4.4一次函数的运用（1）导学案 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案围绕“一次函数的运用（1）”展开，核心是掌握用待定系数法求一次函数解析式的步骤，明确正比例函数需一个条件、一次函数需两个条件。预习自测通过知识链接回顾一次函数图像画法与性质，搭建新旧知识桥梁，为新知探究做铺垫。 导学案以探究活动为载体，结合生活实例引导学生经历解析式求解过程，渗透数形结合与方程思想，培养运算能力和推理意识。分层任务设计与详细解答助力学生巩固提升，作业分层兼顾差异，有效发展用数学思维解决问题的能力。

第四章 一次函数 4.4一次函数的运用（1）导学案 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。 2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。 3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。. 学习重点：求一次函数解析式的方法步骤。 学习难点：建立函数的模型，用函数的思想解决实际问题的能力 ► 预习自测 一、知识链接 1、前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，如y=3x-1和y=-2x+3，如何画出它们的图象? 两点法： . 平移法： . 2、 从以下几个方面分析y=3x-1和y=-2x+3图像的性质 1、图像经过的象限 2、图像增减性 3、图像和x轴y轴的交点。 4、K值确定什么？ b值确定什么? ► 教学过程 1、 合作交流、新知探究 探究一：确定正比例函数的解析式 1、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示： (1)请写出 v 与 t 的关系式； 解;设Ｖ＝kt; ∵(2,5)在图象上 ∴５＝2k , ∴k=2.5 ∴V=2.5t 下滑3秒时物体的速度是多少？ V=2.5t=2.5×3=７.５米／秒 2、假定甲、乙二人在一项赛跑中,路程与时间的关系如图所示． （1）这是一次 米的赛跑？ （2） 先到达终点？ （3）甲、乙二人的速度分别是多少？ （4）求甲、乙二人y与x的函数关系式． 3、求正比例函数 的表达式 解：由正比例函数的定义知 m－ 15 ＝ 1 ,m=±4 且 m － 4≠0 ， m≠4 ∴m ＝－ 4 ， ∴y ＝－ 8x. 【强调】利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 怎样求正比例函数的表达式？（待定系数法） 1. 设正比例函数表达式y=kx； 2. 找一对X,Y的对应值，代入表达式； 3. 解方程求出k的值； 4 .写出表达式。 探究二：确定一次函数y=kx+b(≠0）的解析式 1：已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式． 解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得， ∴ －5＝2k＋b， 5＝0×K+b， 解得b＝5，k＝－5. ∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5. 2、已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式。 怎样求一次函数y=kx+b(≠0）的表达式（待定系数法） 1. 设一次函数表达式y=kx+b； 2. 找二对X,Y的对应值，代入表达式; 3. 解方程,求出K和b； 4. 把求出的k，b代回表达式即可. 三、典例精析 例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。 解：设y=kx+b(k≠0)，经过（0,14.5），（3,16） 由题意得：14.5=0×K+b, 16=3k+b, 解得：b=14.5 ; k=0.5. ∴解析式为y=0.5x+14.5 ∵y=0.5x+14.5 当x=4时，y＝0.5×４＋14.5 =16.5（厘米）. 即物体的质量为４千克时，弹簧长度为16.5厘米. 尝试练习 某根蜡烛燃烧前30厘米，燃烧时剩下的长度y(单位：厘米）是燃烧时间x(单位：h)的一次函数，当这根蜡烛燃烧2h时，剩下的长度12厘米 （1）写出y与x之间的函数关系式， （2）这根蜡烛最多可以燃烧多少时间？ 四、课堂练习、巩固提高 基础达标 1、已知正比例函数y=kx﹙k≠0﹚的图像经过﹙1，-2﹚，这个正比例的表达式是 。 2、已知正比例函数y=(m+1)x,它的表达式表达式是 。 3、一个正比例函数的图象如图所示，则这个函数的表达式为(　　) A．y＝x B．y＝－x C．y＝－2x D．y＝x-0.5 4、如图，直线AB对应的函数表达式是(　　) A．y＝ - x＋3 B．y＝ x＋3 C．y＝- x＋3 D．y＝ x＋3 5、已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，-4），求这个一次函数的解析式． 6、 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式. 7、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空: 　(1)b= ,k=_____; (2)当x=30时，y= ; (3)当y=30时，x= 。 能力提升 8、若正比例函数y=2x的图像经过A﹙-1,a﹚,则a= ;该函数图像经过点B﹙b，6），则b= . 9. 如果直线y=2x+m 与两坐标轴围成的三角形的面积是 4，那么 m 的值是 （ ） A.-4, B. 2 C.±4 D. ±2 拓展应用 10、若y与x-1成正比例，且当x=2时，y=3,求y与x之间的函数表达式？ 11、已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式. 五、总结反思、拓展升华 一、用待定系数法求一次函数的解析式的步骤： 1. 设一次函数表达式y=kx+b； 2. 找二对X,Y的对应值，代入表达式; 3. 解方程,求出K和b的值； 4. 把求出的k，b代回表达式即可. 二、本节课用到的数学思想 方程思想、数形结合思想。 六、【作业布置】 基础达标： 1. 直线y=kx-4 经过点(-2,2) ，则该直线的解析式是（ ） A.y=-3x-4 B. y=-x-4 C. y=x-4 D. y=3x-4 2．已知一次函数y=2x-2 ，当y=0 时, ． 3.一元一次方程3x+2=8的解是 ，则一次函数y=3x+2在自变量x= 时的函数值是8 4， 两地相距280千米，一列火车以每小时100 千米的速度从甲地向乙地行驶，在行驶过程中，火车与乙地的距离 （千米）与火车行驶时间 （小时）之间的函数解析式是 ． 5.设一个等腰三角形的周长为45，一腰为x，底为y， （1）写出y用x表示函数关系式。 （2）求出当x=15时，y的值，并指出此时三角形是什么三角形？ 6.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h （厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（　　）函数关系式是： . 能力提升： 7.如果一个一次函数满足以下两个条件：（1）函数值 y 随着自变量 x 的值增大而减小；（2）图象经过点(-1,-3) ．那么这个一次函数的解析式可以是 , （写出一个即可） 8.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是　 . 拓展迁移： 9.已知一次函数y=kx﹣4，当x=2时，y=﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴的交点的坐标． 10.用每张长6 cm的纸条，重叠1 cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y(cm)与纸条的张数x之间的函数表达式是(　　) A．y＝6x＋1 B．y＝4x＋1 C．y＝4x＋2 D．y＝5x＋1 课堂作业参考答案： 1、 y=-2x 2、 Y=2x 3、 B 4、 A 5、 y=3x-4 6、 y=-2x+2 7、 2, - ,-18, -42 8、 -2, 3 9、 C 10、解：设y=k(x-1), 把x=2,y=3，代入y=k(x-1)， 求出k=3, 所以y和x的函数关系是y=3x-3 11、解：此题解答结果有两种情况 设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), 因为一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），所以b=2， 又因为一次函数的图象与x轴的交点是( - ，0)，则 解得k= 1或-1. 故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2. 课外作业参考答案： 1、 A 2、 X=1 3、 X=2, 2. 4、 y=280-100x 5、解：（1）∵2x+y=45 ∴ y=-2x+45 (2)当x=15 y=-2x+45=15, 此时三角形为等边三角形 6、D,; y=5x+20 7、y=-x-4答案不唯一 8、(2,0) 9、解(1)：由题意可得2k﹣4=﹣3，解得k= 0.5 ， ∴一次函数解析式为y= 0.5 x﹣4 （2）把该函数图象向上平移6个单位可得y= 0.5 x﹣4+6= 0.5 x+2， 令y=0可得 0.5 x+2=0，解得x=﹣4， ∴平移后图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0） 10. 答案：D 解析：如果不重叠，x张纸条总长度是6X,重叠部分是x-1，实际长度6x-(x-1)=5x+1 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $