5.1 认识二元一次方程组 预习学案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 1. 认识二元一次方程组 知识点预习 1. 二元一次方程的定义与特征 定义：含有 两个未知数，且含有未知数的项的 次数均为 1 的方程。 一般形式：（a , b , c 为常数，a≠0 或 b≠0)。 关键特征：两个未知数（如 x , y)；未知数的最高次数为 1。 2. 二元一次方程组的定义与构成 定义：由 两个二元一次方程 组成的方程组，共含有 两个相同的未知数。 一般形式： 构成条件：方程组中的两个方程 共享相同的未知数 x 和 y。 3. 二元一次方程的解 定义：使方程左右两边相等的一组未知数的值（如,x=6, 满足 )。 解的特性：不唯一性，一个二元一次方程有 无数个解。 解的表示：以有序数对形式表示——。 4. 二元一次方程组的解 定义：方程组中 两个方程的公共解（即同时满足两个方程的一组值）。 解的特性：唯一性, 二元一次方程组通常有且仅有一组解（特殊情况下无解或无穷多解，本节主要讨论唯一解）。 5. 总结 本节通过生活实例（绿植数量、购票费用）引入二元一次方程及方程组的概念，核心在于—— 定义：掌握二元一次方程（两个未知数、次数为 1）及方程组（两个方程共享未知数）的形式。 解的区别：单个二元一次方程方程有无数解；方程组的解是 唯一公共解（需同时满足两个方程）。 应用：学会从实际问题抽象出等量关系并列出方程组，为后续学习方程组解法奠定基础 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列方程中是二元一次方程的是（　　） A．x2﹣4＝0 B．x﹣y＝5 C．x+1＝0 D．xy＝3 【解答】解：A、方程x2﹣4＝0中，项x的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程x﹣y＝5是整式方程，含两个未知数x和y，且x和y的次数均为1，是二元一次方程，符合题意； C、方程x+1＝0中只含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程xy＝3中，项xy的次数为2（x和y的次数之和），不是二元一次方程，不符合题意． 故选：B． 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A：方程组中，第一个方程为二元一次方程，第二个方程可视为x+0y＝﹣2，仍含两个未知数且次数为1，符合要求． B：方程组，含三个未知数，不符合要求． C：方程组中，第一个方程含二次项，次数超过1，不符合要求． D：方程组中，第二个方程有二次项，次数超过1，不符合要求． 综上，只有选项A是二元一次方程组． 故选：A． 3．已知是关于x，y的二元一次方程3x﹣my＝15的一个解，则m的值为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6 【解答】解：把代入关于x，y的二元一次方程3x﹣my＝15中，得3﹣3m＝15， 解得m＝﹣4， 故选：B． 4．若是方程3x+y＝1的一组解，则9a+3b+4＝（　　） A．﹣7 B．7 C．5 D．﹣5 【解答】解：根据题意可知，3a+b＝1， ∴9a+3b＝3， ∴9a+3b+4＝7． 故选：B． 5．下列是方程x+2y＝5的解的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当x＝1，y＝2时，x+2y＝1+4＝5，则A符合题意， 当x＝﹣1，y＝2时，x+2y＝﹣1+4＝3≠5，则B不符合题意， 当x＝2，y＝1时，x+2y＝2+2＝4≠5，则C不符合题意， 当x＝2，y＝﹣1时，x+2y＝2﹣2＝0≠5，则D不符合题意， 故选：A． 6．已知是二元一次方程3x+4y﹣m＝0的解，则m的值为（　　） A．11 B．5 C．﹣11 D．﹣5 【解答】解：∵是二元一次方程3x+4y﹣m＝0的解， ∴3×（﹣1）+4×2﹣m＝0， 解得：m＝5， 故选：B． 7．下列方程中，能与方程2x﹣y＝3组成二元一次方程组，且解为的方程为（　　） A．y＝﹣x B．x﹣a＝3 C．3x+2y＝﹣1 D． 【解答】解：A：把x＝1，y＝﹣1代入y＝﹣x，﹣1＝﹣1，符合题意． B：x﹣a＝3不能和2x﹣y＝3组成二元一次方程组，不符合题意． C：把x＝1，y＝﹣1代入3x+2y＝﹣1，3×1+2×（﹣1）＝1≠﹣1，不符合题意． D：把x＝1，y＝﹣1代入得，不符合题意． 故选：A． 8．已知关于x和y的二元一次方程 2x﹣ay＝﹣6，如果它与下面方程中的一个组成的方程组的解为，则这个二元一次方程是（　　） A．x+2y＝﹣3 B．2x﹣y＝1 C．x﹣y＝3 D．3x﹣y＝5 【解答】解：将解x＝a，y＝﹣4代入原方程， 得：a＝﹣1， 则x＝a＝﹣1，y＝﹣4， 将x＝﹣1，y＝﹣4代入各选项： A：（﹣1）+2×（﹣4）＝﹣1﹣8＝﹣9≠﹣3，不符合题意； B：2×（﹣1）﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2≠1，不符合题意； C：（﹣1）﹣（﹣4）＝﹣1+4＝3＝3，符合题意； D：3×（﹣1）﹣（﹣4）＝﹣3+4＝1≠5，不符合题意． 故选：C． 9．已知5x+2y＝7，则正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由条件可知， ∴7﹣2y一定是5的倍数， ∴当x＝1时，， 解得y＝1，满足题意， 当x＝2时，， 解得，不符合题意， ∴二元一次方程3x+y＝7的正整数解为，一组， 故选：A． 10．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（　　） A．x﹣y＝﹣1 B．x+2y＝﹣8 C．2x﹣y＝﹣7 D．2x+3y＝﹣13 【解答】解：∵二元一次方程组的解是， ∴﹣2+a＝1， ∴a＝3， ∴二元一次方程组的解为：， ∴x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5， x+2y＝﹣2+2×3＝4， 2x﹣y＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7， 2x+3y＝2×（﹣2）+3×3＝5， 故*表示的方程可能是2x﹣y＝﹣7． 故选：C． 二、填空题预习（24分） 11．已知关于x，y的方程2x3a﹣2﹣3y5b﹣9＝﹣2是二元一次方程，则a﹣b＝　﹣1　 ． 【解答】解：根据题意可知，3a﹣2＝1且5b﹣9＝1， ∴a＝1，b＝2， ∴a﹣b＝1﹣2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．把方程5x+y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y的形式：　y＝3﹣5x　 ． 【解答】解：5x+y﹣3＝0， y＝3﹣5x， 故答案为：y＝3﹣5x． 13．方程3x﹣2y＝7的一个解为　（答案不唯一）　 ． 【解答】解：已知方程3x﹣2y＝7， 当x＝1时， 3﹣2y＝7， 解得：y＝﹣2， 即原方程的一个解为， 故答案为：（答案不唯一）． 14．写出二元一次方程x+2y＝9的一组正整数解　（答案不唯一）　 ． 【解答】解：已知二元一次方程x+2y＝9， 当x＝1时，1+2y＝9， 解得：y＝4， 则二元一次方程x+2y＝9的一组正整数解为， 故答案为：（答案不唯一）． 15．若是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2027的值为　2025　 ． 【解答】解：将代入方程得：3a﹣2b＝﹣2， ∴3a﹣2b+2027＝﹣2+2027＝2025， 故答案为：2025． 16．若方程组的解互为相反数，则m＝ 　﹣2　 ． 【解答】解：解方程组得， ， 由题意得， 0， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 三、解答题预习（46分） 17．如果（m﹣2）x+2y|m﹣3|+8＝0是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 【解答】解：∵（m﹣2）x+2y|m﹣3|+8＝0是关于x、y的二元一次方程， ∴， ∴m＝4． 18．把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式： （1）3x+y﹣1＝0； （2）2x﹣y＝3． 【解答】解：（1）因为3x+y﹣1＝0， 所以y＝﹣3x+1； （2）因为2x﹣y＝3， 所以y＝2x﹣3． 19．已知是二元一次方程x+my＝7的一个解． （1）求m的值； （2）用含x的代数式表示y． 【解答】解：（1）由题意得，1+2m＝7， 解得，m＝3； （2）由x+3y＝7得，． 20．（1）写出解为的一个二元一次方程组； （2）请赋予（1）中所写的二元一次方程组一定的实际意义，编一道真实情境问题，并设出未知数． 【解答】解：（1）解为的二元一次方程组可以是：（答案不唯一）； （2）小明画了一个长方形，他发现长与宽的和是5cm，长的2倍是6cm，请问长方形的长和宽各是多少厘米？设长为x cm，宽为y cm（答案不唯一）． 21．已知二元一次方程2x+5y＝28． （1）若x、y互为相反数，求3x+2y的值； （2）直接写出此方程的所有正整数解． 【解答】解：（1）∵x、y互为相反数， ∴x＝﹣y， ∵2x+5y＝28， ∴﹣2y+5y＝28， 解得：y， 则x， 那么3x+2y＝x+2（x+y）0； （2）当y＝1时，2x+5＝28，此时x＝11.5，不符合题意， 当y＝2时，2x+10＝28，此时x＝9，符合题意， 当y＝3时，2x+15＝28，此时x＝6.5，不符合题意， 当y＝4时，2x+20＝28，此时x＝4，不符合题意， 当y＝5时，2x+25＝28，此时x＝1.5，不符合题意， 综上，此方程的所有正整数解为或． 22．已知二元一次方程mx+3y+n＝0（m，n均为常数，且m≠0）． （1）当m＝2，n＝﹣4时，用x的代数式表示y； （2）若是该二元一次方程的一个解； ①探索m与n关系，并说明理由； ②若该方程有一个解与m，n的取值无关，请求出这个解． 【解答】解：（1）把m＝2，n＝﹣4代入方程mx+3y+n＝0，得2x+3y﹣4＝0， ∴3y＝4﹣2x， ∴； （2）①m﹣n＝0．理由如下： 把x＝2，y＝﹣n代入方程mx+3y+n＝0，得2m﹣3n+n＝0， 解得：m﹣n＝0； ②由①得m﹣n＝0，则m＝n， 把m＝n代入方程mx+3y+n＝0， ∴mx+3y+m＝0， ∴m（x+1）+3y＝0， ∵该方程有一个解与m，n的取值无关， ∴x+1＝0，y＝0， ∴x＝﹣1， ∴这个解为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第五章 二元一次方程组 1. 认识二元一次方程组 知识点预习 1. 二元一次方程的定义与特征 定义：含有 两个未知数，且含有未知数的项的 次数均为 1 的方程。 一般形式：（a , b , c 为常数，a≠0 或 b≠0)。 关键特征：两个未知数（如 x , y)；未知数的最高次数为 1。 2. 二元一次方程组的定义与构成 定义：由 两个二元一次方程 组成的方程组，共含有 两个相同的未知数。 一般形式： 构成条件：方程组中的两个方程 共享相同的未知数 x 和 y。 3. 二元一次方程的解 定义：使方程左右两边相等的一组未知数的值（如,x=6, 满足 )。 解的特性：不唯一性，一个二元一次方程有 无数个解。 解的表示：以有序数对形式表示——。 4. 二元一次方程组的解 定义：方程组中 两个方程的公共解（即同时满足两个方程的一组值）。 解的特性：唯一性, 二元一次方程组通常有且仅有一组解（特殊情况下无解或无穷多解，本节主要讨论唯一解）。 5. 总结 本节通过生活实例（绿植数量、购票费用）引入二元一次方程及方程组的概念，核心在于—— 定义：掌握二元一次方程（两个未知数、次数为 1）及方程组（两个方程共享未知数）的形式。 解的区别：单个二元一次方程方程有无数解；方程组的解是 唯一公共解（需同时满足两个方程）。 应用：学会从实际问题抽象出等量关系并列出方程组，为后续学习方程组解法奠定基础 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列方程中是二元一次方程的是（　　） A．x2﹣4＝0 B．x﹣y＝5 C．x+1＝0 D．xy＝3 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．已知是关于x，y的二元一次方程3x﹣my＝15的一个解，则m的值为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6 4．若是方程3x+y＝1的一组解，则9a+3b+4＝（　　） A．﹣7 B．7 C．5 D．﹣5 5．下列是方程x+2y＝5的解的是（　　） A． B． C． D． 6．已知是二元一次方程3x+4y﹣m＝0的解，则m的值为（　　） A．11 B．5 C．﹣11 D．﹣5 7．下列方程中，能与方程2x﹣y＝3组成二元一次方程组，且解为的方程为（　　） A．y＝﹣x B．x﹣a＝3 C．3x+2y＝﹣1 D． 8．已知关于x和y的二元一次方程 2x﹣ay＝﹣6，如果它与下面方程中的一个组成的方程组的解为，则这个二元一次方程是（　　） A．x+2y＝﹣3 B．2x﹣y＝1 C．x﹣y＝3 D．3x﹣y＝5 9．已知5x+2y＝7，则正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（　　） A．x﹣y＝﹣1 B．x+2y＝﹣8 C．2x﹣y＝﹣7 D．2x+3y＝﹣13 二、填空题（本大题共6小题，总分24.0分） 11．已知关于x，y的方程2x3a﹣2﹣3y5b﹣9＝﹣2是二元一次方程，则a﹣b＝　 　 ． 12．把方程5x+y﹣3＝0改写成用含x的式子表示y的形式：　 　 ． 13．方程3x﹣2y＝7的一个解为　 　 ． 14．写出二元一次方程x+2y＝9的一组正整数解　 　 ． 15．若是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2027的值为　 　 ． 16．若方程组的解互为相反数，则m＝ 　 　 ． 三、解答题（本大题共6小题，总分48.0分） 17．如果（m﹣2）x+2y|m﹣3|+8＝0是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 18．把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式： （1）3x+y﹣1＝0； （2）2x﹣y＝3． 19．已知是二元一次方程x+my＝7的一个解． （1）求m的值； （2）用含x的代数式表示y． 20．（1）写出解为的一个二元一次方程组； （2）请赋予（1）中所写的二元一次方程组一定的实际意义，编一道真实情境问题，并设出未知数． 21．已知二元一次方程2x+5y＝28． （1）若x、y互为相反数，求3x+2y的值； （2）直接写出此方程的所有正整数解． 22．已知二元一次方程mx+3y+n＝0（m，n均为常数，且m≠0）． （1）当m＝2，n＝﹣4时，用x的代数式表示y； （2）若是该二元一次方程的一个解； ①探索m与n关系，并说明理由； ②若该方程有一个解与m，n的取值无关，请求出这个解． 学科网（北京）股份有限公司 $$