：； （2）求的长； （3）求证：是的切线． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ； （2）； （3） 证明：连接， 在和中， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定和性质； （1）根据得出，再由圆周角定理即可得出结论． （2）先证明，利用对应边成比例的性质可求出的长度． （3）连接，证明，推出，继而判断，可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． ∵， ∴根据勾股定理得：． ∴，解得：． 【小问3详解】 略 23. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 【解析】 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可． （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点． （3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解 【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c， ∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）． 又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=-1． ∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3），即y＝-x2+2x+3． （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P． 则此时的点P，使△PAC的周长最小． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得：． ∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3． 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)． （3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． ∵抛物线的对称轴为： x=1， ∴设M(1，m)． ∵A(－1，0)、C(0，3)， ∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10． 若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1． ②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±． ③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去． 综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰三角形的存在性问题，需要数形结合、分类讨论，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季九年级上册数学学科12月月考 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 直角坐标系内，点P(－2,3)关于原点的对称点Q的坐标为（ ） A. （2，－3） B. （2,3） C. （－2,3） D. （－2，－3） 2. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 3. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与轴的交点坐标为（） A. (1,0) B. (-1,0) C. (0,-1) D. (0,1) 5. 抛物线不经过的象限是（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图所示，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 9. 水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（ ） A. 0.8 m B. 1.2 m C. 1.6 m D. 1.8 m 10. 如图所示，抛物线的图象与轴交于和，其中．现存在以下结论；①；②；③；④．其中正确的结论个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二 、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则该方程两根之积_____． 12. 如图，中，，按逆时针方向旋转一个角度后，成为，则图中的________是旋转中心，旋转角是________度． 13. 二次函数的图象如图所示，则______0（填“＞”“＜”“＝”） 14. 若的弦等于半径，则所对的圆心角的度数是__________． 15. 已知点，在抛物线上，则的大小关系是_________ ． 三、解答题（一）本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，的弦，是的中点，且，求的半径． 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C 都是格点． （1）请画出与关于点O中心对称的； （2）依次连结， 猜想四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标： （2）填空：要使该二次函数的图象与x轴有交点，应把图象沿y轴至少向下平移 个单位， 20. 如图，垂直于半径于点，弦，垂足为，与相交于点，已知， （1）求的度数； （2）计算弦的长． 21. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分、第23题14分，共27分） 22. 如图，是的外接圆，，弦交的延长线于点E （1）求证：； （2）求的长； （3）求证：是的切线． 23. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $