精品解析： 辽宁省丹东市凤城市2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省丹东市凤城市七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项C的图形，能够找到一条直线，使图形沿直线对折后能够完全重合，是轴对称图形， 故选C． 2. 雾是由悬浮在大气中微小液滴构成的气溶胶，雾滴的直径多为0.000004m~0.00003m．其中，0.000004用科学记数法表示为（ ） A. 4×106 B. 4×107 C. 4×10-6 D. 4×10-7 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.000004=4×10-6． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则．包括幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方及同底数幂相除，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】选项A：根据幂乘方法则，，故，计算正确． 选项B：根据同底数幂相乘法则，，故，但选项结果为，明显错误． 选项C：根据积的乘方法则，，故，但选项仅对平方，未对平方，错误． 选项D：根据同底数幂相除法则，，故，但选项结果为，错误． 故选：A． 4. 如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．求出，根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：， ， 即， A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．， ， ，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质以及即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选B． 6. 赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课时间，于是就加快了车速，如图所示的四个图象中（S为距离，t为时间），符合以上情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，整个过程分为三段，分别分析三段过程即可得出答案． 【详解】首先一开始以某一速度行进，图象应该是一条逐渐向上的直线，而后停下来修车，图象应该是平行于x轴的直线，之后加速也是一条逐渐向上的直线，只不过比第一段更陡，所以B选项符合， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图象，读懂题意分析出每一段过程中的图象是解题的关键． 7. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：； 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， ∴， 解得． 故选C ． 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 【详解】解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 10. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意易得，，将其整理后易得，，将代入中解得的值，继而求得的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得：，， 则，， 那么， 因此， 整理得：， 则， 那么， 则， ， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论：当这个的角为顶角时，当这个的角为底角时，根据三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意知，分两种情况： 当这个角为顶角时，则底角为； 当这个的角为底角时，则另一底角也为． 故答案为：或． 12. 若，，则_______________． 【答案】##0.072 【解析】 【分析】根据同底数幂除法和幂的乘方的逆运算计算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂除法和幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 13. 七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】图形①即为四边形，计算与正方形面积的比解题即可． 【详解】解：∵①的面积即四边形的面积，是的面积的一半，即为正方形面积的， 故答案为：． 【点睛】本题考查的几何概率，掌握几何概率即面积比是解题的关键． 14. 图为边长分别为、的正方形纸片、，以及长为、宽为的长方形纸片，现将一张卡片放在卡片的内部得图，将一张卡片和一张卡片并列放置后构造新的正方形得图若图和图中阴影部分的面积分别为和，求图中新正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据题意可得，，根据求出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图阴影部分可以看作大正方形与两个小正方形的面积差，即，即， 图和图中阴影部分的面积分别为和， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】设点的运动速度为，则，，，由于，则当，时，根据“”判断，即，；当，时，根据“”判断，即，，然后分别解方程求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 当，时，根据“”判断， 即，，解得，； 当，时，根据“”判断， 即，，解得，， 综上所述，点的运动速度为1或． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）利用整式乘法公式进行计算：． 【答案】（1）；（2） ． 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则解题的关键． （1）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则化简各项后，再算加减即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. 计算：先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和整式乘法计算括号内的，再根据多项式除以单项式法则计算，最后将数值代入计算即可． 【详解】 ， 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的计算法则和乘法公式是解题的关键． 18. 阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，括号中填写依据． 已知：如图，在中，，且于点B．交的延长线于点E． 求证：． 证明：∵（已知） ∴（　　） ∵（已知） ∴___________（两直线平行，内错角相等） ∴___________（___________） ∴平分（　　） ∵，___________（已知） ∴（　　） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质及角平分线的性质依次填空解答． 【详解】证明： ∵（已知）， ∴（等边对等角） ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） ∴平分（角平分线的定义） ∵，（已知） ∴（角分线上的点到角两边的距离相等）． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 19. 某书城为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． （1）甲顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得购书券的概率； （2）乙顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得元购书券的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率．根据概率公式直接求解即可； （2）用红色区域的份数除以总份数即可得出获得元购书券的概率． 【小问1详解】 解：∵转盘平均分成份，共有种等可能的情况， 其中红色占份，黄色占份，绿色占份， ∴任意转动一次转盘获得购书券的概率是； 【小问2详解】 ∵转盘平均分成份，共有种等可能的情况，其中红色占份， ∴他获得元购书券的概率是． 【点睛】此题考查了概率公式，解决本题的关键是理解题意并熟练运用概率公式． 20. 如图，在四边形中，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）结合（1）可得，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴． 21. 枣庄某公交车每天的支出费用为元，每天的乘车人数（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： （人） … … （元） … … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）______是自变量； （2）观察表中数据可知，当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损； （3）请写出公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：______； （4）当一天乘客人数为多少人时，利润是元？ 