第1章 二次函数（知识清单）数学浙教版九年级上册

第1章 二次函数 1.形如的函数叫做二次函数。其中：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项. 2.二次函数有三种表达式，分别为： （1）一般式：. （2）顶点式： . 优点：已知顶点（h，k） （3）交点式： . 优点：已知抛物线与x轴交点（x1,0）、（x2,0） 3.求二次函数解析式时，当不知道顶点或与x轴交点时，通常用一般式求解；已知顶点坐标时，选用顶点式求解更简单；已知抛物线与x轴两交点坐标时，用交点式求解更简单。 4.二次函数一般式往顶点式的转化方法： ①提取二次项系数； ②将括号内的部分配成一个完全平方式＋一个常数的形式； ③将常数部分写开，得顶点式 5.二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 6.|a|的几何意义：|a|决定抛物线的开口大小，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大. 7.抛物线的平移口诀：“左加右减（x），上加下减（整体）” 8.图象的旋转、对称规律：已知顶点式 关于x轴对称时：→； 关于y轴对称时：→； 关于原点成中心对称时：→； 关于平面内一点（p,q）成中心对称时：→ ； 9.二次函数图象与a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 10.当a＞0时，若，则y随x的增大而减小；若，则y随x的增大而增大；此时函数的有最小值为； 当a＜0时，若则y随x的增大而增大；若，则y随x的增大而减小；此时函数的有最大值为 11.利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设未知数，用含未知数的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含未知数的代数式表示销售商品成本 ③用含未知数的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 12.结合二次函数表达式及其性质的实际问题，比如图形运动问题，面积问题等；首先根据题意列出自变量与函数值之间的二次函数关系，然后解决实际问题 13.结合二次函数图象的实际问题，比如抛球问题、喷水问题和拱桥问题，都需要通过图象相关的已知条件的描述求出对应图象的二次函数表达式，然后解决图象中要解决的实际问题 14.最值问题的实际应用，一般都是先求出对应的二次函数表达式，结合表达式反映的最值情况解决实际问题中的最值问题。如图形的最大面积、经营问题的最大利润、等。特别要注意的是，实际问题中x有取值范围，需要在取值范围中考虑函数值的最大最小值，同时也要结合增减性一同判断。 15.二次函数的图象与一元二次方程间的关系 当时，抛物线与x轴有2个交点； 当时，抛物线与x轴有1个交点； 当时，抛物线与x轴无交点； 同样的，可以通过观察一元二次方程对应的二次函数的图象与x轴的交点个数，判断其系数的关系，或根据x轴交点的具体位置，估计出一元二次方程的解。 一、二次函数及其表达式 1.二次函数的定义 错误：在二次函数的定义一般表达式中，忽略a≠0；或忽略最高次数为2的条件。 注意：二次函数一般式中，a≠0，且最高次次数为2，在判断时，应先化简函数表达式，合并同类项。存在字母参数的，应讨论。 例1 （24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 2.求解二次函数表达式 错误：在代入三组（x，y）的数据，解三元一次方程组时容易出错。 注意：三元一次方程的计算要过关，在代入时也要注意不要代错位置。 例2 关于二次函数，已知当x=﹣2时，y=﹣2；x=0时，y=3；x=4时，y=﹣11，求这个二次函数表达式。 3.根据题意列式并解决问题 错误：对实际应用题的数量关系不够熟悉。 注意：图形问题需要掌握基本的周长面积计算方式，以及图形的性质的运用，勾股定理的运用等；实际应用题要根据题意列式，行程问题的速度、时间与路程关系，经营问题的单价、数量与销售额关系，增长率问题等这些都要熟悉。 例3 某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 例4 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF． (1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？ (2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？ 二、二次函数的图象 （一）y=ax²及其图象 1.二次项系数a对图象开口的影响 错误：混淆a的正负与开口方向，或单纯认为a越大开口越大（越小） 注意：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；当要比较开口大小时，要比较|a|，|a|越大，开口越小。 例5 （24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.数形结合解决问题 错误：抛物线表示的二次函数图象与二次函数表达式无法建立联系，数形结合的意识与数学建模的意识不足。比如不会将点的坐标正确地代入二次函数表达式，比如不会建立二次函数图象模型解决桥洞隧道问题。 注意：点在图象上 ⇆ 点的坐标代入对应的二次函数表达式。根据这个，可以解决： （1）已知二次函数表达式与点的横坐标（或纵坐标），求该点的纵坐标（或横坐标）. （2）已知点的坐标，求经过点的抛物线的二次函数表达式. （3）已知抛物线信息，建立平面直角坐标系求解二次函数表达式，并结合（1）的方法解决实际问题. 例6 （24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知二次函数的图象经过点，则 ． 例7 （2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 例8 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式； (2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由 (二）y=a（x-h）²+k及其图象 1.正确认识二次函数顶点表达式 错误：在判断对称轴或者顶点时，横坐标经常搞错正负符号。如认为的对称轴为x=﹣1，顶点为（﹣1,2） 注意：是符合顶点式的，其顶点为（h，k），所以的顶点是（1,2），对称轴为x=1. 例9 （24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 例10 （24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 2.一般表达式向顶点式的转化 错误：无法掌握将一般式转化为顶点式的步骤，尤其在两个方面：①丢失二次项系数a，②配平方时常数项配平后忘记补回来，或者补回来时忘记乘以括号外的二次项系数，或者补回来的时候混淆加还是减。具体案例如下： 错误①： 错误②： －1或者+2 或者 得到、、等结果 注意：关于转化，应遵循转化的基本步骤，具体如下： （1）提出二次项系数（可保留常数项），得到： （2）括号内配方，并在常数项上补回，得到 （3）化为顶点式，得到： 例11 （24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数．求该二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 3.图象平移与表达式的变化规则 错误：错误理解“左加右减，上加下减”，如将向右平移2个单位，会得到类似：、等答案。 注意：向右平移2个单位的正确结果为向右平移2个单位，即将x转化为x－2再重新代入到原式中。同时也要注意，图象平移时应先化为顶点式，在使用平移规则。 例12 （24-25九年级上·重庆秀山·期末）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为 ． 4.图象平移、对称等变换的扩展 错误：在二次函数图象其他变化中，无法举一反三得确定顶点和开口方向，得到新图象错误的表达式。 注意：二次函数图象的其他变换，和平移的原则是一样的，最主要是确认两点：①新的顶点坐标，当图象变换时，顶点也随之变换，但只要知道了顶点的信息，图象表达式就知道了一大半；②图象开口是否变化，如果不变，则a不变；如果变化，则a变为原来的相反数。具体如下： 原式 变换 新的顶点 开口变化 新的表达式 顶点：（h，k） 关于x轴对称 （h，﹣k） 变化 关于y轴对称 （﹣h，k） 不变 关于原点中心对称 （﹣h，﹣k） 变化 关于顶点中心对称 （h，k） 变化 例13 （24-25九年级上·广西钦州·期中）将二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 （三）二次函数图象上的求解问题 6.求二次函数图象上的点 错误：不会将有字母参数的点代入对应的二次函数表达式中求解这个点，或代入时出错。 注意：与y=ax²中求点的问题类似，只要将点正确代入到对应二次函数或中即可。 例14 （24-25九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数 （a是实数）． (1)当 时，若点在该函数图象上，求b 的值； (2)小明说该二次函数图象的顶点在直线 上，你认为他的说法对吗？ 为什么？ 7.系数a，b，c与图象的关系 错误：a与c的正负值较好判断，但判断b时不会用“左同右异”原则结合a的正负。在判断含有a和b字母的代数式的大小、判断同时含有a，b和c字母的代数式时不能找到较好的途径解决。 注意：利用图象判断关于a，b，c相关的代数式，主要注意一下几点： ①单个系数的判断，a看开口，开口向上a为正，反之为负；c看图象与y轴交点，交点即（0，c）；b要结合对称轴位置和a的正负来看，即“左同右异”，即当图象对称轴在y轴左侧时，b与a的符号相同；反之b与a的符号相反。这是基于对称轴的正负决定的，如右图中可知，对称轴在y轴左侧（），a＞0，所以b＞0.二次函数 ②判断关于a和b表示的代数式的大小，首先根据对称轴的具体位置列不等式，如判断对称轴是否大于（或）小于1，是否大于（或小于）﹣1，这是最常见的，还是要结合图象反映的信息来具体列式，同时注意在化简不等式时a的正负。如右图中，可知对称轴＞﹣1，化简可得b＜2a. ③判断关于a，b，c同时存在的代数式的大小，首先考虑使用特殊值法，即将图象中体现的当x等于某个具体值时函数值的正负，来列不等式，如右图中可知，当x=﹣1时，y＜0，所以当x=﹣1代入得到a－b+c＜0；同时看到当x=1时，y=2，所以有a+b+c=2； ④判断复杂的代数式，要结合已求得的一些代数的值或者正负，综合判断，比如从③的结论a－b+c＜0和a+b+c=2可知，两式相减得b＜1；两式相加得a+c＜1. 例15 （24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 例16 （2025·四川自贡·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为 ． ①； ②； ③；④；⑤时， 三、二次函数的性质 1.用公式法求最值 错误：尤其当a＜0时，代入到时，漏掉a的符号。 注意：先将二次函数转化为一般式，代入时一定首先确定a，b，c的值，然后再利用公式。 例17 求函数的最值． 例18 （24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数有最小值为0，求m的值． 2.根据增减性比较函数值的大小 错误：不结合增减性和开口方向，只根据x的大小盲目判断对应函数值的大小。 注意：在二次函数中通过图象性质判断函数值的大小，要结合增减性来判断。具体情况有以下几种（假设比较对象为y1，y2，对应的横坐标为x1，x2。对称轴为x=x0，对应的最值为y0）： 开口方向 x0与x1、x2的关系 图示 y1、y2与y0的大小 a＞0，开口向上 x1＜x2＜x0 x0 3 x2 3 x1 3 y0＜y2＜y1 x1＜x0＜x2 x0 3 x2 3 x1 3 y0＜y2＜y1 x0＜x1＜x2 x0 3 x2 3 x1 3 y0＜y2＜y1 a＜0，开口向下 x1＜x2＜x0 x0 3 x2 3 x1 3 y1＜y2＜y0 x1＜x0＜x2 x0 3 x2 3 x1 3 y1＜y2＜y0 x0＜x1＜x2 x0 3 x2 3 x1 3 y1＜y2＜y0 例19 （24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3.根据对称性求交点坐标或对称轴 错误：当二次函数图象不完整时，无法通过二次函数的性质确定完整图象，并得到有效信息，如与x轴的交点。 注意：结合对称性，我们可以通过已知的点和对称轴得出其对称点的信息，也可以通过两个纵坐标相等的点得到对称轴的信息。如下图①所示，根据二次函数的对称性可知，二次函数与x轴的交点除了（4,0），还有（-2,0）；如图②所示，在已知图象与x轴交点为（-1,0）和（3,0）时，其对称轴即为x=1；如图③所示，已知对称轴为x=﹣1，且估计其中一个与x轴的交点的横坐标在﹣3~﹣2之间，那么另一个交点的横坐标就在0~1之间。 ① ② ③ 例20 （2025·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 例21 （24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图是函数的部分图象，对称轴是直线，该函数图象与x轴正半轴的交点坐标是 ． 4.用合理的方式求解二次函数的表达式 错误：求解二次函数的表达式，不根据已知条件合理使用更加方便的表达式来作待定系数法，或者对顶点式的待定系数法求解表达式的方式不熟练，尤其是根据已知顶点判断顶点式写法的时候出错。 注意：不同的已知条件，可以采用不同的方式待定系数法，然后求解二次函数表达式。具体情况如下： 主要条件 待定系数法方式 其他条件 已知图象上两点及以上 设一般式： 再确认一个已知点并代入，解三元一次方程组 已知顶点 设顶点式： 再确认一个已知点并代入，解一元一次方程 已知对称轴 设顶点式： 再确认两个已知点并代入，解二元一次方程组 已知x轴上两个交点 设交点式： 再确认一个已知点并代入，解解一元一次方程 例22 （24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 例23 （24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线过点，，求的值． 5.二次函数图象相关的实际应用 错误：不能理解题意，提炼出关于二次函数图象的已知条件来计算出表达式，比如图象上的点的坐标、顶点的坐标、在x轴或者y轴上的特殊点，起点和落点等这些特殊点。 注意：学会根据题意确定二次函数图象相关的已知条件，主要有： （1）点的坐标。有些已知条件描述了实际问题中某个点在二次函数图象上的横纵坐标，可以据此确定点的坐标。 （2）在（1）的基础上，如果确定某点是顶点，就可以更快确定二次函数图象的表达式。 （3）实际问题在坐标系中的体现，尤其是地面都是与x轴对应，因此落地点即为x轴上的点的意思，求解时应使得函数值为0. （4）实际问题中求解的问题也可以转化为二次函数中的图象问题，比如求物体掉落在多远处，即已知函数值y的情况下求该点x的值；比如求某处立柱的长就是在已知x的值的情况下求解y的值。 例24 （24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）小明对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的函数图象如图所示（为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是 m.      例25 （2025·新疆乌鲁木齐·二模）根据以下素材，探索完成任务： 如何调整篮球的投球高度 素材1 如图是小亮投球示意图的一部分，小亮距离篮圈中心距离（水平距离），篮圈距地面高度．小亮站在处投球，球出手时离地面，篮球运动的路线是抛物线的一部分． 素材2 如图，点为篮球出手位置，当篮球运动到最高点E时，高度为，即，此时水平距离，以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．   问题解决 任务1 篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此球能否投至篮圈中心？ 任务2 小亮出手时起点不变，运动路线的顶点不变，小亮出手的高度距地面多少米时能将篮球投至篮圈中心？ 6.根据增减性求解函数值的取值范围 错误：在求解函数值的取值范围时没有充分考虑x的取值范围， 注意：（1）当不涉及x的取值范围时，开口向上，y的取值范围是≥最小值；开口向下，y的取值范围是≤最大值。 （2）当涉及到x具体的取值范围时，需要根据取值范围和最值对应的x0的值的包含关系，确定最终函数值的取值范围。一般情况下，先结合本内容中第三项“2.根据增减性比较函数值的大小”的知识点来比较x取值范围两端的函数值，确定端点函数值大小，再结合最值，确定x在取值范围内函数值的最大值和最小值，写出函数值的取值范围。 （3）解决实际问题时特别要注意，x的取值范围不是直接给出，也需要通过题意描述具体分析并计算得出。 （4）含有字母参数的x的取值范围，需要讨论x的取值范围内是否包含了对称轴，分情况说明函数值的取值范围或最大最小值。具体也需要结合第三项“2.根据增减性比较函数值的大小”中的各类情况。 例26 （24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ． 例27 （24-25九年级上·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若是抛物线上不同的两点，求m的值； (3)当时，直接写出y的取值范围： ． 7.根据函数值的取值范围，讨论x的取值。 错误：通过求解当函数值取得最大值或者最小值对应的x的值，直接得出x的取值范围。没有根据题意要求进行讨论。 注意：在具体求解确定x的取值范围时，应能包尽包。如果x的取值范围有字母参数，则同样需要讨论x的取值范围是否包含了对称轴，这样的情况比较复杂，常见的如：关于二次函数，若已知： （1）4≤x≤t时，4≤y≤20。此时因为4≤x≤t的范围均在对称轴右侧，函数值y随着x的增大而增大，因此当x=t时，y=20，解得t=6，可知x的取值范围。 （2）1≤x≤t时，4≤y≤10。因先判断x的取值范围是否包含对称轴，因为二次函数的最小值为2，由4≤y≤10可知，没有包含，因此x的去取值范围在对称轴的左边，y随x的增大而减小，因此只有当x=t时，y=4，解得t=2，可知x的取值范围。 （3）1≤x≤t时，2≤y≤10。因为y最小值为2，因此明确可知x的取值范围包含了对称轴，所以t＞3，又因为x=1时，y=10，结合增减性和对称性可知，t应不大于5，所以3≤t≤5。 （4）1≤x≤t时，2≤y≤20。因为y最小值为2，因此明确可知x的取值范围包含了对称轴，所以t＞3，又因为x=1时，y=10，结合增减性和对称性可知，只有当x=t时，y=20，解得t=6，可知x的取值范围。 ...... 通过以上不同情况的举例我们发现，想要知道x的取值范围，或知道x的取值范围中字母参数的值，就一定要结合对称轴和x的取值范围位置关系、图象的增减性和对称性等要素综合讨论分析，才能得出结果。 例28 （23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 例29 已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是 ． 例30 （2023·浙江绍兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上． (1)当时，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的取值范围； (3)若时，函数的最小值为，求的值． 例31 （24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象经过点，点． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若存在实数，使得，且，求的取值范围； (3)当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值． 四、二次函数的应用 1.最值问题中x的取值范围 错误：没有计算x的取值范围的意识，只考虑列式并计算。 注意：应充分读题，提炼条件，关注x在实际应用中的限制，据此求出x的取值范围。结合图象及其性质，求出符合实际要求的最值，并解答实际问题中的最值问题。如：x在实际问题中一般大于0，销售问题中售价x一般大于进价，在点的运动中x表示时间的，一般到终点即停止不会无限大... 例32 （2025·广东东莞·二模）东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件.经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为（万件）；如果每月的销售量（万件）与销售单价（元/件）成一次函数关系． (1)求每月销售量（万件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式； (2)根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 2.几何动点中的最值问题 错误：最大的问题是在解决几何问题时，无法根据几何性质列等式，从而列出二次函数表达式来。比如利用勾股定理表示线段长，用时间t的代数式分别表示出相关线段的长，再列出面积相关的二次函数表达式。 注意：学会用未知数x表示相关几何线段、角的代数式。比如动点问题，当函数值y表示三角形的面积时，就要用时间t分别表示出该三角形底边的代数式，高的代数式，然后用面积公式列出二次函数，同时注意t的取值范围（有的时间里没有构造的三角形，有的时间里三角形面积的列式方式不一样）。 例33 （2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 3.经营问题中列式时要考虑的多项收入或支出 错误：在计算函数值利润时，列式是所有销售收入－所有消耗成本和进货成本，很多时候往往会漏掉比如消耗成本，比如每天人工的成本，也有比如涉及到销售收入的低价促销获益，或者补贴等等。 注意：应该充分读题，将所有题干条件分门别类并表示出其值，在最终列式时避免遗漏。 例34 （2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： （棵） 10 40 （元） 4920 7920 (1)求出关于，关于的函数关系式； (2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ 4.抛球问题中确定特定位置物体的高度的问题 错误：没有数形结合的意识，尤其是无法将实际问题转化成二次函数图象中要解决的数学问题。 注意：我们在前面讨论过，实际问题要问的问题，要能解读成二次函数图象上的问题，具体有： （1）要求某处物体高度，就是二次函数图象中，该处横坐标代入解得y的值，再翻译成实际问题中的高度，并解决问题。 （2）在（1）的基础上，若要求该处物体是否通过某个高度，只要求出y的值，与实际问题中的高度进行比较即可。常见于解决排球、乒乓球过网，足球进门等问题。 （3）实际问题中的最高点即图象的顶点。 例35 （2024·浙江杭州·二模）问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 5．（24-25九年级下·河南周口·期中）九年级同学在研究某种化学试剂的挥发情况时，发现可以用数学的相关知识解决问题．小组同学在A，B两种不同的场景下做对比实验，得到该试剂在挥发过程中剩余质量 (克)随时间x(分钟)变化的数据．他们建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，剩余质量为纵坐标，在坐标系内描出对应点，得到如图所示的图象，下面判断错误的是（   ） A．是关于x的二次函数 B．是关于x的一次函数 C．当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间 D．10分钟时，A场景剩余质量小于 B 场景剩余质量 6．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·重庆永川·期中）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后停下来滑行的距离是（   ） A．200 B．400 C．600 D．800 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·四川广元·三模）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于x的方程一定有两个不相等的实数根； ⑤． 其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2025·河北石家庄·模拟预测）一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级下·浙江·假期作业）若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ． 12．（2025·广东广州·二模）抛物线的对称轴是直线 ． 13．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则 ． 15．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点，当时，始终有，则m的取值范围是 ． 16．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为 m． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 18．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点是抛物线上的一点． (1)求的值； (2)若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 19．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． (1)若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ (2)当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 20．（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 21．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 22．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 23．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）恩施州为响应国家号召，各单位均安排党员干部下沉村、社区，参加扶贫工作，这些干部队伍俗称“尖刀班”．某“尖刀班”发现其帮扶村盛产的茶叶和土豆滞销，为了尽快将农产品销售出去，“尖刀班”通过网络平台将产品销往全国．相关信息如表： 商品 规格 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 茶叶 /袋 40 60 土豆 /袋 38 53 已知销售表中规格的茶叶和土豆共1000袋，其中茶叶不少于300袋，土豆不少于400袋．设销售茶叶x袋，销售茶叶和土豆获得的总利润为y元． (1)求y（元）与x（袋）之间的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)销售完这批茶叶和土豆，至少可获得多少元的利润？ (3)因该村有部分特困户，“尖刀班”与村委会讨论决定，每销售一袋茶叶提取m元作为帮扶特困户的爱心基金．如果，求销售完这批茶叶和土豆，扣除爱心基金后的最大利润．（用含m的代数式表示） 24．（2025·浙江·模拟预测）二次函数的图象经过点． (1)求的值． (2)当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为． ①若，求的取值范围； ②是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数 1.形如的函数叫做二次函数。其中：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项. 2.二次函数有三种表达式，分别为： （1）一般式：. （2）顶点式： . 优点：已知顶点（h，k） （3）交点式： . 优点：已知抛物线与x轴交点（x1,0）、（x2,0） 3.求二次函数解析式时，当不知道顶点或与x轴交点时，通常用一般式求解；已知顶点坐标时，选用顶点式求解更简单；已知抛物线与x轴两交点坐标时，用交点式求解更简单。 4.二次函数一般式往顶点式的转化方法： ①提取二次项系数； ②将括号内的部分配成一个完全平方式＋一个常数的形式； ③将常数部分写开，得顶点式 5.二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 6.|a|的几何意义：|a|决定抛物线的开口大小，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大. 7.抛物线的平移口诀：“左加右减（x），上加下减（整体）” 8.图象的旋转、对称规律：已知顶点式 关于x轴对称时：→； 关于y轴对称时：→； 关于原点成中心对称时：→； 关于平面内一点（p,q）成中心对称时：→ ； 9.二次函数图象与a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 10.当a＞0时，若，则y随x的增大而减小；若，则y随x的增大而增大；此时函数的有最小值为； 当a＜0时，若则y随x的增大而增大；若，则y随x的增大而减小；此时函数的有最大值为 11.利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设未知数，用含未知数的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含未知数的代数式表示销售商品成本 ③用含未知数的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 12.结合二次函数表达式及其性质的实际问题，比如图形运动问题，面积问题等；首先根据题意列出自变量与函数值之间的二次函数关系，然后解决实际问题 13.结合二次函数图象的实际问题，比如抛球问题、喷水问题和拱桥问题，都需要通过图象相关的已知条件的描述求出对应图象的二次函数表达式，然后解决图象中要解决的实际问题 14.最值问题的实际应用，一般都是先求出对应的二次函数表达式，结合表达式反映的最值情况解决实际问题中的最值问题。如图形的最大面积、经营问题的最大利润、等。特别要注意的是，实际问题中x有取值范围，需要在取值范围中考虑函数值的最大最小值，同时也要结合增减性一同判断。 15.二次函数的图象与一元二次方程间的关系 当时，抛物线与x轴有2个交点； 当时，抛物线与x轴有1个交点； 当时，抛物线与x轴无交点； 同样的，可以通过观察一元二次方程对应的二次函数的图象与x轴的交点个数，判断其系数的关系，或根据x轴交点的具体位置，估计出一元二次方程的解。 一、二次函数及其表达式 1.二次函数的定义 错误：在二次函数的定义一般表达式中，忽略a≠0；或忽略最高次数为2的条件。 注意：二次函数一般式中，a≠0，且最高次次数为2，在判断时，应先化简函数表达式，合并同类项。存在字母参数的，应讨论。 例1 （24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 2.求解二次函数表达式 错误：在代入三组（x，y）的数据，解三元一次方程组时容易出错。 注意：三元一次方程的计算要过关，在代入时也要注意不要代错位置。 例2 关于二次函数，已知当x=﹣2时，y=﹣2；x=0时，y=3；x=4时，y=﹣11，求这个二次函数表达式。 【答案】 【分析】分别将x=﹣2，y=﹣2；x=0，y=3和x=4，y=﹣11代入到表达式中，列三元一次方程组并解方程组即可。 【详解】x=﹣2，y=﹣2；x=0，y=3和x=4，y=﹣11分别代入表达式中，得三元一次方程组，解得：，所以这个二次函数的表达式为。 3.根据题意列式并解决问题 错误：对实际应用题的数量关系不够熟悉。 注意：图形问题需要掌握基本的周长面积计算方式，以及图形的性质的运用，勾股定理的运用等；实际应用题要根据题意列式，行程问题的速度、时间与路程关系，经营问题的单价、数量与销售额关系，增长率问题等这些都要熟悉。 例3 某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可； （2）把（1）中的除以5即可得到． 【详解】解：（1） ； （2）． 例4 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF． (1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？ (2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？ 【答案】(1)5s (2) 【分析】（1）由DF∥AE且DF=AE，得四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=DF，可得关于t的方程，求解即可； （2）由直角三角形的性质可求DF，BF的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C=30°， ∴CD=2DF，AC=2AB， ∵AC＝30cm， ∴AB=15cm， 根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm， ∴DF=2tcm， ∴DF=AE， ∵DF⊥BC， ∴DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当DF=AD时，四边形AEFD为菱形， 即30-4t=2t，解得：t=5； （2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm， ∴，， 由（1）得：四边形AEFD是平行四边形， ∴． 二、二次函数的图象 （一）y=ax²及其图象 1.二次项系数a对图象开口的影响 错误：混淆a的正负与开口方向，或单纯认为a越大开口越大（越小） 注意：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；当要比较开口大小时，要比较|a|，|a|越大，开口越小。 例5 （24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 2.数形结合解决问题 错误：抛物线表示的二次函数图象与二次函数表达式无法建立联系，数形结合的意识与数学建模的意识不足。比如不会将点的坐标正确地代入二次函数表达式，比如不会建立二次函数图象模型解决桥洞隧道问题。 注意：点在图象上 ⇆ 点的坐标代入对应的二次函数表达式。根据这个，可以解决： （1）已知二次函数表达式与点的横坐标（或纵坐标），求该点的纵坐标（或横坐标）. （2）已知点的坐标，求经过点的抛物线的二次函数表达式. （3）已知抛物线信息，建立平面直角坐标系求解二次函数表达式，并结合（1）的方法解决实际问题. 例6 （24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知二次函数的图象经过点，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，把点直接代入函数解析式求出b的值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴ 故答案为：4． 例7 （2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 例8 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式； (2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由 【答案】（1）；（2）不能通过. 【分析】（1）根据图中数据假设适当的解析式，用待定系数法求解； （2）车从中间过，即x＝1.5，代入解析式求出y值后，比较即可． 【详解】(1)如图，设抛物线对应的函数关系式为y=ax2 抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m， 所以抛物线过点A(−3,−3)， 代入得−3=9a， 解得a=−， 所以函数关系式为   (2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置， 将x=1.5代入抛物线方程，得y=−0.75， 此时集装箱角离隧道的底为5−0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25<4.5. 从而此车不能通过此隧道. (二）y=a（x-h）²+k及其图象 1.正确认识二次函数顶点表达式 错误：在判断对称轴或者顶点时，横坐标经常搞错正负符号。如认为的对称轴为x=﹣1，顶点为（﹣1,2） 注意：是符合顶点式的，其顶点为（h，k），所以的顶点是（1,2），对称轴为x=1. 例9 （24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，解题关键是明确顶点式的对称轴为直线，顶点坐标为．根据二次函数的顶点式可直接得出答案． 【详解】解∶抛物线的对称轴是直线， 故选∶B． 例10 （24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线顶点式及顶点坐标，掌握顶点式是解题关键．根据抛物线顶点式直接可求顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点式为 故顶点坐标为 故答案为： ． 2.一般表达式向顶点式的转化 错误：无法掌握将一般式转化为顶点式的步骤，尤其在两个方面：①丢失二次项系数a，②配平方时常数项配平后忘记补回来，或者补回来时忘记乘以括号外的二次项系数，或者补回来的时候混淆加还是减。具体案例如下： 错误①： 错误②： －1或者+2 或者 得到、、等结果 注意：关于转化，应遵循转化的基本步骤，具体如下： （1）提出二次项系数（可保留常数项），得到： （2）括号内配方，并在常数项上补回，得到 （3）化为顶点式，得到： 例11 （24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数．求该二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 【答案】图象的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】本题考查二次函数的性质，将化为顶点式即可得解．解题的关键是掌握：二次函数的顶点式为：，其中顶点坐标为；当时，图象开口向上，当时，图象开口向下；对称轴为：，最值为．据此解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴该二次函数图象的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 3.图象平移与表达式的变化规则 错误：错误理解“左加右减，上加下减”，如将向右平移2个单位，会得到类似：、等答案。 注意：向右平移2个单位的正确结果为向右平移2个单位，即将x转化为x－2再重新代入到原式中。同时也要注意，图象平移时应先化为顶点式，在使用平移规则。 例12 （24-25九年级上·重庆秀山·期末）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为， 即， 故答案为：． 4.图象平移、对称等变换的扩展 错误：在二次函数图象其他变化中，无法举一反三得确定顶点和开口方向，得到新图象错误的表达式。 注意：二次函数图象的其他变换，和平移的原则是一样的，最主要是确认两点：①新的顶点坐标，当图象变换时，顶点也随之变换，但只要知道了顶点的信息，图象表达式就知道了一大半；②图象开口是否变化，如果不变，则a不变；如果变化，则a变为原来的相反数。具体如下： 原式 变换 新的顶点 开口变化 新的表达式 顶点：（h，k） 关于x轴对称 （h，﹣k） 变化 关于y轴对称 （﹣h，k） 不变 关于原点中心对称 （﹣h，﹣k） 变化 关于顶点中心对称 （h，k） 变化 例13 （24-25九年级上·广西钦州·期中）将二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的翻折问题．将原二次函数图象沿y轴翻折后，顶点坐标的横坐标变为相反数，纵坐标不变，对称轴也随之改变． 【详解】解：原二次函数为顶点式，其顶点为，对称轴为直线． 沿y轴翻折后，顶点变为，故新抛物线的对称轴为直线． 故选：A． （三）二次函数图象上的求解问题 6.求二次函数图象上的点 错误：不会将有字母参数的点代入对应的二次函数表达式中求解这个点，或代入时出错。 注意：与y=ax²中求点的问题类似，只要将点正确代入到对应二次函数或中即可。 例14 （24-25九年级上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数 （a是实数）． (1)当 时，若点在该函数图象上，求b 的值； (2)小明说该二次函数图象的顶点在直线 上，你认为他的说法对吗？ 为什么？ 【答案】(1) (2)小明说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）把点，分别代入解析式即可求解； （2）根据题意得出顶点是，代入，即可判断小明说法正确； 【详解】（1）解：当 时，， 把代入，得， ∴当 时，求b 的值为． （2）解：小明说法正确． ∵二次函数 ， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴顶点坐标为，在直线 上， ∴小明说法正确． 7.系数a，b，c与图象的关系 错误：a与c的正负值较好判断，但判断b时不会用“左同右异”原则结合a的正负。在判断含有a和b字母的代数式的大小、判断同时含有a，b和c字母的代数式时不能找到较好的途径解决。 注意：利用图象判断关于a，b，c相关的代数式，主要注意一下几点： ①单个系数的判断，a看开口，开口向上a为正，反之为负；c看图象与y轴交点，交点即（0，c）；b要结合对称轴位置和a的正负来看，即“左同右异”，即当图象对称轴在y轴左侧时，b与a的符号相同；反之b与a的符号相反。这是基于对称轴的正负决定的，如右图中可知，对称轴在y轴左侧（），a＞0，所以b＞0.二次函数 ②判断关于a和b表示的代数式的大小，首先根据对称轴的具体位置列不等式，如判断对称轴是否大于（或）小于1，是否大于（或小于）﹣1，这是最常见的，还是要结合图象反映的信息来具体列式，同时注意在化简不等式时a的正负。如右图中，可知对称轴＞﹣1，化简可得b＜2a. ③判断关于a，b，c同时存在的代数式的大小，首先考虑使用特殊值法，即将图象中体现的当x等于某个具体值时函数值的正负，来列不等式，如右图中可知，当x=﹣1时，y＜0，所以当x=﹣1代入得到a－b+c＜0；同时看到当x=1时，y=2，所以有a+b+c=2； ④判断复杂的代数式，要结合已求得的一些代数的值或者正负，综合判断，比如从③的结论a－b+c＜0和a+b+c=2可知，两式相减得b＜1；两式相加得a+c＜1. 例15 （24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可． 【详解】由图像可知，，， ∴，故①正确． 当x=时，y=0， 即 ∴ ∴ ∴，故②正确． 由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为 即 化简得，故③正确． ∵对称轴为 ∴ ∴， 将代入有 即 ∴，故④错误． 综上所述①②③正确． 故答案为①②③． 例16 （2025·四川自贡·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为 ． ①； ②； ③；④；⑤时， 【答案】②③④⑤ 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 根据对称轴位置及图象开口向上可判断出的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④；由推出，，得到，即可得到，可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， 抛物线与轴交于点在轴的负半轴， ， ， 故结论①错误； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为， ， 故结论②正确； ， ， ， ， ， 故结论③正确； 对称轴为直线， 函数的最小值为， ， ， 故结论④正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论⑤正确； 综上所述，结论正确的是②③④⑤； 故答案为：②③④⑤． 三、二次函数的性质 1.用公式法求最值 错误：尤其当a＜0时，代入到时，漏掉a的符号。 注意：先将二次函数转化为一般式，代入时一定首先确定a，b，c的值，然后再利用公式。 例17 求函数的最值． 【答案】 【分析】直接利用二次函数的最值公式，即可即可得到答案． 【详解】解：二次函数， ，，， ， 该二次函数开口向上， 函数有最小值，最小值为． 例18 （24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数有最小值为0，求m的值． 【答案】m的值为1 【分析】本题考查了解分式方程，二次函数的图象性质，结合二次函数有最小值为0，得出且，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵有最小值0， ∴且 解得或（舍去） 经检验：是该方程的解．即m的值为1． 2.根据增减性比较函数值的大小 错误：不结合增减性和开口方向，只根据x的大小盲目判断对应函数值的大小。 注意：在二次函数中通过图象性质判断函数值的大小，要结合增减性来判断。