4.2 认识一次函数 预习学案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第四章 一次函数 2. 认识一次函数 知识点预习 1. 一次函数的定义与形式 定义：若两个变量 x , y 的关系可表示为（k , b 为常数，），则称 y 是 x 的 一次函数。 特例：正比例函数：当时，（）。 核心特征：均匀变化——自变量 x每增加 1 单位，函数值 y的变化量固定 k个单位。 2. 一次函数的判定与解析 判定条件：关系式需为 y关于 x的一次整式（最高次数为 1）。 3. 实际情境中的一次函数模型 均匀变化现象：实例——漏水实验；线香燃烧的剩余长度 ；弹簧伸长；汽车行程问题；剩余油量等。 4. 总结 本节通过生活实例（漏水实验、线香燃烧、弹簧伸长、汽车行程、阶梯计价）揭示 一次函数的本质：均匀变化 的线性关系。 核心是掌握： 标准形式：（)，理解k和 b的实际意义。 正比例函数： 时的特例。 分段函数：解决阶梯计价问题（区间判断与表达式选择）。 需能根据实际问题建立函数模型，并应用解析式进行计算与预测，为后续学习一次函数图像与性质奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣2x B． C． D．y＝﹣2x+1 【解答】解：A选项是正比例函数，故符合题意； B选项是反比例函数，故不符合题意； C选项是二次函数，故不符合题意； D选项是一次函数，故不符合题意， 故选：A． 2．下列函数：①y；②y；③y＝3x；④y＝3x2﹣2．其中是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：由题可得，是一次函数的有：①y；③y＝3x， ∴一次函数有2个， 故选：C． 3．若函数y＝（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，|m|＝1， 解得：m＝﹣1． 故选：B． 4．若y＝（m+1）x2﹣|m|+1是关于x的一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2 【解答】解：∵y＝（m+1）x2﹣|m|+1是关于x的一次函数， ∴2﹣|m|＝1且m+1≠0， 解得：m＝1， 故选：A． 5．一次函数y＝kx+b的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的表达式是（　　） A．y＝2x+4 B．y＝2x﹣4 C．y＝﹣2x+4 D．y＝﹣2x﹣4 【解答】解：把（1，2），（2，0）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣2x+4． 故选：C． 6．已知一次函数y＝ax+b中x和y的部分对应值如表所示： x ﹣2 ﹣1 0 2 2.5 y 6 4 2 ﹣2 ﹣3 那么方程ax+b＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【解答】解：把（0，2）和（2，﹣2）代入y＝ax+b得： ， 解方程组得：， 把代入方程ax+b＝0得： ﹣2x+2＝0， ﹣2x＝﹣2， x＝1， 故选：B． 7．已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【解答】解：由题意，得 m2﹣3＝1，且m+1＜0， 解得m＝﹣2， 故选：B． 8．一次函数y＝kx+b（k＜0）与y＝x+3交于点P（m，5），则关于x的方程kx+b＝x+3的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝4 D．x＝5 【解答】解：把P（m，5）代y＝x+3，得m+3＝5， ∴m＝2， ∴P（2，5）， ∴关于x的方程kx+b＝x+3的解为x＝2， 故选：A． 9．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+1的图象相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【解答】解：由条件可得：m+1＝2，解得m＝1， ∴点P的坐标为P（1，2）， ∵点P（1，2）在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴k+b＝2， ∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1， 故选：A． 10．如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0；④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0，所以①③正确； ∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴a＜0，所以②错误； ∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3， ∴x＝3时，kx+b＝x+a，所以④正确． 综上所述，错误的个数是1． 故选：A． 二、填空题预习（24分） 11．函数y＝（m+2）x|m|﹣1+3是y关于x的一次函数，则m＝ 　2　 ． 【解答】解：由一次函数定义可知|m|﹣1＝1且m+2≠0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 12．当k＝　﹣2　 时，关于x的一次函数y＝（k﹣2）x﹣4+k2又是正比例函数． 【解答】解：∵关于x的一次函数y＝（k﹣2）x﹣4+k2又是正比例函数， ∴k﹣2≠0，﹣4+k2＝0． 解得：k＝﹣2． 故答案为：k＝﹣2． 13．一次函数y＝mx+n（m为常数，m≠0）的图象如图所示，则关于x的方程mx+n＝0的解是　x＝2　 ． 【解答】解：由题意得，方程mx+n＝0的解是函数y＝mx+n与x轴交点的横坐标， 又∵一次函数y＝mx+n与x轴交点的横坐标为2， ∴方程mx+n＝0的解为x＝2． 故答案为：x＝2． 14．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点（﹣1，﹣2），则关于x的方程kx+b＝2x的解是 　x＝1　 ． 【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（1，2）， ∴方程kx+b＝2x的解，即为直线y＝2x与y＝kx+b的交点的横坐标的值， ∴方程kx+b＝2x的解为x＝1， 故答案为：x＝1． 15．一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝3的解为 　x＝2　 ． 【解答】解：∵y＝kx+b经过（2，3）（0，1）， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+1， x+1＝3， 解得：x＝2， 故答案为：x＝2． 16．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线AB对应的函数表达式是　y＝﹣3x+10　 ． 【解答】解：如图，过点A作AC∥x轴，过点B作BD∥y轴，两条直线相交于点E， ∵AC∥x轴，BD∥y轴， ∴AC⊥BD， ∴∠E＝90°， ∴∠ACO＝∠E＝∠BDO＝90°， 又∵∠ABO＝90°， ∴∠DOB+∠OBD＝90°，∠ABE+∠OBD＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠BOD＝∠ABE，∠OBD＝∠BAE． ∵点B的坐标为（3，1）， ∴OD＝3，BD＝1． 在△ABE与△BOD中， ， ∴△ABE≌△BOD（ASA）， ∴AE＝BD＝1，BE＝OD＝3， ∴AC＝OD﹣BD＝2，DE＝BD+BE＝4， ∴A（2，4）， 设直线AB解析式为：y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+10， 故答案为：y＝﹣3x+10． 三、解答题预习（46分） 17．已知2y与x+1成正比例，且其图象过点（2，4），（m，6），求m的值． 【解答】解：∵2y与x+1成正比例， ∴2y＝k（x+1）， ∵其图象过点（2，4）， ∴2×4＝（2+1）k， ∴k， ∴2y（x+1）， ∵其图象过点（m，6）， ∴2×6， ∴m． 18．已知函数y＝（m+3）x|m|﹣2+2m是一次函数，求m的值． 【解答】解：由题意得|m|﹣2＝1且m+3≠0， 解得：m＝3． 19．已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵y关于x的函数y＝4x+m﹣3，y是x的正比例函数， ∴m﹣3＝0， 解得m＝3； （2）当m＝7时，该函数的表达式为y＝4x+4， 令y＝0，得4x+4＝0， 解得x＝﹣1， ∴当m＝7时，函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． 20．某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间t/s 0 10 20 30 液体温度y/℃ 8 18 28 38 （1）兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足一次函数关系，求y与t之间的函数表达式． （2）当加热3min时该液体沸腾，求该液体的沸点． 【解答】解：（1）设y与t之间的函数表达式为y＝kt+b（k、t为常数，且k≠0）． 将t＝0，y＝8和t＝10，y＝18代入y＝kt+b， 得， 解得， ∴y＝t+8． （2）3×60＝180（s）， 当t＝180时，y＝180+8＝188， ∴该液体的沸点是188℃． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若P为直线AB上一动点，△AOP的面积为6，求点P的坐标． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（2，0），B（0，4）分别代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4； （2）设P（t，﹣2t+4）， ∵△AOP的面积为6， ∴2×|﹣2t+4|＝6， 解得t＝﹣1或t＝5， ∴P点坐标为（﹣1，6）或（5，﹣6）． 22．如图所示，根据图中信息，解决下列问题． （1）求直线BP的解析式及点P的坐标； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）连接CB，求S△ACB． 【解答】解：（1）由题意，∵直线BP过（3，0），且直线BP为y2＝﹣x+m， ∴0＝﹣3+m， ∴m＝3， ∴y2＝﹣x+3． 把（0，1）代入y1＝x+n得：n＝1， ∴y1＝x+1． 联立方程组， ∴． ∴P（1，2）． （2）由题意得，y1＞y2时x的取值范围是y1＝x+1的图象在y2＝﹣x+3的上方部分对应的自变量取值范围， 又∵结合（1）可得一次函数y1＝x+1与y2＝﹣x+3的图象交于P（1，2）， ∴根据图象可知，y1＞y2时x的取值范围是x＞1． （3）连接BC，如图： 在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵B（3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， ∵C（0，1）， ∴S△ACB4×1＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第四章 一次函数 2. 