培优05 空间向量与立体几何10种重难题型（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

培优05 空间向量与立体几何10种重难题型 题型1 空间向量的线性运算 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面: （1）熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.（2）要注意数形结合思想的运用 1．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．已知底面重合的两个正四面体和，为的重心，记，则向量用向量表示为 5．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型2 空间向量的共面问题 对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）. （2）对空间任意一点. （3）对空间任意一点. 6．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 9．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 10．在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    题型3 求空间向量的数量积 在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. 11．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 12．如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 13．已知空间四点满足，，，，则的值（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个 14．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为 . 15．如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 16．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型4 利用数量积求夹角、长度 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 设向量所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角，注意异面直线所成的角范围是 17．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）在平行六面体中，，，M为的中点，则（    ） A． B． C． D． 19．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 20．在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 21．正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. (1)求（用表示）； (2)求直线和夹角的正弦值. 题型5 空间位置的平行与垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 23．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 24．（多选）在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 25．（多选）在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则平面ABP C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面DPB 26．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 27．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 28．如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 题型6 计算线面角、面面角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （2）平面所成的二面角为，则，，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 29．在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 30．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 31．如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是，的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 32．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点. (1)求证：平面； (2)求直线平面所成角的正弦值. 33．如图，点是边长为4的正方形的中心，分别是的中点．沿对角线把正方形折成直二面角．    (1)求的大小； (2)求二面角的大小． 题型7 已知夹角求其他量 34．在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 35．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 36．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC. (1)证明：为PD的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求PA的长. 37．如图，在五面体中，，为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)已知平面，，，为正三角形，，当二面角的余弦值为时，求. 38．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，是底面三角形内一点，并且，，与平面所成角为，与平面所成角为，如图．    求： (1)与的所成角； (2)的长． 题型8 计算空间距离 （1）点到平面的距离：已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离：设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 39．已知，则点到平面的距离为 ． 40．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 41．如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 42．如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 43．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上、下底面半径分别为2，4，圆台母线与底面所成角为是下底面圆周上一点（异于点）.已知，若线段上存在一点，使得平面，试确定点的位置，并求直线与平面的距离； 题型9 探究动点的存在问题 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 常见的位置关系： 在直线上：,使得 在射线上：,使得 在线段上：,使得 在平面上：,使得 44．如图1，在中，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．直线上是否存在点，使平面与平面垂直？    45．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. (1)证明：平面平面. (2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 46．如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点． (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与半面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 47．在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，，，，平面平面，为线段的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 48．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点． (1)若，证明：平面； (2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由． 题型10 求空间角、空间距离的最值问题 49．中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． (1)证明：； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 50．如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的侧面积； (2)若是线段的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 51．在四棱台中，，，，，. (1)证明：. (2)若四棱台的体积为7， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若为棱上一动点，求平面与平面所成角余弦值的最大值. 52．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，. (1)证明：； (2)设直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值. 53．如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 54．如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点.将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点.    (1)当为的中点时. ①求证：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值. (2)若，求二面角的正弦值的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优05 空间向量与立体几何10种重难题型 题型1 空间向量的线性运算 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面: （1）熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.（2）要注意数形结合思想的运用 1．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【详解】在直三棱柱中，. 故选：A 3．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 4．已知底面重合的两个正四面体和，为的重心，记，则向量用向量表示为 【答案】 【详解】设H为BC的中点，连接AD，交平面OBC与I， 由题意得     故答案为：. 5．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 题型2 空间向量的共面问题 对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）. （2）对空间任意一点. （3）对空间任意一点. 6．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】对于A：设，则，由无解， 故不存在，使得，所以，，不共面，故A正确； 对于B：，所以，，共面，故B错误； 对于C：，所以，，共面，故C错误； 对于D：设，则，由无解， 故不存在，使得，所以，，不共面，故D正确. 故选：AD. 7．对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因A，B，C三点不共线，则不共线， 则点P在平面ABC内，即四点共面， 也即存在唯一的一组实数，满足， 即， 整理得：. 对于A，因，可得， 因，故此时点P不在平面ABC内，故A错误； 对于B，因，可得， 因，故此时点P不在平面ABC内，故B错误； 对于C，因，可得， 因，故点P在平面ABC内，故C正确； 对于D，由可得， 整理得：，因，故点P不在平面ABC内，故D错误. 故选：C. 8．（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【答案】AC 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 9．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 10．在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】/ 【详解】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得.    故答案为： 题型3 求空间向量的数量积 在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. 11．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，，则， 所以. 故选：A 12．如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 13．已知空间四点满足，，，，则的值（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个 【答案】A 【详解】通过观察有， 又，则， 两边平方得， 则， 故 ， 即， 所以只有一个值0． 故选：A． 14．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为 . 【答案】3 【详解】由，且，即在面内， 要使取最小值时，点位置记为点，即面，结合正方体的对称性， 知：，，三种情况， 所以数量积的不同取值的个数为3. 故答案为：3 15．如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 【答案】 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 16．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 题型4 利用数量积求夹角、长度 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 设向量所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角，注意异面直线所成的角范围是 17．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设三棱柱棱长为， 所以，，， ， ，则， 设异面直线与所成角为，. 故选：D 18．（多选）在平行六面体中，，，M为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，故A正确： 对于B，，故B错误， 对于C，，故C错误： 对于D，易得为正三角形，故，故D正确. 故选：AD 19．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 20．在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 【答案】 【详解】设点在直线上的投影分别为， 因为，则， 由的面积可得， 则，， 且为边的中点，可得，， 由二面角的平面角为，可得， 因为 ， 即，所以空间中线段的长为. 故答案为：. 21．正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取底面正方形中心，中点，连结， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，得， 所以点在以为球心，以1为半径的球面上， 且， 则，即线段长度的取值范围为. 故选：C    22．如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. (1)求（用表示）； (2)求直线和夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2），， 所以 . 又和都是等边三角形，， 设直线和的夹角为，则， 所以. 题型5 空间位置的平行与垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 23．在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 24．（多选）在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 【答案】AC 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、、 、、， 对于A选项，、既不平行，也不相交，故与异面，A对； 对于B选项，，易知平面的一个法向量为， 则，故与平面不平行，B错； 对于C选项，，所以，，故，C对； 对于D选项，，所以，，所以，、不垂直， 故与平面不垂直，D错. 故选：AC. 25．（多选）在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则平面ABP C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面DPB 【答案】ABD 【详解】对于A选项，若，则， 则点在线段上，如图．因平面平面， 且平面平面，平面平面，故， 因平面平面，故平面， 同理可证平面，因平面平面，且， 故有平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B选项，若， 则（为的中点）如下图，又因为，所以． ，又因为平面，平面，故B正确； 对于选项，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 因为，，，所以， 则点的坐标为.若，则，，. 假设存在，使，则存在实数，使得，即， 可得，此方程无解，所以不存在，使，选项错误. 对于选项，若，则，，，. 设平面的法向量为，则，即， 由得，代入得， 即，，令，则，，所以. 若平面，则与平面的法向量平行，即存在实数，使得，， 可得，由代入得，解得，所以存在，使平面，选项正确. 故选：ABD． 26．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为 则 令，得,所以， 设，则，又平面，则， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 27．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 28．如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 题型6 计算线面角、面面角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （2）平面所成的二面角为，则，，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 29．在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 30．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 31．如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是，的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】 【详解】在底面内作交于点，以点为坐标原点，，，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. 不妨，∵，， ∴，，，，， ∴， ∴. 由得点，故， ∴. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴， 设直线与平面所成角为，则， ∴，即直线与平面所成角的余弦值为. 32．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点. (1)求证：平面； (2)求直线平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为P，D分别是，的中点，则， 在三棱柱中，则，可得， 且平面，平面，所以平面. （2）由题意知三棱柱中，侧棱与底面垂直， 且，， 故，∴， 以点为坐标原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，故， 则，， 可得， 所以直线平面夹角的正弦值为. 33．如图，点是边长为4的正方形的中心，分别是的中点．沿对角线把正方形折成直二面角．    (1)求的大小； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法1  如图，    过点作，垂足为，过点作，垂足为，则． 因为二面角为直二面角， 所以 ． 又在中，， 所以． 所以． 解法2 建立如图所示的直角坐标系，    则． 所以． 因为， 所以． （2）解法1  如图，    过点作垂直的延长线于点，连接． 因为二面角为直二面角，所以平面平面，交线为． 又因为，所以平面． 由平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，由平面，得． 所以就是二面角的平面角． 在中，， 所以，所以． 所以，二面角的大小为，即． 解法2 设平面的法向量为， 由，得 解得． 所以． 又因为平面的法向量为， 所以．所以． 所以，二面角的大小为． 题型7 已知夹角求其他量 34．在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令， 则，所以， 又面的法向量为， 由与平面所成的角为，则， 所以，可得，则， 所以该长方体的体积为. 故选：C 35．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 36．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC. (1)证明：为PD的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求PA的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接BD交AC于，连接OE， 因为底面ABCD是菱形，所以是BD中点， 又平面，平面PBD，平面平面，所以， 故为PD中点. （2）取的中点，连接，易知，则平面， 在菱形中，易知，由，，则，， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 设，则，，，， 由为的中点，则， 取，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，所以平面的一个法向量； 设平面的法向量，则， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设二面角的平面角大小为，则， 即，解得. 37．如图，在五面体中，，为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)已知平面，，，为正三角形，，当二面角的余弦值为时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）如图： 记的中点为，连接，因为为的中点，为的中点，， 所以，而平面，平面， 所以平面；因为为的中点，为的中点， 所以，而平面，平面， 所以平面；又，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面； （2）因为，平面，平面，所以平面； 又平面平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以，所以四边形为直角梯形， 记的中点为，连接，因为，所以， 所以，，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形， 又，，所以，所以四边形为正方形， 连接，因为为正三角形，为的中点，所以， 由平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 故以为坐标原点，过点且平行的直线为轴，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，设，则，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 因为二面角的余弦值为，所以， 平方化简得，即， 因为，所以，即. 38．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，是底面三角形内一点，并且，，与平面所成角为，与平面所成角为，如图．    求： (1)与的所成角； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，如图建系， 是底面三角形内一点，并且，， 所以，设，， 因为与平面所成角为，与平面所成角为，    设平面法向量为，所以，； 设平面法向量为，所以，； 所以，所以，所以， 因为， 设与的所成角为，所以， 所以； （2）因为四点共面， 所以，且， 所以， 由（1）可知，所以设， 所以，所以，所以 题型8 计算空间距离 （1）点到平面的距离：已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离：设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 39．已知，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 则点到平面的距离为. 故答案为：. 40．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 故选：D． 41．如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】因为底面是菱形，，连接，则为等边三角形， 取的中点，连接，则，又，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取， 所以点到平面的距离. 故答案为： 42．如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由条件可知四边形是正方形，所以， ，且平面， 所以平面； （2） 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，， 由（1）可知，平面的法向量可为， ，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面CDE与平面ABE的夹角为， 所以； （3）, 所以点到直线的距离. 43．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上、下底面半径分别为2，4，圆台母线与底面所成角为是下底面圆周上一点（异于点）.已知，若线段上存在一点，使得平面，试确定点的位置，并求直线与平面的距离； 【答案】P为中点；； 【详解】 取中点为P，连接，则由题意可得， 由题意可知且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面，平面，又， 所以平面平面， 又平面，所以平面，所以P为中点； 由上可知直线与平面的距离即为点O到平面的距离，设为， 由题意圆台母线长为，， 如图，取中点D，以O为原点，分别为建立如图所示空间直角坐标系， 则此时， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 即，取，得， 则， 所以. 题型9 探究动点的存在问题 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 常见的位置关系： 在直线上：,使得 在射线上：,使得 在线段上：,使得 在平面上：,使得 44．如图1，在中，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．直线上是否存在点，使平面与平面垂直？    【答案】存在 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，， 设平面的法向量为，， 所以，取，则， 设平面的法向量为，， 所以，取，则，    因为平面平面，所以，所以，故． 所以点在的延长线上，且． 45．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. (1)证明：平面平面. (2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【详解】（1）证明：取棱的中点O，连接， 设，则，， 因为是等边三角形，且O是的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，， 设，则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 46．如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点． (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与半面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)不垂直；证明见解析 (2)； (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）结论：直线与平面不垂直， 以为坐标原点，，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， ， 所以直线与平面不垂直． （2）设平面的一个法向量， ，， ， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）假设存在，，使得点到平面的距离是， 由（1）知，，，所以， 所以，又，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离是， 故在线段上不存在点，使得点到平面的距离是． 47．在多面体中，已知四边形是边长为2的正方形，，，，平面平面，为线段的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， 因为四边形为正方形， 所以为的中点，又为线段的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，且平面， 所以. （2）在正方形中，， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又，，所以， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 又，为线段的中点， 所以， 则， 设，，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 由平面平面，则，解得，即， 所以在线段上存在一点，使得平面平面，且. 48．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点． (1)若，证明：平面； (2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为CD的中点 【详解】（1）取线段的中点P，连接PM，PD， 因为MP为梯形的中位线，所以， 又因为，所以， 因为，，且，所以，， 所以四边形MNDP为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． （2）在平面中，作于O， 因为平面平面ABCD，且平面平面， 所以平面ABCD， 在正方形ABCD中，过O作AD的平行线交CD于点Q，则， 分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为四边形为等腰梯形，，，所以， 又因为，所以， 则，，，，，设，，所以， 设平面的法向量为， 所以，则， 令，所以， 又因为M为的中点， 所以，所以，， 设平面BMN的法向量为， 所以，则， 令，所以， 又因为平面与平面MNB夹角的余弦值为， 所以，整理得， 所以，解得或， 又因为，所以， 所以存在，点N为CD的中点． 题型10 求空间角、空间距离的最值问题 49．中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． (1)证明：； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）D是的中点，翻折前，翻折后. 是的中点，翻折前，翻折后 翻折后，又， 且方向相同，. 又E是的中点，F是的中点， 翻折前、后，， 且方向相同，， 翻折后，在中， ； （2） 过点在平面内作，垂足为，取的中点，连接， 在中，，，D是的中点， 可知翻折前，；翻折后，， 又，平面， 又平面，， 又，平面， 就是三棱锥的高. 在中，，，， 由余弦定理可知. ， . 在中，，， ，，D是的中点，E是的中点， ， ， . （3）在平面中，过点作，交于点， 平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，则， ，，， 设平面的一个法向量， 则， 令，则，，， 设平面的一个法问量， 则， 令，则，，， 设平面与平面的夹角为， 则 ， ，，则， 当且仅当，即时，即时，等号成立. 平面与平面的夹角的余弦值的最大值为. 50．如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的侧面积； (2)若是线段的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为， 所以圆台的侧面积为； （2）取中点，连接，如图， 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （3）延长交于点，作直线， 因为两点分别在平面与平面内， 所以直线即为直线， 又平面， 所以点，即为点， ，则， 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则有：， 令，则， 当时，，此时， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为. 51．在四棱台中，，，，，. (1)证明：. (2)若四棱台的体积为7， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若为棱上一动点，求平面与平面所成角余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）在中，，所以，所以，即， 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，， 所以，所以. （i）以D为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 因为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ii）， 则， 设，， 设平面法向量，则， 即， 令，得，所以， 由题意可得平面的法向量， 所以， 即平面与平面所成角余弦值为， 因为，所以当时，取得最大值， 所以平面与平面所成角余弦值的最大值为. 52．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，. (1)证明：； (2)设直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接OP. 因为底面ABCD为菱形，所以O为BD中点，. 因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面PAC.           因为平面PAC，所以. 因为O为BD中点，所以, 所以，所以. （2）（i）过P作于点H， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAC， 所以平面ABCD， 所以为直线CP与平面ABCD所成角，即.    因为平面，平面ABCD，所以. 又，，，平面PDH， 所以平面PDH.            因为平面PDH，所以， 结合可知H为的垂心.        由于底面ABCD是边长为的菱形，， 故为等边三角形，因此H为的重心， ，，，，. 由于，，所以，      所以四棱锥的体积. （ii）以OB为x轴，OC为y轴，过O点作平面ABCD的垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设，故. 设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，则.        设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，则，    设二面角的平面角为， 则 ，         令，则， 所以， 由于，         故， 当且仅当，即时取等号，         故的最大值为，因此的最小值为.     53．如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，，， 所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面． （2）解：因为底面，平面， 所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 因为，， 所以，即，令，可得． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设，， 则，， 设到直线的距离为，则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 54．如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点.将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点.    (1)当为的中点时. ①求证：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值. (2)若，求二面角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)①证明见解析；②； (2). 【详解】（1）①由题设，易知是边长为4的正方形，且，， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 由平面，则，又，为的中点，则， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面； ②由平面，平面，则，且 同理可得，则，故， 由， 若到平面的距离为，则，可得，而， 所以直线与平面所成角的正弦值； （2）法一：由，且，则， 所以，，， 所以， 故，故到的距离， 又到平面的距离，则二面角的正弦值， 又，则； 法二：由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则，    所以，若是平面的一个法向量， 所以，令，则， 而平面的一个法向量为，则， 而，则，故， 所以，故二面角的正弦值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$