第22章 相似形单元检测基础卷---2025-2026学年沪科版九年级上册数学

第22章 相似形单元检测基础卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列四条线段为成比例线段的是（　　） A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B． C．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3 D． 2.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 3.如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么BD的长是（　　） A．8 B．12 C．16 D．4 5.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6 6.下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（　　） A．B．C．D． 7.已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是（　　） A．如果，那么C是线段AB的黄金分割点 B．如果，那么C是线段AB的黄金分割点 C．如果，那么C是线段AB的黄金分割点 D．如果，那么叫做黄金比 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A．14 B．7 C．6 D．5 9.如图，在平行四边形ABCD中，点F为AD上一点，且AF≠DF，连接CF并延长CF交BA的延长线于点E，连接BF，若∠EFA＝∠EBF，则图中相似三角形共有（　　） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 10.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF交CE于点O，点D是BC的中点，连接DE，DF，EF，下列结论： ①；②；③△EOF∽△COB；④DE＝DF；⑤△DEF为等边三角形．正确结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若，则　　 ． 12.如图，在▱ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AE：BE＝2：1，且BF＝2，则DF＝　　 ． 13.如图，东方明珠电视塔高468m，如果把塔身看作一条线段AC，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点，则AB的长为 　　 m．（精确到0.1m） 14.在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠CAB的角平分线，BI平分∠CBA交AD于I．问： （1）∠AIB＝　　 ； （2）若，BD＝4，则CD＝　　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，4）、B（2，2）、C（4，6）．以点O为位似中心，在第三象限内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2，写出点C1的坐标，求出△A1B1C1的面积． 16.如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知，如图，AC⊥BF于点C，DF⊥AB于点D，且D是AB的中点．求证：CD2＝DE•DF． 18.用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆，此方法可测量旗杆的高度．若人与标尺EF的水平距离CG＝20cm，人与旗杆AB的水平距离CH＝12.6m，标尺的长度EF＝22cm，根据测量结果，试求旗杆的高度． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝4，CE，求△ABC的边长． 20.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若BD＝1，BC＝3，求的值． 六、（本题满分12分） 21.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 七、（本题满分12分） 22.一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为2m，面积为1.5m2．现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． 八、（本题满分14分） 23.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在边BC上，满足∠BAE＝∠ACB．连接AE交BD于点F，过点F作FG∥BC交CD于点G． （1）求证：AF＝AD； （2）求证：△DFG∽△FBA； （3）若BE＝2EF，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 相似形单元检测基础卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列四条线段为成比例线段的是（　　） A．a＝10，b＝5，c＝4，d＝7 B． C．a＝8，b＝5，c＝4，d＝3 D． 【解答】解：A、从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意； B、从小到大排列，由于1，所以成比例，符合题意； C、从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意； D、从小到大排列，由于39，所以不成比例，不符合题意． 故选：B． 2.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，、 ∴△ABC与△A′B′C′的面积的比1：4． 故选：B． 3.如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴， ∵AC＝CG， ∴， 故A正确，不符合题意； ∵CD∥EF， ∴， ∵AC＝CG，AG＝FG， ∴FG＝2CG， ∴EG＝2DG， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AG＝FG， ∴BG＝EG， ∴BE＝2BG， ∵， ∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴， 故C错误，符合题意； ∵CD∥EF， ∴ ∵BG＝2DG，BE＝4DG， ∴DE＝3DG， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么BD的长是（　　） A．8 B．12 C．16 D．4 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBD＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABD+∠A＝90°，∠ADB＝∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝∠A， ∴△ABD∽△BCD， ∴， ∵△BCD和△ABD的面积比为9：16， ∴， ∵CD＝12， ∴BD＝16． 故选：C． 5.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6 【解答】解：∵D，E分别是OA，OB的中点， ∴DE是△OAB的中位线， ∴， ∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的， ∴△DEF∽△ABC， ∴（）2， 故选：B． 6.下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：由图可知，AB，BC＝2，AC， ∴三边之比为， A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，不符合题意； B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，符合题意； C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，不符合题意； D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为2：：，与已知图形之比不一样，不符合题意； 故选：B． 7.已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是（　　） A．如果，那么C是线段AB的黄金分割点 B．如果，那么C是线段AB的黄金分割点 C．如果，那么C是线段AB的黄金分割点 D．如果，那么叫做黄金比 【解答】解：根据黄金分割的定义：若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，且”可知A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意． 故选：D． 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A．14 B．7 C．6 D．5 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形， ∴∠MOE＝90°，∠FPN＝90°，EF＝x，MO＝3，PN＝4， ∵∠OME+∠OEM＝90°，∠PFN+∠PNF＝90°，∠CEF+∠CFE＝90°，∠CEF+∠OEM＝90°，∠CFE+∠PFN＝90°， ∴∠OME＝∠PFN＝∠CEF，∠OEM＝∠PNF＝∠CFE， ∴△OME∽△PFN， ∴OE：PN＝OM：PF， ∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4， ∴（x﹣3）：4＝3：（x﹣4）， 整理得：x2﹣7x＝0， 解得：x＝0或x＝7， 经检验，x＝7是方程的根， 故选：B． 9.如图，在平行四边形ABCD中，点F为AD上一点，且AF≠DF，连接CF并延长CF交BA的延长线于点E，连接BF，若∠EFA＝∠EBF，则图中相似三角形共有（　　） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△EAF∽△EBC，△EAF∽△CDF，∠BAD+∠ABC＝180°，∠AFB＝∠FBC， ∴△EBC∽△CDF， ∵∠EFA＝∠EBF，∠E＝∠E， ∴△EFA∽△EBF， ∴△EBF∽△ECB，△EBF∽△CFD， ∴∠EBC＝∠EFB， ∵∠EFB+∠CFB＝180°， ∴∠CFB＝∠BAF， ∴△CFB∽△BAF， ∴图中共有7对相似三角形， 故选：C． 10.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF交CE于点O，点D是BC的中点，连接DE，DF，EF，下列结论： ①；②；③△EOF∽△COB；④DE＝DF；⑤△DEF为等边三角形．正确结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴∠AEC＝∠BEC＝∠AFB＝∠BFC＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABF＝∠ACE＝30°， ∴∠FBC+∠ECB＝180°﹣∠A﹣∠ABF﹣∠ACE＝60°，， ∴，故①符合题意； ∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ACB， ∴，故②符合题意； ∵点D是BC的中点，∠BEC＝∠BFC＝90°， ∴DE＝BD＝CD＝DF，故④符合题意； ∴∠DEC＝∠DCE，∠DBF＝∠DFB， ∵∠BDE＝∠DEC+∠DCE＝2∠DCE，∠CDF＝∠DBF+∠DFB＝2∠DBF， ∴∠BDE+∠CDF＝2（∠DBF+∠DCE）＝2×60°＝120°， ∴∠EDF＝60°， ∴△DEF为等边三角形．故⑤符合题意； ∵点D是BC的中点，∠BEC＝∠BFC＝90°， ∴DE＝BD＝CD＝DF， ∴B，C，E，F在以D为圆心，DE为半径的圆上， ∴∠BCO＝∠EFO，∠FEO＝∠CBO， ∴△EOF∽△BOC，故③不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若，则　　 ． 【解答】解：∵， ∴， ∴11． 故答案为：． 12.如图，在▱ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AE：BE＝2：1，且BF＝2，则DF＝　　 ． 【解答】解：∵AE：BE＝2：1， ∴设AE＝2a，BE＝a，则AB＝3a， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3a，AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF， ∴， ∵BE＝a，CD＝3a，BF＝2， ∴， 解得：DF＝6， 故答案为：6． 13.如图，东方明珠电视塔高468m，如果把塔身看作一条线段AC，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点，则AB的长为 　　 m．（精确到0.1m） 【解答】解：ABAC≈468×0.618≈289.2（m）． 故答案为289.2． 14.在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠CAB的角平分线，BI平分∠CBA交AD于I．问： （1）∠AIB＝　　 ； （2）若，BD＝4，则CD＝　　 ． 【解答】解：（1）∵AD 是∠CAB的角平分线，BI 平分∠CBA， ∴∠IAB∠BAC，∠IBC∠ABC． ∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA ）＝180°（∠ABC+∠BAC ） ＝180°（180°﹣∠ACB ） ＝135°． 故答案为：135°． （2）如图，连接 IC． ∵AD是∠CAB 的角平分线，BI平分∠CBA， ∴CI 是∠ACB的角平分线． ∴∠BCI∠ACB＝45°． 又∠AIB＝135°， ∴∠BID＝45°＝∠BCI． 又∠IBD＝∠CBI， ∴△BDI∽△BIC． ∴． 又BI＝2，BD＝4， ∴BC＝7． ∴CD＝BC﹣BD＝7﹣4＝3． 故答案为：3． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，4）、B（2，2）、C（4，6）．以点O为位似中心，在第三象限内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2，写出点C1的坐标，求出△A1B1C1的面积． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求． 点C1的坐标是（﹣2，﹣3）； 2×2﹣21×21×1． 16.如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA． 【解答】证明：∵BD＝1，DC＝3， ∴BC＝BD+CD＝1+3＝4， ∵， ∴， ∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知，如图，AC⊥BF于点C，DF⊥AB于点D，且D是AB的中点．求证：CD2＝DE•DF． 【解答】证明：∵AC⊥BF，DF⊥AB， ∴∠FCE＝90°，∠EDA＝90°， ∵∠AED＝∠FEC， ∴∠A＝∠F， ∴∠A+∠B＝∠F+∠B＝90°， ∴∠ADE＝∠BDF＝90°， ∴△ADE∽△FDB， ∴， 且D为AB的中点， ∴CD＝AD＝BD， ∴CD2＝DE•DF． 18.用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆，此方法可测量旗杆的高度．若人与标尺EF的水平距离CG＝20cm，人与旗杆AB的水平距离CH＝12.6m，标尺的长度EF＝22cm，根据测量结果，试求旗杆的高度． 【解答】解：由题意可知EF∥AB， ∴△ABC∽△EFC，△AHC∽△EGC， ∴，， ∴， ∵CG＝20cm，CH＝12.6m，EF＝22cm，则， ∴AB＝13.86m， 即：旗杆的高度为13.86m． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝4，CE，求△ABC的边长． 【解答】证明（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC； ∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣3； ∴∠BAD+∠ADB＝120° ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝120°， ∴∠DAB＝∠EDC， 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴， ∵BD＝4，CE， ∴， 解得AB＝6． 20.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若BD＝1，BC＝3，求的值． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE． ∴∠AEB＝∠ADC． ∴△ABE∽△ACD． （2）解：∵△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE＝BD＝1，BC＝3， ∴CD＝2， ∴． 六、（本题满分12分） 21.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝6cm，∠BAD＝90°， AM＝t cm，AN＝6﹣2t（cm）， ∴S△AMNAN•AM（6﹣2t）×t＝﹣（t）2（0≤t≤3）， 依题意得：﹣（t）23×6， t2﹣3t+2＝0， t1＝2，t2＝1． 答：经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的； （2）设运动时间为t秒， 由题意得DN＝2t（cm），AN＝（6﹣2t）（cm），AM＝t（cm）， 若△NMA∽△ACD， 则有AD：AN＝CD：AM，即6：（6﹣2t）＝3：t， 解得t＝1.5， 若△MNA∽△ACD 则有AD：AM＝CD：AN，即6：t＝3：（6﹣2t）， 解得t＝2.4， 答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似． 七、（本题满分12分） 22.一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为2m，面积为1.5m2．现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． 【解答】解：∵直角三角形木板的一条直角边AC长为2m，面积为1.5m2， ∴2×BC＝1.5， ∴BC＝1.5m，AB＝2.5m， 在甲同学的加工方法图①中，设正方形的边长为y m， ∵四边形CDEF是正方形， ∴DE∥CB， ∴△ADE∽△ACB， ∴，即：， 解得y（m）， 即正方形CDEF的边长为m； 在乙同学的加工方法图②中，过点C作CG⊥AB于点G，交MN于K，则CK⊥MN． Rt△ABC中，AB边上的高CG1.2（m）． 设正方形的边长为x m， ∵四边形MNPQ是正方形， ∴MN∥AB， ∴△CMN∽△CAB， ∴，即， 解得：x（m）， 即正方形CDEF的边长为m． ∵， ∴甲的方法符合要求． 八、（本题满分14分） 23.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在边BC上，满足∠BAE＝∠ACB．连接AE交BD于点F，过点F作FG∥BC交CD于点G． （1）求证：AF＝AD； （2）求证：△DFG∽△FBA； （3）若BE＝2EF，求的值． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵FG∥BC， ∴∠FGA＝∠ACB， ∵∠BAE＝∠ACB， ∴∠BAE＝∠ACB＝∠FGA， ∵∠AFD＝∠BAE+∠ABD，∠ADB＝∠CBD+∠ACB， ∴∠AFD＝∠ADB， ∴AF＝AD； （2）证明：∵FG∥BC， ∴∠CBD＝∠DFG， ∴∠ABD＝∠DFG，∠BAE＝∠FGD， ∴△DFG∽△FBA； （3）∵∠BFE＝∠AFD＝∠ADF，∠ABD＝∠EBD， ∴△BEF∽△BAD， ∴， 又由（1）可得AD＝AF， ∴． 由（2）知△DFG∽△FBA， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$