认识一次函数 知识点预习 1. 一次函数的定义与形式 定义：若两个变量 x , y 的关系可表示为（k , b 为常数，），则称 y 是 x 的 一次函数。 特例：正比例函数：当时，（）。 核心特征：均匀变化——自变量 x每增加 1 单位，函数值 y的变化量固定 k个单位。 2. 一次函数的判定与解析 判定条件：关系式需为 y关于 x的一次整式（最高次数为 1）。 3. 实际情境中的一次函数模型 均匀变化现象：实例——漏水实验；线香燃烧的剩余长度 ；弹簧伸长；汽车行程问题；剩余油量等。 4. 总结 本节通过生活实例（漏水实验、线香燃烧、弹簧伸长、汽车行程、阶梯计价）揭示 一次函数的本质：均匀变化 的线性关系。 核心是掌握： 标准形式：（)，理解k和 b的实际意义。 正比例函数： 时的特例。 分段函数：解决阶梯计价问题（区间判断与表达式选择）。 需能根据实际问题建立函数模型，并应用解析式进行计算与预测，为后续学习一次函数图像与性质奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣2x B． C． D．y＝﹣2x+1 2．下列函数：①y；②y；③y＝3x；④y＝3x2﹣2．其中是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．若函数y＝（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 4．若y＝（m+1）x2﹣|m|+1是关于x的一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2 5．一次函数y＝kx+b的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的表达式是（　　） A．y＝2x+4 B．y＝2x﹣4 C．y＝﹣2x+4 D．y＝﹣2x﹣4 6．已知一次函数y＝ax+b中x和y的部分对应值如表所示： x ﹣2 ﹣1 0 2 2.5 y 6 4 2 ﹣2 ﹣3 那么方程ax+b＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 7．已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 8．一次函数y＝kx+b（k＜0）与y＝x+3交于点P（m，5），则关于x的方程kx+b＝x+3的解为（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝4 D．x＝5 9．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+1的图象相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 10．如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＞0；④方程kx+b＝x+a的解是x＝3，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题预习（24分） 11．函数y＝（m+2）x|m|﹣1+3是y关于x的一次函数，则m＝ 　 　 ． 12．当k＝　 　 时，关于x的一次函数y＝（k﹣2）x﹣4+k2又是正比例函数． 13．一次函数y＝mx+n（m为常数，m≠0）的图象如图所示，则关于x的方程mx+n＝0的解是　 　 ． 14．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点（﹣1，﹣2），则关于x的方程kx+b＝2x的解是 　 　 ． 15．一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝3的解为 　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线AB对应的函数表达式是　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．已知2y与x+1成正比例，且其图象过点（2，4），（m，6），求m的值． 18．已知函数y＝（m+3）x|m|﹣2+2m是一次函数，求m的值． 19．已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 20．某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间t/s 0 10 20 30 液体温度y/℃ 8 18 28 38 （1）兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足一次函数关系，求y与t之间的函数表达式． （2）当加热3min时该液体沸腾，求该液体的沸点． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若P为直线AB上一动点，△AOP的面积为6，求点P的坐标． 22．如图所示，根据图中信息，解决下列问题． （1）求直线BP的解析式及点P的坐标； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）连接CB，求S△ACB． 学科网（北京）股份有限公司 $$