具体情况有以下几种（假设比较对象为y1，y2，对应的横坐标为x1，x2。对称轴为x=x0，对应的最值为y0）： 开口方向 x0与x1、x2的关系 图示 y1、y2与y0的大小 a＞0，开口向上 x1＜x2＜x0 x0 3 x2 3 x1 3 y0＜y2＜y1 x1＜x0＜x2 x0 3 x2 3 x1 3 y0＜y2＜y1 x0＜x1＜x2 x0 3 x2 3 x1 3 y0＜y2＜y1 A＜0，开口向下 x1＜x2＜x0 x0 3 x2 3 x1 3 y1＜y2＜y0 x1＜x0＜x2 x0 3 x2 3 x1 3 y1＜y2＜y0 x0＜x1＜x2 x0 3 x2 3 x1 3 y1＜y2＜y0 例19 （24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上， 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， 由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴． 故选：A． 3.根据对称性求交点坐标或对称轴 错误：当二次函数图象不完整时，无法通过二次函数的性质确定完整图象，并得到有效信息，如与x轴的交点。 注意：结合对称性，我们可以通过已知的点和对称轴得出其对称点的信息，也可以通过两个纵坐标相等的点得到对称轴的信息。如下图①所示，根据二次函数的对称性可知，二次函数与x轴的交点除了（4,0），还有（-2,0）；如图②所示，在已知图象与x轴交点为（-1,0）和（3,0）时，其对称轴即为x=1；如图③所示，已知对称轴为x=﹣1，且估计其中一个与x轴的交点的横坐标在﹣3~﹣2之间，那么另一个交点的横坐标就在0~1之间。 ① ② ③ 例20 （2025·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，再结合横坐标可得答案． 【详解】解：∵该二次函数的图象与x轴交于点和点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． 故选：B． 例21 （24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图是函数的部分图象，对称轴是直线，该函数图象与x轴正半轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，解题关键是掌握二次函数的性质．由抛物线与x轴交点坐标为及抛物线的对称轴求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线对称轴为直线， 另一交点的横坐标为， ∴抛物线与x轴另一交点坐标为， 故答案为：． 4.用合理的方式求解二次函数的表达式 错误：求解二次函数的表达式，不根据已知条件合理使用更加方便的表达式来作待定系数法，或者对顶点式的待定系数法求解表达式的方式不熟练，尤其是根据已知顶点判断顶点式写法的时候出错。 注意：不同的已知条件，可以采用不同的方式待定系数法，然后求解二次函数表达式。具体情况如下： 主要条件 待定系数法方式 其他条件 已知图象上两点及以上 设一般式： 再确认一个已知点并代入，解三元一次方程组 已知顶点 设顶点式： 再确认一个已知点并代入，解一元一次方程 已知对称轴 设顶点式： 再确认两个已知点并代入，解二元一次方程组 已知x轴上两个交点 设交点式： 再确认一个已知点并代入，解解一元一次方程 例22 （24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线相同即可确定a的值，从而求出解析式． 【详解】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 例23 （24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线过点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线的解析式为，又抛物线过，从而可求出的值，进而可以得解； （2）依据题意，由（1），又抛物线过点，，从而求出的值，代入代数式进而得到答案． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的解析式为． 又∵抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）中求得的解析式， 抛物线过点，， ， ． 5.二次函数图象相关的实际应用 错误：不能理解题意，提炼出关于二次函数图象的已知条件来计算出表达式，比如图象上的点的坐标、顶点的坐标、在x轴或者y轴上的特殊点，起点和落点等这些特殊点。 注意：学会根据题意确定二次函数图象相关的已知条件，主要有： （1）点的坐标。有些已知条件描述了实际问题中某个点在二次函数图象上的横纵坐标，可以据此确定点的坐标。 （2）在（1）的基础上，如果确定某点是顶点，就可以更快确定二次函数图象的表达式。 （3）实际问题在坐标系中的体现，尤其是地面都是与x轴对应，因此落地点即为x轴上的点的意思，求解时应使得函数值为0. （4）实际问题中求解的问题也可以转化为二次函数中的图象问题，比如求物体掉落在多远处，即已知函数值y的情况下求该点x的值；比如求某处立柱的长就是在已知x的值的情况下求解y的值。 例24 （24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）小明对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的函数图象如图所示（为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是 m.      【答案】9 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数图象的解析式为，代入计算可得解析式，再把时，计算出二次函数与正半轴的交点即可． 【详解】解：根据题意，二次函数图象经过，顶点坐标为， ∴设二次函数图象的解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 令时，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 故答案为： ． 例25 （2025·新疆乌鲁木齐·二模）根据以下素材，探索完成任务： 如何调整篮球的投球高度 素材1 如图是小亮投球示意图的一部分，小亮距离篮圈中心距离（水平距离），篮圈距地面高度．小亮站在处投球，球出手时离地面，篮球运动的路线是抛物线的一部分． 素材2 如图，点为篮球出手位置，当篮球运动到最高点E时，高度为，即，此时水平距离，以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．   问题解决 任务1 篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此球能否投至篮圈中心？ 任务2 小亮出手时起点不变，运动路线的顶点不变，小亮出手的高度距地面多少米时能将篮球投至篮圈中心？ 【答案】任务1：，不能；任务2：小亮出手的高度距地面米时能将篮球投至篮圈中心 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，合理分析题意结合二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法列式运算即可； （2）运算出抛物线的解析式后把代入运算求解即可． 【详解】解：任务1．由题意得：抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为， 当时，， ∵， ∴此球不能投至篮圈中心； 任务2．当时，篮球才能投至篮圈中心， 设抛物线解析式为：， ∵过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，， ∴， 答：小亮出手的高度距地面米时能将篮球投至篮圈中心． 6.根据增减性求解函数值的取值范围 错误：在求解函数值的取值范围时没有充分考虑x的取值范围， 注意：（1）当不涉及x的取值范围时，开口向上，y的取值范围是≥最小值；开口向下，y的取值范围是≤最大值。 （2）当涉及到x具体的取值范围时，需要根据取值范围和最值对应的x0的值的包含关系，确定最终函数值的取值范围。一般情况下，先结合本内容中第三项“2.根据增减性比较函数值的大小”的知识点来比较x取值范围两端的函数值，确定端点函数值大小，再结合最值，确定x在取值范围内函数值的最大值和最小值，写出函数值的取值范围。 （3）解决实际问题时特别要注意，x的取值范围不是直接给出，也需要通过题意描述具体分析并计算得出。 （4）含有字母参数的x的取值范围，需要讨论x的取值范围内是否包含了对称轴，分情况说明函数值的取值范围或最大最小值。具体也需要结合第三项“2.根据增减性比较函数值的大小”中的各类情况。 例26 （24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】先将二次函数化成顶点式，于是可得其对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解并验证结果是否符合题意即可． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 分三种情况讨论： ①当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； ②当时， 即时，顶点处取最小值， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ； ③当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； 综上，的值为， 故答案为：． 例27 （24-25九年级上·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若是抛物线上不同的两点，求m的值； (3)当时，直接写出y的取值范围： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数值，二次函数图象的性质， 对于（1），将这三点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），当代入关系式求出y，再根据函数值相等求出x值即可； 对于（3），先求出对称轴可得最大值，当时，求出y值，进而得出答案． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得 ， 解得， 所以抛物线的关系式为； （2）解：当时，， 当时，， 解得， ∴； （3）． 解：抛物线的关系式为， ∴抛物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小，当时，函数有最大值7． ∵在之间， ∴y的最大值为7， ∵，当时，， ∴y的最小值为， ∴y的取值范围是． 故答案为：． 7.根据函数值的取值范围，讨论x的取值。 错误：通过求解当函数值取得最大值或者最小值对应的x的值，直接得出x的取值范围。没有根据题意要求进行讨论。 注意：在具体求解确定x的取值范围时，应能包尽包。如果x的取值范围有字母参数，则同样需要讨论x的取值范围是否包含了对称轴，这样的情况比较复杂，常见的如：关于二次函数，若已知： （1）4≤x≤t时，4≤y≤20。此时因为4≤x≤t的范围均在对称轴右侧，函数值y随着x的增大而增大，因此当x=t时，y=20，解得t=6，可知x的取值范围。 （2）1≤x≤t时，4≤y≤10。因先判断x的取值范围是否包含对称轴，因为二次函数的最小值为2，由4≤y≤10可知，没有包含，因此x的去取值范围在对称轴的左边，y随x的增大而减小，因此只有当x=t时，y=4，解得t=2，可知x的取值范围。 （3）1≤x≤t时，2≤y≤10。因为y最小值为2，因此明确可知x的取值范围包含了对称轴，所以t＞3，又因为x=1时，y=10，结合增减性和对称性可知，t应不大于5，所以3≤t≤5。 （4）1≤x≤t时，2≤y≤20。因为y最小值为2，因此明确可知x的取值范围包含了对称轴，所以t＞3，又因为x=1时，y=10，结合增减性和对称性可知，只有当x=t时，y=20，解得t=6，可知x的取值范围。 ...... 通过以上不同情况的举例我们发现，想要知道x的取值范围，或知道x的取值范围中字母参数的值，就一定要结合对称轴和x的取值范围位置关系、图象的增减性和对称性等要素综合讨论分析，才能得出结果。 例28 （23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， 故答案为：． 例29 已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标，将x＝0代入解析式求出抛物线与y轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，7）， 把x＝0代入y＝﹣x2+2x+6得y＝6， ∴抛物线经过（0，6）， （0，6）关于对称轴的对称点为（2，6）， ∴1＜m≤2时满足题意， 故答案为：1＜m≤2． 例30 （2023·浙江绍兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上． (1)当时，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的取值范围； (3)若时，函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)的取值范围为 (3)或2 【分析】本题考查了二次函数的性质，求函数值； （1）把点，代入，用表示、，由建立方程解； （2）分别将，，代入，求函数值，即可； （3）二次函数 的对称轴为，①当即时，的函数值最小，②当即时，的函数值最小，③当即时，的函数值最小，分三类讨论． 【详解】（1）解：把点，代入 得，， ， ， ； （2）， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）二次函数 的对称轴为， ①当即时，的函数值最小，， ， 当时，；当时，， ； ②当即时，的函数值最小，，（舍或， ， 当时，；当时，， ； ③当即时，的函数值最小，，，不满足，所以此种情况不存在； 综上，或2． 例31 （24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象经过点，点． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若存在实数，使得，且，求的取值范围； (3)当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值． 【答案】(1)顶点坐标 (2) (3)的值是或 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）当时，把二次函数化为顶点式即可； （2）先计算，用表示，进而可得，分别代入得出关于的不等式组，解不等式即可； （3）根据当时，的值增大，的值先减小再增大，可得点抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧．当时，的最小值是．然后分两种情况讨论的最大值，由该二次函数的最大值与最小值的和为，列出方程求解． 【详解】（1）解：若， 则，顶点坐标； （2）解：把代入得：， 把代入得：． ， ， ， ， ； （3）解：∵二次函数的对称轴为， 当时，随着的值增大，的值先减小再增大， ∴点在抛物线对称轴的左侧， 点在抛物线对称轴的右侧． ