4.3 一次函数的图象 预习学案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第四章 一次函数 3. 一次函数的图象 知识点预习 1. 函数图象的概念与绘制方法 定义：将函数自变量的每个值x 与对应函数值 y作为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有点，这些点组成的图形称为函数的 图象。 绘制步骤：（1）列表：选取自变量 x 的值（含正、负、零），计算 y；（2）描点：在坐标系中标出对应点；（3）连线：依次连接各点得到直线。 2. 正比例函数 的图象与性质 图象特征：是一条 过原点 (0,0) 的直线。 简化画法：只需再取一点（如 时），过该点与原点画直线。 系数 k 的影响： k的符号 函数值变化趋势 图象特征 y随 x增大而增大 直线经过 第一、三象限 y随 x增大而减小 直线经过 第二、四象限  的意义：  越大，直线越陡峭（函数值变化越快）。 3. 一次函数 的图象与性质 图象特征：是一条 直线，与正比例函数 的图象 平行。 必过点：与 y 轴交于点（b称为 截距）。 简化画法：确定 两个点，通常选 和或其他点，过两点画直线。 系数 k 的影响： → y 随 x增大而增大； → y随 x 增大而减小。 系数 b的影响：决定直线与 y 轴的 交点位置—— → 交点在 y 轴正半轴； → 交点在 y 轴负半轴。 4. 图象平移关系： 一次函数  的图象可由正比例函数的图象 沿 y 轴平移个单位 得到—— 时向上平移； 时向下平移。 5. 总结 本节通过绘制正比例函数和一次函数的图象，揭示核心规律： 图象本质——均为直线； 系数作用——k 决定增减性和陡峭程度；b 决定与 y 轴交点。 图象关系：一次函数图象可由正比例函数图象平移得到。 需掌握“列表-描点-连线”的作图方法，理解k , b 的几何意义，并能通过图象分析函数性质，为后续学习一次函数的应用奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与yk的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 3．在平面直角坐标系中，将一次函数y＝3x的图象向下平移2个单位长度后得到直线（　　） A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝﹣3x+2 D．y＝﹣3x﹣2 4．若点（1，﹣2）在一次函数y＝kx+1的图象上，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 5．已知一次函数y＝（k+2）x+3﹣k的图象如图所示，则k的取值范围是（　　） A．﹣2＜k＜3 B．﹣2≤k＜3 C．﹣3＜k＜2 D．﹣3≤k＜2 6．对于函数y＝﹣2x+3的图象，下列结论错误的是（　　） A．图象必经过点（1，1） B．图象经过第一、三、四象限 C．与y轴的交点为（0，3） D．若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＞y2 7．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABC沿BC折叠后，点A恰好落在y轴上的点D处，则点C的坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C． D． 8．已知一次函数y＝kx﹣k+5的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（2，4） C．（﹣3，1） D．（3，6） 9．下列有关一次函数y＝﹣3x+4的说法中，错误的是（　　） A．y的值随着x增大而减小 B．当x＞0时，y＞4 C．函数图象与y轴的交点坐标为（0，4） D．函数图象经过第一、二、四象限 10．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③； ④d＜a+b+c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，总分18.0分） 11．一次函数y＝3x+2的图象与y轴交点的坐标为　 　 ． 12．将直线y＝2x+b向下平移2个单位长度后经过点（2，3），则b的值是　 　 ． 13．一次函数的图象如图所示，当x＝　 　 时，y＝0；当x　 　 时，y＜3． 14．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数y＝﹣9x的图象上，若x1＜x2，则y1　 　 y2（填“＜”“＞”或“＝”）． 15．如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1　 　 k2．（填“＞”“＜”或“＝”） 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝3OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 　 　 . 三、解答题（本大题共6小题，总分48.0分） 17．已知y关于x的函数y＝2x+m+4的图象与y轴的交点在x轴下方，求m的取值范围． 18．已知函数y＝kx+b向上平移2个单位后得到y＝2x+3，求平移前y与x之间的函数解析式，并画出平移前函数的图象． 19．已知正比例函数y＝（k﹣2）x． （1）若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围； （2）若点（2，4）在它的图象上，求它的解析式． 20．如图，点A是x轴上左侧的一点，点B（2，m）在第一象限，直线BA交y轴于点C（0，2），S△AOB＝6． （1）求S△COB； （2）求点A的坐标及m的值． 21．已知一次函数y＝﹣2x+b图象经过点A（﹣1，3），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求b的值及点B和点C的坐标． （2）在给定的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）若点P是x轴上一点，且△OAP的面积是6，直接写出点P的坐标． 22．已知y是自变量x的函数，点P（x，y）在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m（m为常数，m＞0），即|x|+|y|＝m，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”．例如点（﹣3，﹣1）是一次函数y＝x+2图象上的“4阶定距点”． （1）下列各点中是一次函数y＝3x﹣2图象上的“2阶定距点”的是 　 　 ； ①（1，1） ② ③（0，﹣1） ④（﹣1，1） （2）点（﹣2，b）是一次函数图象上的“3阶定距点”，求n的值． （3）一次函数y＝2x﹣4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P是一次函数y＝2x﹣4的图象在第一象限内的“5阶定距点”，点D在直线OP上，过点D作DE∥y轴，交直线AB于点E，当时，求点D的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第四章 一次函数 3. 一次函数的图象 知识点预习 1. 函数图象的概念与绘制方法 定义：将函数自变量的每个值x 与对应函数值 y作为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有点，这些点组成的图形称为函数的 图象。 绘制步骤：（1）列表：选取自变量 x 的值（含正、负、零），计算 y；（2）描点：在坐标系中标出对应点；（3）连线：依次连接各点得到直线。 2. 正比例函数 的图象与性质 图象特征：是一条 过原点 (0,0) 的直线。 简化画法：只需再取一点（如 时），过该点与原点画直线。 系数 k 的影响： k的符号 函数值变化趋势 图象特征 y随 x增大而增大 直线经过 第一、三象限 y随 x增大而减小 直线经过 第二、四象限  的意义：  越大，直线越陡峭（函数值变化越快）。 3. 一次函数 的图象与性质 图象特征：是一条 直线，与正比例函数 的图象 平行。 必过点：与 y 轴交于点（b称为 截距）。 简化画法：确定 两个点，通常选 和或其他点，过两点画直线。 系数 k 的影响： → y 随 x增大而增大； → y随 x 增大而减小。 系数 b的影响：决定直线与 y 轴的 交点位置—— → 交点在 y 轴正半轴； → 交点在 y 轴负半轴。 4. 图象平移关系： 一次函数  的图象可由正比例函数的图象 沿 y 轴平移个单位 得到—— 时向上平移； 时向下平移。 5. 总结 本节通过绘制正比例函数和一次函数的图象，揭示核心规律： 图象本质——均为直线； 系数作用——k 决定增减性和陡峭程度；b 决定与 y 轴交点。 图象关系：一次函数图象可由正比例函数图象平移得到。 需掌握“列表-描点-连线”的作图方法，理解k , b 的几何意义，并能通过图象分析函数性质，为后续学习一次函数的应用奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与yk的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由yk的图象，得k＞0，k值相互矛盾，故A错误； B、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由yk的图象，得k＜0，故B正确； C、由函数y＝kx的图象，得k＞0，由yk的图象，得k＜0，k值相矛盾，故C错误； D、由函数y＝kx的图象的图象经过原点，故D错误； 故选：B． 2．已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 【解答】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m＜0， 解得m． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，将一次函数y＝3x的图象向下平移2个单位长度后得到直线（　　） A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝﹣3x+2 D．y＝﹣3x﹣2 【解答】解：根据平移法则可知：平移后得到直线为y＝3x﹣2， 故选：B． 4．若点（1，﹣2）在一次函数y＝kx+1的图象上，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【解答】解：∵点（1，﹣2）在一次函数y＝kx+1的图象上， ∴﹣2＝k+1， 解得：k＝﹣3， 故选：B． 5．已知一次函数y＝（k+2）x+3﹣k的图象如图所示，则k的取值范围是（　　） A．﹣2＜k＜3 B．﹣2≤k＜3 C．﹣3＜k＜2 D．﹣3≤k＜2 【解答】解：由题意得， ∴﹣2＜k＜3， 故选：A． 6．对于函数y＝﹣2x+3的图象，下列结论错误的是（　　） A．图象必经过点（1，1） B．图象经过第一、三、四象限 C．与y轴的交点为（0，3） D．若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＞y2 【解答】解：A．当x＝1时，y＝﹣2×1+3＝1， ∴一次函数y＝﹣2x+3的图象必经过点（1，1），选择A不符合题意； B．∵k＝﹣2＜0，b＝3＞0， ∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限，选项B符合题意； C．当x＝0时，y＝﹣2×0+3＝3， ∴一次函数y＝﹣2x+3的图象与y轴的交点为（0，3），选项C不符合题意； D．∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，且1＜3， ∴y1＞y2，选项D不符合题意． 故选：B． 7．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABC沿BC折叠后，点A恰好落在y轴上的点D处，则点C的坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C． D． 【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A和点B， ∴A（﹣4，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝4，OB＝3，AB5， 由折叠性质可知AD＝AB＝5，AC＝CD， ∴OD＝5﹣3＝2，OC+CD＝4， 设OC＝x，则CD＝4﹣x，由勾股定理可得：（4﹣x）2＝x2+22， 解得x， ∴C（，0）． 故选：C． 8．已知一次函数y＝kx﹣k+5的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（2，4） C．（﹣3，1） D．（3，6） 【解答】解：根据一次函数性质逐项分析判断如下： A、当点A（﹣2，﹣1）时，﹣2k﹣k+5＝﹣1， 解得：k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意； B、当点A（2，4）时，2k﹣k+5＝4， 解得：k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小，选项B符合题意； C、当点A（﹣3，1）时，﹣3k﹣k+5＝1， 解得：k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意； D、当点A（3，6）时，3k﹣k+5＝6， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意． 故选：B． 9．下列有关一次函数y＝﹣3x+4的说法中，错误的是（　　） A．y的值随着x增大而减小 B．当x＞0时，y＞4 C．函数图象与y轴的交点坐标为（0，4） D．函数图象经过第一、二、四象限 【解答】解：根据一次函数的图象和性质，逐项分析判断如下： A、∵k＝﹣3＜0， ∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B、∵x＝0时，y＝4， 又∵y的值随着x增大而减小， ∴当x＞0时，y＜4，原说法错误，符合题意； C、∵当x＝0时，y＝4， ∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），正确，不符合题意； D、∵k＝﹣3＜0，b＝4＞0， ∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意． 故选：B． 10．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③； ④d＜a+b+c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确； 由于a＜0，d＜0，所以函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，故②正确； ∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3， ∴3a+b＝3c+d ∴3a﹣3c＝d﹣b， ∴a﹣c（d﹣b），故③正确； 当x＝1时，y1＝a+b， 当x＝﹣1时，y2＝﹣c+d， 由图象可知y1＞y2， ∴a+b＞﹣c+d ∴d＜a+b+c，故④正确； 故选：D． 二、填空题预习（24分） 11．一次函数y＝3x+2的图象与y轴交点的坐标为　（0，2）　 ． 【解答】解：当x＝0时，y＝3×0+2＝2， ∴一次函数y＝3x+2的图象与y轴交点的坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 12．将直线y＝2x+b向下平移2个单位长度后经过点（2，3），则b的值是　1　 ． 【解答】解：将直线平移后的解析式为y＝2x+b﹣2， 由条件可知2×2+b﹣2＝3， 解得b＝1， 故答案为：1． 13．一次函数的图象如图所示，当x＝　2　 时，y＝0；当x　＞0　 时，y＜3． 【解答】解：由函数图象可知，当x＝2时，y＝0；当x＝0时，y＝3，y随x的增大而减小， ∴当x＞0时，y＜3． 故答案为：2，＞0． 14．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数y＝﹣9x的图象上，若x1＜x2，则y1　＞　 y2（填“＜”“＞”或“＝”）． 【解答】解：函数y＝﹣9x中， ∵k＝﹣9＜0， ∴y随着x的增大而减小， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数y＝﹣9x的图象上，x1＜x2， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 15．如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1　＜　 k2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【解答】解：如图： 当x＝a时，y1＝k1a，y2＝k2a，y1＜y2， ∴k1＜k2， 故答案为：＜． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝3OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 　yx﹣3　 . 【解答】解：∵一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点， ∴B（0，﹣k），A（1，0）， ∵OB＝3OA， ∴A（1，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝1，OB＝3， 过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝AF， ∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°， ∴∠ABO＝∠EAF， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE＝OB＝3，EF＝OA＝1， ∴F（4，﹣1）， 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的函数表达式为：yx﹣3， 故答案为：yx﹣3． 三、解答题预习（46分） 17．已知y关于x的函数y＝2x+m+4的图象与y轴的交点在x轴下方，求m的取值范围． 【解答】解：∵该函数图象与y轴的交点在x轴下方， ∴m+4＜0． 解得m＜﹣4． 18．已知函数y＝kx+b向上平移2个单位后得到y＝2x+3，求平移前y与x之间的函数解析式，并画出平移前函数的图象． 【解答】解：由题意得，平移前y与x之间的函数解析式为：y＝2x+1， 当x＝0时y＝1，当y＝0时，， 如图， 19．已知正比例函数y＝（k﹣2）x． （1）若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围； （2）若点（2，4）在它的图象上，求它的解析式． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2； （2）把点（2，4）代入y＝（k﹣2）x，得：4＝（k﹣2）×2， 解得：k＝4， ∴函数解析式为y＝2x． 20．如图，点A是x轴上左侧的一点，点B（2，m）在第一象限，直线BA交y轴于点C（0，2），S△AOB＝6． （1）求S△COB； （2）求点A的坐标及m的值． 【解答】解：（1）∵点B（2，m），点C（0，2）， ∴S△COB2×2＝2； （2）∵S△AOB＝6，S△COB＝2， ∴S△AOC＝6﹣2＝4， ∴OA•OC＝4，即OA•2＝4，解得OA＝4， ∴A点坐标为（﹣4，0）； 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣4，0）、C（0，2）代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为yx+2， 把B （2，m）代入得m＝1+2＝3． 21．已知一次函数y＝﹣2x+b图象经过点A（﹣1，3），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求b的值及点B和点C的坐标． （2）在给定的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）若点P是x轴上一点，且△OAP的面积是6，直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+b图象经过点A（﹣1，3）， ∴3＝﹣2×（﹣1）+b， ∴b＝1， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+1． 当y＝0时，﹣2x+1＝0， 解得：x， ∴点B的坐标为（，0）； 当x＝0时，y＝﹣2×0+1＝1， ∴点C的坐标为（0，1）； （2）描点、连线，画出函数图象； （3）设点P的坐标为（m，0），则OP＝|m|， 根据题意得：OP•yA＝6， 即|m|×3＝6， 解得：m＝±4， ∴点P的坐标为（﹣4，0）或（4，0）． 22．已知y是自变量x的函数，点P（x，y）在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m（m为常数，m＞0），即|x|+|y|＝m，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”．例如点（﹣3，﹣1）是一次函数y＝x+2图象上的“4阶定距点”． （1）下列各点中是一次函数y＝3x﹣2图象上的“2阶定距点”的是 　①　 ； ①（1，1） ② ③（0，﹣1） ④（﹣1，1） （2）点（﹣2，b）是一次函数图象上的“3阶定距点”，求n的值． （3）一次函数y＝2x﹣4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P是一次函数y＝2x﹣4的图象在第一象限内的“5阶定距点”，点D在直线OP上，过点D作DE∥y轴，交直线AB于点E，当时，求点D的坐标． 【解答】解：（1）①当x＝1时，y＝3x﹣2＝3×1﹣2＝1，（1，1）在图象上，且|1|+|1|＝2，是图象的“2阶定距点” ②当时，，在图象上，但，不是图象的“2阶定距点” ③当x＝0时，y＝3x﹣2＝3×0﹣2＝﹣2，（0，﹣1）不在图象上，不是图象的“2阶定距点” ④当x＝﹣1时，y＝3x﹣2＝3×（﹣1）﹣2＝﹣5，（﹣1，1）不在图象上，不是图象的“2阶定距点” 故答案为：①． （2）由条件可知即n＝b﹣1，且|﹣2|+|b|＝3， ∴n＝b﹣1，|b|＝1， 解得b＝1或b＝﹣1， 当b＝1时，坐标为（﹣2，1），n＝b﹣1＝0； 当b＝﹣1时，坐标为（﹣2，﹣1），n＝b﹣1＝﹣2； 故n的值为0或﹣2． （3）由条件可知A（2，0），B（0，﹣4）， 设P（m，n）， ∵点P是一次函数y＝2x﹣4的图象在第一象限内的“5阶定距点”， ∴m＞0，n＞0，n＝2m﹣4，且|m|+|n|＝m+n＝5， ∴2m﹣4+m＝5， 解得m＝3， 故n＝2， ∴P（3，2）， ∴， ∵， ∴， 设直线OP的解析式为y＝kx， 把P（3，2）代入解析式，得2＝3k， 解得， ∴直线OP的解析式为， ∵点D在直线OP上， 不妨设， ∵DE∥y轴， ∴点E的横坐标为t， ∵点E在直线y＝2x﹣4上， ∴E（t，2t﹣4）， ∵DE∥y轴，且DE＝1， ∴， ∴或， 解得或， ∴或）。 学科网（北京）股份有限公司 $$