精品解析：河北省保定市易县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

河北省保定市易县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，这是一个由边长均为1的正方形组成的4×1网格，其中长度为的线段是（　　） A. B. C. D. 4. 将一菱形ABCD的对角线AC按照如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数，点C表示数6．若的长为6，则该菱形的边长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，这是嘉嘉同学在证明一四边形是平行四边形时的不完整推理过程，为了使嘉嘉的推理成立，需在括号中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） 如图，∵， ∴． 又∵（　　）， ∴四边形是平行四边形． A. B. C. D. 6. 已知下列四边形都是平行四边形，根据各四边形中所给定的标识的数据，能判断该四边形是菱形的是（　　） A. B. C. D. 7. 某兴趣小组成员要设计一个正方形棋盘，通过了解，该正方形棋盘板材的成本y（单位：元）与该正方形的边长x（单位：厘米）成正比．当时，．若该小组成员购买该种类板材的成本为24元，则其边长为（　　） A 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 已知一次函数图象上两点，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 9. 某实验学校为了促进学校发展和提升教职工的幸福感，将学校制定的各项制度设计成问卷进行调查研究，对学校100名教职工进行了问卷调查，并将整体评价的调查结果绘制成如图完整的条形统计图．若将整体评价中的“满意”“一般”“不满意”分别赋分为5分、3分、1分，则该学校此次调查中关于整体评价的中位数和平均数分别为（　　） A. 5，5 B. 5，3 C. 4，5 D. 5，4 10. 在学习了《平行四边形》这一章节后，嘉嘉针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，她让同桌琪琪在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A. ①：有一个角是直角 B. ③：对边相等 C. ②：有一组邻边相等 D. ④：对角线相等 11. 如图，小亮同学每天早晨都要在小区后面的一个广场上锻炼身体．某天他绕着一个呈扇形轮廓的场地（如图）匀速跑步，下列函数图象能近似刻画小亮离出发点P的距离y与时间x之间关系的是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A. 结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B. 结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C 结论Ⅰ，Ⅱ都对 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都错 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 14. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.9环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是___． 15. 交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是______．（结果保留根号） 16. 如图，在正方形中，E为边的中点，连接，F为的中点，G为的中点，连接．若，则_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为米，为米． （1）梯子的长为______米； （2）如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底端也外移米吗？请说明理由． 19. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． （1）求证：四边形是矩形． （2）若还满足，则四边形的形状为 ． 20. 当前全球各国都高度重视对人形机器人的研究，并努力提升其操作性和便利性．某公司设计了一款机器人，并让该款机器人与人进行了一次比赛，机器人和人对同一动作各操作10次，测试成绩（百分制）如下． 表一： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 机器人 96 91 89 89 89 95 89 91 94 95 人 82 80 90 95 92 71 83 95 99 95 表二： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 a 91 c 7.56 人 88.2 b 95 70.16 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空： ， ， ． （2）根据以上信息，请你分析机器人和人的操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 21. 如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的解析式． （2）将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 22. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点E；②分别以点B，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，连接并延长交于点F． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，求四边形的面积． 23. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 24. 综合与探究 问题情境：四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，点，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图1，E为的中点，直线l经过点E，与坐标轴交于点，N． ①点E的坐标为 ． ②直接利用（2）①中结论，求直线l的函数解析式和点N的坐标． （3）如图2，P为线段上的一动点，过点P作直线轴，交于点Q．设，，直接写出n与m之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省保定市易县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，判定最简二次根式等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式的形式． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数是整数，且不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数为，即，分母含非整数，可化为，不符合最简条件，故不符合题意； 选项B：，被开方数是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简条件，故符合题意； 选项C：，被开方数是完全平方数（），可化简为，不符合最简条件，故不符合题意； 选项D：，被开方数，其中是平方数，可化简为，不符合最简条件，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，二次根式的加、减、乘、除运算，解题的关键是熟练掌握各运算的法则． 利用二次根式的加、减、乘、除运算法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A选项：（合并同类二次根式，系数相减），结果不等于3，故错误，不符合题意； B选项：与不是同类二次根式，无法直接相加，，故错误，不符合题意； C选项：（分母有理化后结果），不等于，故错误，不符合题意； D选项：（二次根式乘法法则），运算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，这是一个由边长均为1的正方形组成的4×1网格，其中长度为的线段是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，正方形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理分别求出，根据题意判断即可． 【详解】解：如图： 由正方形可得， 由勾股定理得：，， ， ， 则长度为的线段是， 故选：C． 4. 将一菱形ABCD的对角线AC按照如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数，点C表示数6．若的长为6，则该菱形的边长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查数轴、菱形的性质、勾股定理等知识，连接交于点F，正确地求出的长和的长是解题的关键． 根据坐标求出的长度，利用菱形的性质和勾股定理即可求出菱形的边长． 【详解】解：连接交于点F， ∵点A，点C都在数轴上，点A表示数，点C表示数6， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ， ∴该菱形的边长为5， 故选：A． 5. 如图，这是嘉嘉同学在证明一四边形是平行四边形时的不完整推理过程，为了使嘉嘉的推理成立，需在括号中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） 如图，∵， ∴． 又∵（　　）， ∴四边形是平行四边形． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判断，正确理解和应用平行四边形的定义和判定定理是解题的关键． 由，求得，因为，所以，则与不平行，可知四边形不是平行四边形，可判断A不符合题意；因为，所以四边形是平行四边形或等腰梯形，可知四边形不一定是平行四边形，可判断B不符合题意；因为，所以，可判断C不符合题意；由，，可证明四边形是平行四边形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不平行， ∴四边形不是平行四边形，故A不符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形或等腰梯形， ∴四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； ∵， ∴， ∴与不平行， ∴四边形不是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形，故D符合题意， 故选：D． 6. 已知下列四边形都是平行四边形，根据各四边形中所给定标识的数据，能判断该四边形是菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据内错角相等，只能判定平行四边形的一组对边平行，故不符合题意； B.根据三角形的内角和定理得到另一个角等于，故能得到平行四边形的一组邻边相等，于是得到平行四边形是菱形，故符合题意； C.根据平行四边形的一条边等于对角线的一半，不能判定平行四边形是菱形，故不符合题意； D.平行四边形的对角线互相平分，故不能判定平行四边形是菱形，故不符合题意． 故选：B． 7. 某兴趣小组成员要设计一个正方形棋盘，通过了解，该正方形棋盘板材的成本y（单位：元）与该正方形的边长x（单位：厘米）成正比．当时，．若该小组成员购买该种类板材的成本为24元，则其边长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，理解题意求出正比例函数解析式是解题的关键． 先由题意设，用待定系数法求出k的值，再将代入解析式计算即可得到边长． 【详解】解：根据题意设， 当时，， ， ， 当时，，解得， 因此，边长为4厘米． 故选C． 8. 已知一次函数的图象上两点，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“随的增大而增大；随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，可求出． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， 又， ， 故选：A． 9. 某实验学校为了促进学校发展和提升教职工的幸福感，将学校制定的各项制度设计成问卷进行调查研究，对学校100名教职工进行了问卷调查，并将整体评价的调查结果绘制成如图完整的条形统计图．若将整体评价中的“满意”“一般”“不满意”分别赋分为5分、3分、1分，则该学校此次调查中关于整体评价的中位数和平均数分别为（　　） A. 5，5 B. 5，3 C. 4，5 D. 5，4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了中位数，平均数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键． 根据中位数和平均数的概念求解即可． 【详解】解：∵对学校100名教职工进行了问卷调查， ∴中位数为第50名和第51名分数的平均数， ∴该学校此次调查中关于整体评价的中位数是（分）， 平均数为：（分）， 故选：D． 10. 在学习了《平行四边形》这一章节后，嘉嘉针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，她让同桌琪琪在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A. ①：有一个角是直角 B. ③：对边相等 C. ②：有一组邻边相等 D. ④：对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，特殊四边形的判定解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 根据特殊四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A：有一个角是直角的平行四边形是矩形，①正确； B：应该是邻边相等的矩形是正方形，③错误； C：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②正确； D：对角线相等的菱形是正方形，④正确； 故选：B． 11. 如图，小亮同学每天早晨都要在小区后面的一个广场上锻炼身体．某天他绕着一个呈扇形轮廓的场地（如图）匀速跑步，下列函数图象能近似刻画小亮离出发点P的距离y与时间x之间关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了函数随自变量的变化而变化的问题，能够结合图形正确分析距离y与时间x之间的大小变化关系，从而正确选择对应的图象． 当小亮在半径上运动时，离出发点距离越来越远；在弧上运动时，距离不变；在上运动时，越来越近． 【详解】解：如图所示： 当小亮在半径上运动时，离出发点距离越来越远； 在弧上运动时，距离不变； 在上运动时，越来越近． 故选：C． 12. 如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A. 结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B. 结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C. 结论Ⅰ，Ⅱ都对 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定、勾股定理等知识，当点P为的中点时，求得是解题的关键． 当点P与点D重合时，证四边形为正方形，可判断结论Ⅰ正确；当点P为的中点时，由矩形的性质，折叠的性质，利用勾股定理求的长度，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点P与点D重合，则， ∵将沿折叠，点B落在边上的点P处， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， 故结论Ⅰ正确； 如图2，点P为的中点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠得 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.9环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是___． 【答案】丁 【解析】 【分析】此题考查了方差，方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义分析求解． 【详解】解：∵，，，，且 ∴丁的方差最小， 即射击成绩最稳定的是丁． 故答案为：丁． 15. 交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的乘法公式逆运算进行化简，正确理解题意是解题的关键．直接用题目中速度公式进行计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，E为边的中点，连接，F为的中点，G为的中点，连接．若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 延长交的延长线于点H，根据正方形性质得，，进而得，，证明和全等得，，则，再证明是的中位线，然后根据三角形中位线定理即可得出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，且， ∴，， ∵点E，G分别是，中点， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． （1）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算； （2）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为米，为米． （1）梯子的长为______米； （2）如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底端也外移米吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）梯子的底端向外移米，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）直接在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）直接在中利用勾股定理求出移动后的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，， ∴由勾股定理得米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：梯子的底端向外移米，理由如下： 由题意得，此时在中，， ∴由勾股定理得， ∴梯子的底端向外移米 19. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． （1）求证：四边形是矩形． （2）若还满足，则四边形的形状为 ． 【答案】（1）见解析 （2）正方形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论； （2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键． 20. 当前全球各国都高度重视对人形机器人的研究，并努力提升其操作性和便利性．某公司设计了一款机器人，并让该款机器人与人进行了一次比赛，机器人和人对同一动作各操作10次，测试成绩（百分制）如下． 表一： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 机器人 96 91 89 89 89 95 89 91 94 95 人 82 80 90 95 92 71 83 95 99 95 表二： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 a 91 c 7.56 人 88.2 b 95 70.16 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空： ， ， ． （2）根据以上信息，请你分析机器人和人的操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 【答案】（1）91.8，91，89 （2）机器人的操作在技能方面谁更有优势，因为机器人的样本数据的平均数高于人，且方差较小 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差，中位数和众数，掌握各个统计数据的意义和计算方法是关键． （1）根据平均数的计算公式即可求解；根据概念解答即可，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值； （2）根据平均数代表了总体的一般水平；方差代表了数据的稳定性，方差越小越稳定，即可解答． 【小问1详解】 解：机器人测试成绩的平均数； 工人测试成绩共10个数据，从小到大排列的第五位数和第六位数分别是90，92， ∴工人测试成绩的中位数， ∵机器人测试成绩中89分出现的次数最多， ∴众数， 故答案为：91.8，91，89； 【小问2详解】 解：机器人样本数据的平均数高于人，且方差较小， 可以推断机器人的操作在技能方面更有优势． 21. 如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的解析式． （2）将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题并认真计算是解题的关键． （1）把和代入可求得解析式； （2）设平移后的直线的解析式为ya，把分别代入，求出a的值，进一步即可求得a的取值范围． 小问1详解】 解：∵一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． ∴把和代入可得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：将直线向上平移a个单位长度，得直线的解析式为：， 把分别代入， 得，解得， 得，解得， ∴a的取值范围是． 22. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点E；②分别以点B，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，连接并延长交于点F． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）由作图得，平分，由，由平行四边形的性质得，则，所以，则，所以，可证明四边形是菱形； （2）设交于点H，则，所以，而，则，所以，求得． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：由作图得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，点F在上，点E在上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 设交于点H， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为24． 【点睛】此题重点考查尺规作图、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，且是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】（1）A，C （2）建造绿化地的费用为11400元 （3）方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【小问1详解】 解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 24. 综合与探究 问题情境：四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，点，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图1，E为的中点，直线l经过点E，与坐标轴交于点，N． ①点E的坐标为 ． ②直接利用（2）①中的结论，求直线l的函数解析式和点N的坐标． （3）如图2，P为线段上的一动点，过点P作直线轴，交于点Q．设，，直接写出n与m之间的函数关系式． 【答案】（1）四边形为平行四边形，见解析；（2）①；②，；（3） 【解析】 【分析】（1）由，，求出，由，，求出，故，得，从而可得四边形为平行四边形； （2）①由，，E为的中点，即得； ②用待定系数法得直线l的函数解析式为，令得，故； （3）由，，得，轴，又轴，故，，因，故，即得，而，可得，再根据勾股定理有，即可得． 【详解】解：（1）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①∵，，E为的中点， ∴； 故答案为：； ②设直线l的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线l的函数解析式为， 中，令得， ∴； （3）∵，， ∴，轴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的判定，勾股定理及应用，三角形内角和定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $