精品解析：江西省鹰潭市余江区正源学校2024—2025学年九年级上学期12月月考数学试题

知识之旅温馨回顾卷（九年级） 北师大版·数学（三） 说明： 1．范围：上册全部． 2．满分：120分，时间：120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．利用正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴ ∴， 故选项正确；选项B错误； 故选B． 2. 关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程中，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2， ∴， ∴． 故选：C 3. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据比例线段的定义得到，即，据此分别验证四个选项中与是否相等即可． 【详解】解：∵四条线段a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， A选项中，，，故A不符合题意； B选项中，，，故B不符合题意； C选项中，，，故C不符合题意； D选项中，，，故D符合题意； 故选：D． 4. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图是解题的关键． 根据从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中主视图与左视图不相同，符合要求； B、C、D中主视图与左视图相同，不符合要求； 故选：A． 5. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：C． 6. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到轴的距离为2 B. 当时，随的增大而增大 C. 点也在反比例函数的图象上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出函数解析式，根据反比例的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点A，则， 反比例函数解析式为， A．点P到y轴的距离为1，该选项错误，不符合题意； B．根据函数图象可知，当时，y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意； C．当时，，则点不在反比例函数的图象上，该选项错误，不符合题意； D． ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于，则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．根据的面积等于，结合反比例函数的系数的几何意义可得，再根据反比例函数的图象经过第二象限，即可确定的值． 【详解】解：轴，的面积等于， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限， ， ． 故答案为：． 8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用整体代入法即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 9. 已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，长方体的表面积．先根据三视图得到该几何体是长方体，再根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得几何体是长方体，长方体的长、宽、高分别为，、， 长方体的表面积为． 故答案为：104． 10. 如图，已知在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 利用平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 即. 11. 如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作于点，且，若，则的长为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得到，由得到，推出垂直平分，得到，即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ，即， 垂直平分， ， ． 故答案为：12． 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．若为轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】先确定，，如图，过点作轴于点，得，，然后三种情况：①当在轴正半轴时，；②当在轴负半轴时，；③当在轴正半轴时，，分别确定点的坐标即可 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， 联立， 解得：或， ∴，， 如图，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∵为轴上一动点，是以为腰的等腰三角形， 可分为以下三种情况： ①当在轴正半轴时，， ∴， 此时； ②当在轴负半轴时，， 此时； ③当在轴正半轴时，， 此时， 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，勾股定理，等腰三角形的性质，坐标与图形，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用合适的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：，，， ， ， 解得，． 14. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ （2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】（1）0.5米 （2）25度 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式为，再把代入求解即可； （2）把代入，求得，再作差即可求解． 【小问1详解】 解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）反比例函数解析式为， 由图可得，当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米． 【小问2详解】 解：当时，， ∴（度）， 答：明明的眼镜度数下降了25度． 15. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 【答案】（1）中心投影； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； 【小问2详解】 ，， ， ， ， 即：， 解得：， 路灯的高度为5米． 16. 如图，小正方形的边长均为1， （1）则下列选项中，网格中的三角形与相似的是（ ） A． B． C． D． （2）在网格内画一个（E、F均在格点上）使得与相似比为2：1 【答案】（1）A （2） 如图，或为求， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定． （1）由相似三角形的判定，即可判断． （2）利用同角或对顶角构造相似比为2：1的三角形即可． 【小问1详解】 解：图中中，，又，，，因此．很明显，选项B，C，D中，三角形没有的内角，故选项不符合题意；选项A中，钝角等于，夹角的两边之比为，故A网格中的三角形与相似，选项A符合题意． 故选：A． 【小问2详解】 略 17. 九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； （2）从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）列出表格，根据表格解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意知，从乙口袋中随机抽取张卡片，共有种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有种， ∴从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 乙 甲 由表可知，共有种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有，共种， ∴抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件． （1）降价10元后，每件童装盈利是_____元，每周销售量是_____件； （2）要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】（1）70；80 （2）当每件童装应降价20元时，每周销售这种童装盈利6000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意求出降价后的盈利，再求出每周的销售量即可； （2）设每件童装应降价x元，根据题中等量关系列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：降价10元后，每件童装盈利是：（元）， 每周销售量是：（件）， 故答案为：70，80． 【小问2详解】 解：设每件童装应降价元， 根据题意得：，（） 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件童装应降价20元． 19. 如图，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，连接交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明: ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键. （1）根据四边形ABCD是平行四边形，得 ，可得，由于，可得，即可证明 ； （2）由（1）得可得对应边成比例，代入即可求出的长，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ，即， ， ， ． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）点或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数图象过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：在一次函数中，当时，；当时，， ∴ ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点或． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在函数的学习中，我们经历了从“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现：①当_____时，随的增大而_____（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为_____； （3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是_____． 【答案】（1） 函数图象如图： （2）①或，增大；② （3）或 【解析】 【分析】本题考查了描点法画函数图象、中心对称图形、图象法解不等式，正确画出函数图象是解题的关键． （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）观察图象即可解答； （3）当时，即，整理得到，再结合（1）中的图象即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当或时，随的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为； 故答案为：①或，增大；②； 【小问3详解】 解：当时，即， 整理得：， 由（1）中图象得，当或时，有， 当时，的取值范围是：或． 故答案为：或． 22. 如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求a，k的值； （2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 【答案】（1），； （2）①8；②符合条件的点坐标是和． 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k； （2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得，， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②分两种情况：设，． ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点， ∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点， ∴，， ∴． ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴，， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标是和． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 知识之旅温馨回顾卷（九年级） 北师大版·数学（三） 说明： 1．范围：上册全部． 2．满分：120分，时间：120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7 3. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到轴的距离为2 B. 当时，随的增大而增大 C. 点也在反比例函数的图象上 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于，则的值等于_____． 8. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 9. 已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为_____． 10. 如图，已知在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则_____． 11. 如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作于点，且，若，则的长为_____． 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．若为轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用合适的方法解方程： （1） （2） 14. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ （2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 15. 如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） （2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 16. 如图，小正方形的边长均为1， （1）则下列选项中，网格中的三角形与相似的是（ ） A． B． C． D． （2）在网格内画一个（E、F均在格点上）使得与相似比为2：1 17. 九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； （2）从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件． （1）降价10元后，每件童装盈利是_____元，每周销售量是_____件； （2）要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 19. 如图，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，连接交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在函数的学习中，我们经历了从“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现：①当_____时，随的增大而_____（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为_____； （3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是_____． 22. 如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求a，k的值； （2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB． ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $