第22章 相似形 单元检测提升卷---2025-2026学年沪科版九年级上册数学

第22章 相似形单元检测提升卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列各组中的两个图形，一定相似的是（　　） A．有一个角对应相等的两个菱形 B．对应边成比例的两个多边形 C．两条对角线对应成比例的两个平行四边形 D．任意两个矩形 2.已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（　　） A．1cm B．10cm C．cm D．cm 3.若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（　　） A．cm B．2（1）cm C．4（1）cm D．6（1）cm 4.如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 5.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C．∠APB＝∠ABC D．∠ABP＝∠C 6.如图，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是位似图形，O为位似中心，ODOD1，则A1B1：AB为（　　） A．2：3 B．3：2 C．1：2 D．2：1 7.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（　　） A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线MN，交AC点D； ③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E； ④连接BD，BE． 下列说法错误的是（　　） A．AD＝DE B． C．BC2＝AC•CD D． 9.如图，矩形ABCD的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，若AB＝20，BC＝16，则小正方形的边长为（　　） A． B．5 C． D． 10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②DF＝DC；③△AEF∽△CAB；④S四边形CDEFS△ABF，其中正确的结论有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.已知△ABC∽△A1B1C1，AD、A1D1分别是△ABC，△A1B1C1的角平分线，BC＝6cm，B1C1＝4cm，AD＝4.8cm，则A1D1的长为　 　 cm． 12.如图，在正方形网格中的斜三角形：①△CDB；②△DEB；③△CEB．其中能与△ABC相似的是　　 （只填写序号）． 13.若，则k的值为 　 　 ． 14.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F．若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，记四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2． （1）若GC∥EF，则　　 ； （2）若，则的最大值＝　　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′． （1）在图中第一象限内画出符合要求的．△A′B′C′（不要求写画法）； （2）分别写出A'、B'、C'的坐标． 16.如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 18.如图，△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠ADE＝80°． （1）求证：△AED∽△ABC． （2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，在▱ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的动点，且∠DCF＝∠DAE． （1）求证：△DCF∽△DAE； （2）当AB＝2，AD＝4，是否存在CE＝DF，若存在请求出CE；若不存在，请说明理由． 20.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE、BE，∠ABE＝∠AED，． （1）求证：DE∥BC； （2）若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，求△BDE的面积． 六、（本题满分12分） 21.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2AB．点D为线段AC上一动点（不与点A，C重合），把线段BD绕点B顺时针旋转90°后并延长为原来的2倍得到线段BF，连接CF，DF． （1）求证：△ABD∽△CBF； （2）求证：CF⊥AC； （3）已知AB＝4，设AD＝x，在点D的运动过程中，△CDF的面积S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 七、（本题满分12分） 22.如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC． （1）求证：AB2＝AC•AE； （2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若，求的值． 八、（本题满分14分） 23.问题情境 如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AE⊥EF．则①∠BAE＝∠CEF；②△AEF∽△ABE（结论不需要证明）． 初步探究 （1）如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，EF⊥AE与直线CD交于点F．请证明：①∠BAE＝∠CEF；②△AEF∽△ABE． 结论运用 （2）在（1）的条件下， ①如图3，当AB＝2，AD平分∠EAF时，求AF的长； ②如图4，若EF与矩形外角∠DCC′的平分线交于点G，当A，D，G在同一条直线上时，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 相似形单元检测提升卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列各组中的两个图形，一定相似的是（　　） A．有一个角对应相等的两个菱形 B．对应边成比例的两个多边形 C．两条对角线对应成比例的两个平行四边形 D．任意两个矩形 【解答】解：A、有一个角对应相等，其他三个角一定对应相等，对应边成比例，所以这两个菱形一定相似，故本选项正确； B、对应边成比例的两个多边形对应角不一定相等，故本选项错误； C、两条对角线对应成比例的两个平行四边形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故本选项错误； D、任意两个矩形，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，故本选项错误． 故选：A． 2.已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（　　） A．1cm B．10cm C．cm D．cm 【解答】解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项， ∴a：b＝c：d ∴d ∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm， ∴d10cm ∴线段a，b，c的第四比例项d是10cm． 故选：B． 3.若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（　　） A．cm B．2（1）cm C．4（1）cm D．6（1）cm 【解答】解：根据黄金分割点的概念得：ACAB＝4（1）cm． 故选：C． 4.如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE＝BF，BD＝EF； ∵DE∥BC， ∴， ， ∵EF∥AB， ∴，， ∴， 故选：C． 5.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C．∠APB＝∠ABC D．∠ABP＝∠C 【解答】解：A、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意； B、当时， 又∵∠A＝∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项不符合题意； C、当∠APB＝∠ABC时， 又∵∠A＝∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项不符合题意； D、当∠ABP＝∠C时， 又∵∠A＝∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项不符合题意． 故选：A． 6.如图，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是位似图形，O为位似中心，ODOD1，则A1B1：AB为（　　） A．2：3 B．3：2 C．1：2 D．2：1 【解答】解：∵六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是位似图形， ∴六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，DE∥D′E′， ∴△ODE∽△OD1E1， ∴， ∴2：1， 故选：D． 7.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（　　） A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米 【解答】解：根据题意可构造相似三角形模型如图： 则其中AB为树高，EF为树影在第一级台阶上的影长，BD为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知BC即为树影在地上的全长； 延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF， ∴AG：GF＝AB：BC＝物高：影长＝1：0.5 ∴GF＝0.5AG 又∵GF＝GE+EF，BD＝GE ∴GF＝4.6 ∴AG＝9.2 ∴AB＝AG+GB＝9.5，即树高为9.5米． 故选：A． 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线MN，交AC点D； ③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E； ④连接BD，BE． 下列说法错误的是（　　） A．AD＝DE B． C．BC2＝AC•CD D． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）＝72°， 由题意得：BC＝DE，MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠DBA＝36°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°， ∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝72°， ∴∠CDB＝∠ACB＝72°， ∴BD＝BC， ∴AD＝DB＝BC＝DE， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB（180°﹣∠CDB）＝54°， ∴∠CBE＝∠DBE﹣∠DBC＝18°， ∴∠CBE∠A， ∵∠CBD＝∠A＝36°，∠DCB＝∠ACB， ∴△BCD∽△ACB， ∴， ∴BC2＝AC•CD， ∵△BCD是顶角为36°的等腰三角形， ∴△BCD是黄金三角形， ∴， ∴， ∴点C是DE是黄金分割点， ∴， 故A、B、C都不符合题意，D符合题意； 故选：D． 9.如图，矩形ABCD的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，若AB＝20，BC＝16，则小正方形的边长为（　　） A． B．5 C． D． 【解答】解：作GK⊥AB，垂足为K． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD． ∴∠BEG＝∠DGE． ∴∠AEH＝∠CGF． ∵5个小正方形大小相同， ∴EH＝GF． 又∠A＝∠C，∠AEH＝∠CGF， ∴△AEH≌△CGF（AAS）， ∴DE＝BG． 过点G作GK⊥AD于K，如图所示： ∴四边形BCGK是矩形． ∴BK＝CG＝AE，KG＝BC＝16． ∵∠AEH+∠KEG＝90°，∠KEG+∠KGE＝90°， ∴∠AEH＝∠KGE． ∵∠A＝∠EKG＝90°， ∴△AEH∽△KGE． ∴． ∴AEKG16＝4． ∴EK＝AB﹣AE﹣BK＝20﹣4﹣4＝12． 在Rt△KEG中，EG20． ∴小正方形的边长为20＝5． 故选：B． 10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②DF＝DC；③△AEF∽△CAB；④S四边形CDEFS△ABF，其中正确的结论有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵AEADBC， ∴， ∴CF＝2AF，故①正确； 如图，过D作DM∥BE交AC于N， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DEBC， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF＝DC，故②正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB，故③正确； 如图，连接CE， 由△AEF∽△CBF，可得 ， 设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s， ∴△ACE的面积为3s， ∵E是AD的中点， ∴△CDE的面积为3s， ∴四边形CDEF的面积为5s， ∴S四边形CDEFS△ABF，故④正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.已知△ABC∽△A1B1C1，AD、A1D1分别是△ABC，△A1B1C1的角平分线，BC＝6cm，B1C1＝4cm，AD＝4.8cm，则A1D1的长为　 　 cm． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AD、A1D1分别是△ABC，△A1B1C1的角平分线， ∴BC：B1C1＝AD：A1D1， ∵BC＝6cm，B1C1＝4cm，AD＝4.8cm， ∴6：4＝4.8：A1D1， ∴A1D1＝3.2（cm）． 故答案为：3.2． 12.如图，在正方形网格中的斜三角形：①△CDB；②△DEB；③△CEB．其中能与△ABC相似的是　　 （只填写序号）． 【解答】解：由题意可知：AB＝1，，， ∴△ABC的三边之比是， 同理：①△CDB的三边之比是； ∴△CDB与△ABC不相似，不符合题意； ②△DEB中，． ∴△DEB与△ABC相似，符合题意； ③△CEB中，． ∴△CEB与△ABC不相似，不符合题意， 故答案为：②． 13.若，则k的值为 　 　 ． 【解答】解：∵， ∴2b+2c＝ak，2a+2c＝bk，2a+2b＝ck， ∴4（a+b+c）＝（a+b+c）k， 当a+b+c≠0时，k＝4， 当a+b+c＝0时， k2， ∴k的值为4或﹣2． 故答案为：4或﹣2． 14.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连接AE，BD交于点F．若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，记四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2． （1）若GC∥EF，则　　 ； （2）若，则的最大值＝　　 ． 【解答】解：（1）如图，设AB＝CD＝AD＝a，则BDa． 又设BG＝b，则GF＝2BG＝2b， ∴BF＝BG+GF＝3b，DF＝BD﹣BFa﹣3b． ∵AB∥DC， ∴． 又∵DC＝AB， ∴． 又∵GC∥EF， ∴． ∴3b． ∴a＝2b． ∴． 故答案为：． （2）由题意，∵， ∴DE＝xa， ∴S△ADEAD×DExa2， ∵AB∥DC， ∴． 又∵DC＝AB， ∴x． ∴DF＝x•BF， ∴S△ABF•a2， ∵GF＝2BG， ∴S2＝S△ABGS△ABF， ∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG， ∴△ABG≌△CBG（SAS）． ∴S△ABG＝S△CBG， ∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2xa2﹣2， ∴3x2+3x+4＝﹣3（x）2． ∴当x时，的最大值为． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′． （1）在图中第一象限内画出符合要求的．△A′B′C′（不要求写画法）； （2）分别写出A'、B'、C'的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）A′（2，4），B′（6，2），C′（4，6）． 16.如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC． 【解答】证明：∵AD•AC＝AB•AE， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC． ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB∽△EAC． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA+∠APD+∠DPC＝180°，且∠APD＝60°， ∴∠BPA+∠DPC＝120°， ∵∠DPC+∠C+∠PDC＝180°， ∴∠DPC+∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD； （2）解：∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴CD， ∵△ABP∽△PCD， ∴， 设AB＝x，则PC＝x﹣1， ∴， ∴x＝3． 即AB＝3． ∴△ABC的边长为3． 18.如图，△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠ADE＝80°． （1）求证：△AED∽△ABC． （2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵∠A＝55°，∠B＝45°， ∴∠C＝80°， ∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C， ∴△AED∽△ABC； （2）解：由（1）得△AED∽△ABC， ∴， ∵AD＝4，BD＝6， ∴AB＝10， ∵AD＝4，AB＝10，AE＝5 ∴AC＝8． ∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，在▱ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的动点，且∠DCF＝∠DAE． （1）求证：△DCF∽△DAE； （2）当AB＝2，AD＝4，是否存在CE＝DF，若存在请求出CE；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠DCF＝∠DAE，∠CDF＝∠ADE， ∴△DCF∽△DAE． （2）解：由题意，∵△DCF∽△DAE， ∴． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝2． 设CE＝DF＝x， ∴DE＝DC﹣CE＝2﹣x． ∴． ∴x． ∴CE． 20.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE、BE，∠ABE＝∠AED，． （1）求证：DE∥BC； （2）若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，求△BDE的面积． 【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△AEB， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴DE∥BC； （2）解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2， ∵S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8， ∴（）2， ∴， ∴， ∴S△ADE：S△BDE＝1：2． ∴S△BDE＝2． 六、（本题满分12分） 21.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2AB．点D为线段AC上一动点（不与点A，C重合），把线段BD绕点B顺时针旋转90°后并延长为原来的2倍得到线段BF，连接CF，DF． （1）求证：△ABD∽△CBF； （2）求证：CF⊥AC； （3）已知AB＝4，设AD＝x，在点D的运动过程中，△CDF的面积S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：由旋转的性质可知：∠DBF＝90°， ∴∠ABC＝∠DBF， ∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBF﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBF， ∵， ∴△ABD∽△CBF； （2）证明：由（1）可知：△ABD∽△CBF， ∴∠BCF＝∠A， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACB＝90°， ∴CF⊥AC； （3）解：∵△ABD∽△CBF，AD＝x， ∴， ∴CF＝2x， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2AB＝8， 则AC4， ∴CD＝4x， ∵CF⊥AC， ∴S△CDF（4x）×2x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+20， ∵﹣1＜0， ∴当x＝2时，△CDF的面积S存在最大值，最大值是20． 七、（本题满分12分） 22.如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC． （1）求证：AB2＝AC•AE； （2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若，求的值． 【解答】（1）证明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AEB， ∴， ∴AB2＝AC•AE； （2）解：过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H， ∵△ABC∽△AEB， ∴， ∴设AC＝2a，AB＝3a， ∴， ∴AEa， ∴， ∵BD＝3CD， ∴设CD＝m，则BD＝3m， ∴BC＝CD+BD＝4m， ∴， ∴EB＝6m， ∵EH∥CD， ∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE， ∴△ACD∽△AEH， ∴， ∴EHm， ∵EH∥BD， ∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH， ∴△BDF∽△EHF， ∴， ∴EFBEm， ∴， ∴的值为． 八、（本题满分14分） 23.问题情境 如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AE⊥EF．则①∠BAE＝∠CEF；②△AEF∽△ABE（结论不需要证明）． 初步探究 （1）如图2，在矩形ABCD中，E是BC的中点，EF⊥AE与直线CD交于点F．请证明：①∠BAE＝∠CEF；②△AEF∽△ABE． 结论运用 （2）在（1）的条件下， ①如图3，当AB＝2，AD平分∠EAF时，求AF的长； ②如图4，若EF与矩形外角∠DCC′的平分线交于点G，当A，D，G在同一条直线上时，请直接写出的值． 【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AE与直线CD交于点F， ∴∠B＝∠C＝90°，∠AEF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠CEF， ∴∠BAE＝∠CEF； ②∵EF⊥AE与直线CD交于点F， ∴∠AEF＝∠B＝∠C＝90°， ∵由①得∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF， ∴， 在矩形ABCD中，E是BC的中点， 设AB＝x、BE＝CE＝y、AE＝a， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴且∠AEF＝∠B＝90°， ∴△AEF∽△ABE； （2）解：①∵AD平分∠EAF， ∴∠FAD＝∠DAE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠FAD＝∠AEB， ∵∠FDA＝∠B＝90°， ∴△ABE∽△FDA， 设BE＝EC＝x，则AD＝2x， ∴， ∴∠AFE＝30°， 由（1）得△AEF∽△ABE， ∴∠AFE＝∠AEB， ∴∠AFE＝∠AEB＝30°， ∴AE＝2AB＝4， ∴， ∴AF＝8． ②；理由如下： ∵∠ECF＝∠GDF＝90°，∠CFE＝∠DFG， ∴△ECF∽△GDF， 设AB＝CD＝x，BE＝EC＝y， ∵CG平分∠DCC′， ∴∠DCG＝∠GCC′＝45°， ∵AG∥BC′， ∴∠DGC＝∠GCC′＝45°， ∴DG＝DC＝x， ∴． ∵由（1）得△ABE∽△ECF， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴xy＝x2﹣y2， ∴， 设， ∴t＝1﹣t2， 解得：，（t2＜0，舍去）， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$