【答案】（1）每天的乘车人数 （2） （3） （4）乘车人数为人时，利润为元 【解析】 【分析】（1）在变化过程中，哪个变量是随着哪个交量的变化而变化的，从而确定自变量； （2）由表中数据可知，当时，，当时， ，进行解答即可； （3）由表中数据可知，当乘坐人数为人时，利润为元，每增加人，利润就增加元，然后列出关系式即可解答； （4）把代入（3）中的关系式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：在这个变化关系中，自变量是：每天的乘车人数． 故答案为：每天的乘车人数． 【小问2详解】 观察表中数据可知，当时，，当时， ， ∴当乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损． 故答案为：． 【小问3详解】 由题意得：， ∴公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：． 故答案为：； 【小问4详解】 把代入，得： ， 解得：． 答：当乘车人数为人时，利润为元． 【点睛】本题考查函数的意义，理解两个变量的变化关系和变化趋势，会用表格、关系式表示函数，掌握函数的表示方法．理解表格中两个变量的变化关系是解答的关键． 22. 一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离y（千米）随时间t（小时）的变化的图象．图象上的点A表示货船当日顺流航行到达丙港． （1）根据图象回答下列问题：货船在乙港停留的时间为 　 　小时，货船在静水中的速度为 　 　千米/时； （2）m＝　 　，n＝　 　； （3）货船当日顺流航行至丙港时，船上一救生圈不慎落入水中随水漂流，该货船能否在返航的途中找到救生圈？若能，请求出救生圈在水中漂流的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）1，24；（2）8，10；（3）该货船能在返航的途中找到救生圈，救生圈在水中漂流的时间为小时 【解析】 【分析】（1）根据函数图像即可求出货船在乙港停留1小时，然后求出、，即可； （2）先求出千米/小时，进而即可求解； （3）由图像可知：救生圈在掉落至货船返航时的顺水漂流时间为3小时，漂流距离为24千米，再求出货船返航的途中和救生圈的相遇时间，即可求解． 【详解】解：（1）由图像可知：时间3—4小时段，货船距离乙港的距离为0， ∴货船在乙港停留1小时， ∵（千米/小时），（千米/小时）， ∴=32-8=24（千米/小时）， 故答案是：1，24； （2）∵A、B两点的纵坐标相同，在图像上都是离开乙港64千米， ∴B点表示货船从乙港逆流向甲港时，距离乙港64千米， ∵（千米/小时）， ∴64÷16=4（小时）， ∴m=4+4=8， ∵96÷16=6（小时）， ∴n=4+6=10， 故答案是：8，10； （3）由图像可知：救生圈在掉落至货船返航时的顺水漂流时间为3小时，漂流距离为8×3=24（千米）， ∴＜6， ∴+3=， ∴该货船能在返航的途中找到救生圈，救生圈在水中漂流的时间为小时． 【点睛】本题主要考查函数图像与实际问题，理解函数图像上点的坐标意义，求出、和是解题的关键． 23. 【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①与的位置关系为：________； ②线段、、之间的数量关系为：________； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） ①. 平行 ②. （3）有最小值，5 【解析】 【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明； （2）①由（1）得，得出，，，则； ②因为，，所以； （3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题． 【小问1详解】 证明：∵和是等边三角形， ∴，， ， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 平行，，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 有最小值，理由如下： 如图，在射线上取一点，使得，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形内角和为，可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即点E在的角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，， 即当点E与点C重合，时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为5． 【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年辽宁省丹东市凤城市七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 雾是由悬浮在大气中微小液滴构成的气溶胶，雾滴的直径多为0.000004m~0.00003m．其中，0.000004用科学记数法表示为（ ） A. 4×106 B. 4×107 C. 4×10-6 D. 4×10-7 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（    ） A. B. C. D. 5. 一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（ ） A B. C. D. 6. 赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课时间，于是就加快了车速，如图所示的四个图象中（S为距离，t为时间），符合以上情况的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 9. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是______． 12. 若，，则_______________． 13. 七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是___________． 14. 图为边长分别为、正方形纸片、，以及长为、宽为的长方形纸片，现将一张卡片放在卡片的内部得图，将一张卡片和一张卡片并列放置后构造新的正方形得图若图和图中阴影部分的面积分别为和，求图中新正方形的边长为______． 15. 如图，在四边形中，，，，点E在线段上以速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 （1）计算：； （2）利用整式乘法公式进行计算：． 17. 计算：先化简，再求值：，其中，． 18. 阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据． 已知：如图，在中，，且于点B．交的延长线于点E． 求证：． 证明：∵（已知） ∴（　　） ∵（已知） ∴___________（两直线平行，内错角相等） ∴___________（___________） ∴平分（　　） ∵，___________（已知） ∴（　　） 19. 某书城为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． （1）甲顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得购书券的概率； （2）乙顾客购书元，可转动一次转盘，求他获得元购书券的概率． 20. 如图，在四边形中，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 枣庄某公交车每天的支出费用为元，每天的乘车人数（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： （人） … … （元） … … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）______是自变量； （2）观察表中数据可知，当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损； （3）请写出公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：______； （4）当一天乘客人数为多少人时，利润是元？ 22. 一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离y（千米）随时间t（小时）的变化的图象．图象上的点A表示货船当日顺流航行到达丙港． （1）根据图象回答下列问题：货船在乙港停留的时间为 　 　小时，货船在静水中的速度为 　 　千米/时； （2）m＝　 　，n＝　 　； （3）货船当日顺流航行至丙港时，船上一救生圈不慎落入水中随水漂流，该货船能否在返航的途中找到救生圈？若能，请求出救生圈在水中漂流的时间；若不能，请说明理由． 23. 【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①与的位置关系为：________； ②线段、、之间的数量关系为：________； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$