4.2.2一次函数与正比例函数（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数的定义、关系及参数要求，通过弹簧长度与物体质量、汽车耗油量等实际问题导入，从具体情境抽象函数关系，衔接变量关系知识，为后续函数性质学习搭建支架。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光（抽象能力），通过辨析题和例题训练数学思维（推理意识），用规范表达式强化数学语言（模型意识）。如汽车刹车问题分析k、b意义，易错总结和解题支架助力教师教学，提升学生理解与应用能力。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 4.2.2一次函数与正比例函数 第四章 一次函数 北师大版八年级上册4.2.2 一次函数与正比例函数 练习题 【核心知识点回顾】 1. 一次函数定义 若两个变量$$x、y$$之间的对应关系可以表示成$$y=kx+b$$（$$k、b$$为常数，$$k eq0$$）的形式，则称$$y$$是$$x$$的一次函数。一次函数的核心特征是变量呈均匀变化，图象为一条直线。 2. 正比例函数定义 在一次函数$$y=kx+b$$中，当$$b=0$$时，函数变为$$y=kx$$（$$k$$为常数，$$k eq0$$），此时称$$y$$是$$x$$的正比例函数。 3. 两者关系（高频考点） 正比例函数一定是一次函数，是特殊的一次函数（常数项$$b=0$$）；但一次函数不一定是正比例函数（$$b eq0$$时不是）。 4. 关键参数要求 $$k eq0$$是核心前提，若$$k=0$$，式子变为$$y=b$$，为常函数，既不是一次函数，也不是正比例函数；自变量$$x$$的次数必须为1，不能是平方、分式、根式形式。 5. 函数特征 一次函数：图象是不经过原点的直线；正比例函数：图象是经过坐标原点的直线。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数属于正比例函数的是（） A. $$y=3x-1$$ B. $$y=3x$$ C. $$y=3x^2$$ D.$$y=\frac{3}{x}$$ 2. 关于一次函数和正比例函数的关系，说法正确的是（） A. 一次函数是正比例函数 B. 正比例函数是特殊的一次函数 C. 两者无关联 D. 一次函数一定过原点 3. 函数$$y=(m-2)x+3$$是一次函数，则$$m$$满足（） A. $$m eq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m eq0$$ D. 任意实数 4. 下列函数中，不是一次函数的是（） A. $$y=-x$$ B. $$y=2x+1$$ C. $$y=\frac{1}{x}+2$$ D. $$y=5-3x$$ 5. 正比例函数的图象一定经过的点是（） A. (1,0) B. (0,1) C. (0,0) D. (1,1) ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 一次函数的一般形式是________，正比例函数的一般形式是________。 2. 若$$y=2x+m-1$$是正比例函数，则$$m=$$________。 3. 函数$$y=(k+1)x$$是正比例函数，则$$k$$的取值范围是________。 4. 正比例函数一定是________函数，一次函数不一定是正比例函数。 5. 一次函数中，自变量$$x$$的次数为________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）判断下列函数是一次函数、正比例函数还是都不是： （1）$$y=5x$$ （2）$$y=-2x+3$$ （3）$$y=4x^2$$ （4）$$y=\frac{6}{x}$$ 2.（20分）已知函数$$y=(a-3)x^{|a|-2}+1$$是一次函数，求$$a$$的值。 3.（20分）已知函数$$y=(2k-4)x+k+2$$，分别求： （1）函数为正比例函数时$$k$$的值；（2）函数为一次函数时$$k$$的取值范围。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 填空题答案：1.$$y=kx+b(k eq0)$$、$$y=kx(k eq0)$$ 2.1 3.$$k eq-1$$ 4.一次 5.1 解答题解析 1. 解：（1）是一次函数，也是正比例函数；（2）是一次函数，不是正比例函数；（3）自变量次数为2，是二次函数，都不是；（4）是反比例函数，都不是。 2. 解：一次函数要求自变量次数为1，且系数不为0。列条件：$$|a|-2=1$$且$$a-3 eq0$$，解得$$a=-3$$。 3. 解：（1）正比例函数要求$$2k-4 eq0$$且常数项$$k+2=0$$，解得$$k=-2$$；（2）一次函数只需自变量系数不为0，即$$2k-4 eq0$$，得$$k eq2$$。 ### 易错知识总结 1. 判定一次函数必须满足：$$x$$次数为1、系数$$k eq0$$、无分式根式；2. 正比例函数双重条件：$$k eq0$$且$$b=0$$，缺一不可；3. 区分包含关系：正比例函数⊂一次函数；4. 切勿忽略$$k eq0$$的隐藏条件，是高频易错点。 通过阅读课本，学生会画正比例函数的图象，能够通过图象总结出正比例函数的性质 理解一次函数和正比例函数的概念，会判断一个函数是否是一次函数. 能根据已知条件确定一次函数的表达式. 问题 在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)的关系见下表： (1) 随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗? x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 是“均匀”的. 问题 在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)的关系见下表： (2) 写出y与x之间的关系式. x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 y与x之间的关系式为y=3+0.5x(x≥0). 知识点1 一次函数与正比例函数 思考 某辆汽车油箱中原有油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L. (1) 完成下表： 行使路程x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量y/L 0 4 8 12 24 16 20 知识点1 一次函数与正比例函数 思考 某辆汽车油箱中原有油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L. (2) 你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ y=0.08x(0≤x≤500). 知识点1 一次函数与正比例函数 思考 某辆汽车油箱中原有油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L. (3) 写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式. z=40-0.08x(0≤x≤500). 观察下面的三个函数关系式： (1) y=3+0.5x (2) y=0.08x (3) z=40－0.08x 知识点1 一次函数与正比例函数 讨论一下这三个函数关系式有什么共同点? 共同特点： (1) 都是含有两个变量的等式； (2) 变量的次数都是一次； (3) 自变量x的系数都不为0. 请你写出一个具有这种特点的关系式. 知识点1 一次函数与正比例函数 Q=40t+6（不唯一） 知识点1 一次函数与正比例函数 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k， b 是常数，且k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 注意：正比例函数是特殊的一次函数. 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 跟踪训练 下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数? (1) y=-8x； (2) y=； (3) y=5x2+6； (4) y=1-x； (5) y=； (6) y=2+2(x-1)； (7) y=； (8) y= . 解：(1)(4)(5)(6)(8)是一次函数， (1)(5)(6)是正比例函数. 知识点1 一次函数与正比例函数 一次函数：形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数. 正比例函数：形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数. 例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1) 汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的关系； 知识点1 一次函数与正比例函数 解：（1）由路程=速度×时间，得y=60x ， y是x的一次函数，也是x的正比例函数. 例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (2) 圆的面积y(单位：cm2)与它的半径x(单位：cm)之间的关系. 知识点1 一次函数与正比例函数 （2）由圆的面积公式，得y=πx2， y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. 例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (3) 某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，经过x h这个水池有水y m3. 知识点1 一次函数与正比例函数 （3）这个水池每时增加水5m3，x h增加水5x m3， 因而y=15+5x， y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. 思考 (1) 例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少?它们的实际意义是什么? （1）y=60x中k=60，b=0， k的实际意义是汽车的行驶速度， b的实际意义是汽车与出发地之间的距离； y=15+5x中k=5，b=15， k的实际意义是水池中每小时增加的水量， b的实际意义是水池内原有的水量. 知识点1 一次函数与正比例函数 (2) 一般地，k，b对一次函数y=kx+b有怎样的影响? 知识点1 一次函数与正比例函数 (2) 一般地，k决定y随x变化的快慢，b决定开始时y的值. 例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35 km/h. (1) 假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义； 知识点1 一次函数与正比例函数 例2 (1) 假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义； 解：(1) 刹车开始时汽车的速度为120km/h，每过1s汽车的速度减少35km/h，于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h， 所以y与t的关系式是y=-35t+120. 其中，k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹街车开始时汽车的速度. 知识点1 一次函数与正比例函数 例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少 35 km/h. (2) 求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间(结果精确到0.01s). (2) 汽车停止时速度y=0， 解方程0=-35t+120，得t=≈3.43. 因此，该汽车从刹车到停止所需的时间约为3.43s. 知识点1 一次函数与正比例函数 知识点1 一次函数的概念 1.下列函数：①y＝4x；②y＝－；③y＝；④y＝－4x＋5；⑤y＝2x2－4；⑥y＝kx＋b.其中一次函数的个数是(　　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 返回 C 基础提优题 2.［2026六安期末］已知函数y＝(m－1)x｜m｜＋5是一次函数，则m的值为(　　) A.－1　　 B.1　　 C.±1　　 D.2 返回 A 此题易忽略一次函数y＝kx＋b中而致错. 基础提优题 知识点2 正比例函数的概念 3.下列关系中，成正比例函数关系的是(　　) A.正方形的面积与边长 B.三角形的周长与边长 C.圆的面积与它的半径 D.速度一定时，路程与时间 返回 D 基础提优题 4.已知y＝(m－2)x＋｜m｜－2. (1)m满足什么条件时，y＝(m－2)x＋｜m｜－2是一次函数？ 返回 【解】由题意得m－2≠0，解得m≠2. 基础提优题 (2)m满足什么条件时，y＝(m－2)x＋｜m｜－2是正比例函数？ 返回 【解】由题意得｜m｜－2＝0，且m－2≠0，解得m＝－2. 基础提优题 返回 基础提优题 知识点3 根据实际问题列一次函数关系式 5. 已知汽车油箱内有油40 L，每行驶100 km耗油10 L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q(单位：L)与行驶路程s(单位：km)之间的函数表达式是(　　) A.Q＝40－　　 B.Q＝40＋ C.Q＝40－　　 D.Q＝40＋ 返回 C 基础提优题 6. 写出下列各题中x与y之间的函数关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)小红去商店买笔记本，每本笔记本2.5元，小红买笔记本所付的钱y(单位：元)与所买笔记本的本数x(单位：本)之间的关系； 返回 【解】由题意得y＝2.5x，y是x的一次函数，且是正比例函数. 综合应用题 (2)一辆汽车由北京驶往相距120 km的天津，它的平均速度是40 km/h，汽车距天津的路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)的关系. 返回 【解】由题意得y＝120－40x，y是x的一次函数，y不是x的正比例函数. 综合应用题 7.［2026上海期中］下列说法中正确的有(　　) ①y＝kx是正比例函数； ②如果y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，那么a＝±3； ③如果y与x＋2成正比例，那么y是x的正比例函数； ④如果y＝x2，那么y与x2成正比例. ⑤一次函数是正比例函数. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 A 综合应用题 8. 如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为(　　) A.y＝3x B.y＝4x C.y＝3x＋1 D.y＝4x＋1 返回 B 综合应用题 9. 定义［p，q］为一次函数y＝px＋q的特征数，即一次函数y＝2x＋1的特征数为［2，1］，若特征数为［t，t＋3］的一次函数为正比例函数，则t的值为　　　　. 返回 －3 综合应用题 一次函数 一次函数 正比例函数 列一次函数关系式 形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数 形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数 特例 b=0 (1)找等量关系； (2)用字母列出等式； (3)将等式变形成一次函数的一般形式 $