精品解析：山东省聊城市阳谷县实验中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年阳谷县实验中学八年级数学（上） 第二次月考测试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B. 不是轴对称图形，不符合题意； C. 是轴对称图形，符合题意； D. 不是轴对称图形，不符合题意 故选：C． 2. 如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（ ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带①④去 D. 带①③去 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由①②可确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①②能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以A选项不符合题意； 由②③只能确定原三角形的一个角，则带碎片②③不能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以B选项符合题意； 由①④能确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①④能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以C选项不符合题意； 由①③能确定原三角形的三个角三条边，则带碎片①③能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选C． 4. 已知线段，在的延长线上取一点，使，则线段与线段之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，因为CA=3AB，则CB=CA+AB=4AB，故线段CA与线段CB之比可求． 【详解】如图所示: ∵CA=3AB， ∴CB=CA+AB=4AB， ∴CA:CB=3:4. 故选A. 【点睛】本题考查了线段长短的比较，解题的关键是灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系. 5. 如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连接，延长交于D， ， ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，， ， 故选：A． 6. 如图，，则（ ）度． A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角和性质的应用． 已知，则可根据等腰三角形的性质得到几组相等的角，从而可推出与之间的关系，再根据三角形外角的性质即可求得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：B． 7. 若把分式（a、b均不为0且）中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】将分式中的a、b分别扩大为原来的3倍，代入计算后与原式比较即可确定变化情况 题目主要考查分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：原分式为， 将、均扩大为原来的3倍，即替换为和，得到新分式： 化简为： ∴分式的值扩大为原来的3倍， 故选B 8. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握分子分母不含公因式的分式叫做最简分式成为解题的关键． 根据最简分式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、 ，不是最简分式，不符合题意； B、 ，是最简分式，符合题意； C、 ，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意． 故选B． 9. 若，则A、B的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 10. 从2024年，阳谷县政府工作报告明确提出，打造“千年古城”多层次户外休闲步道体系建设，需要铺设一段全长为10公里的步道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x公里绿道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天铺设公里绿道，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加，且原计划每天铺设x公里绿道， ∴实际每天铺设公里绿道． 根据题意得： 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为0的条件，掌握分式为零的条件为分子为0、分母不为0是解题的关键． 分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴或，且， ∴. 故答案为：． 12. 若，则分式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．根据分式基本性质，分子和分母同时除以可得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 13. 已知为整式，若计算的结果为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，故，从而．本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故答案为： 14. 若关于x的方程有增根，则的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．解题的关键是掌握关于增根问题解决的步骤：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， ∴， 解得：， ∴的值是． 故答案为：． 15. 如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是__________． 【答案】##5厘米 【解析】 【分析】此题主要考查轴对称--最短路线问题，设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，分别交于点M、N，连接、、、、． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值， 故答案为：． 16. 如图，，过上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，……的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为，……．观察图中的规律，求出第11个黑色梯形的面积______． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，分别求出，得到后一个图形比前一个图形的面积多8，进而得到，求解即可。 【详解】解：∵，过上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，……的点作的垂线与相交， ∴构成的三角形均为等腰直角三角形，阴影部分均为直角梯形， ∴， ， ， …， 第n个梯形面积为：， ∴． 答案为：84． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）由，两边加上，得到，利用即可得证． （2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 18. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，．若的周长为，的周长为．求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质得，由三角形周长，即可求解；能根据性质进行线段转换是解题的关键． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， 是边的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 故线段的长． 19. 分式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，再运算乘除，化简即可作答； （2）先通分括号内，再运算除法，化简即可作答； （3）先通分括号内，再运算除法，化简即可作答； （4）先运算除法，再运算减法，化简即可作答； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同乘，化为一元一次方程，然后再解方程，最后检验即可； （2）方程两边同乘，化为一元一次方程，然后再解方程，最后检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 方程两边同乘，得 ， 解得， 当时，， ∴不是原方程的解， 即原方程无解． 21. （1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，请从、0、3中选取合适的x的值代入． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减运算以及乘除法运算法则进行化简，然后将x的值代入即可求出原式答案． （2）先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出x的值，代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， ∵，， ∴， ∴从、0、3中选取作为x的值， ∴原式． 22. （1）已知，求代数式的值． （2）已知关于的分式方程． 当时，求这个分式方程的解； 若此分式方程无解，求的值． 【答案】（）；（）；或． 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，解分式方程，分式方程无解问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，，，然后代入即可求解． （）把代入分式方程，去分母将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； 将分式方程化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴设，，， ∴； （）当时，， ， 检验：当时， ∴分式方程的解为； ， ∵此分式方程无解， ∴当，即时，此方程无解，即分式方程无解； 当，即时， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：； 综上可得：或． 23. 列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 【答案】李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行千米、千米 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据“路程速度时间”这一等量关系，列出方程解决即可． 【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、千米． 24. 【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点B在线段上，过点A作于点E，过点C作于点F，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： （1）如图①，请证明； （2）如图②，在平面直角坐标系中，，过点A作，使，请直接写出点B的坐标． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵是等腰直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）点B的坐标为； （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）由证明即可； （2）如图②，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，同（1）得，则，求出，即可解答； （3）分三种情况，①当时，；②当时，；③当∠时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 【小问3详解】 解：第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分以下三种情况： ①如图③，当时，，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ②如图④，当时，，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ③如图⑤，当∠时，，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的平与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行线的性质、分类讨论等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； （2）若a，b满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【小问1详解】 解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； 【小问2详解】 解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年阳谷县实验中学八年级数学（上） 第二次月考测试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（ ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带①④去 D. 带①③去 3. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知线段，在的延长线上取一点，使，则线段与线段之比为（　　） A. B. C. D. 5. 如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，，则（ ）度． A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7. 若把分式（a、b均不为0且）中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变 8. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则A、B的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 从2024年，阳谷县政府工作报告明确提出，打造“千年古城”多层次户外休闲步道体系建设，需要铺设一段全长为10公里的步道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x公里绿道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若分式的值为0，则的值为______． 12. 若，则分式的值为______． 13. 已知为整式，若计算的结果为，则_____． 14. 若关于x的方程有增根，则的值是_________． 15. 如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是__________． 16. 如图，，过上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，……的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为，……．观察图中的规律，求出第11个黑色梯形的面积______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 18. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，．若的周长为，的周长为．求线段的长． 19. 分式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 解分式方程： （1）； （2）； 21. （1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，请从、0、3中选取合适的x的值代入． 22. （1）已知，求代数式的值． （2）已知关于的分式方程． 当时，求这个分式方程的解； 若此分式方程无解，求的值． 23. 列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 24. 【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点B在线段上，过点A作于点E，过点C作于点F，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： （1）如图①，请证明； （2）如图②，在平面直角坐标系中，，过点A作，使，请直接写出点B的坐标． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 25. 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； （2）若a，b满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $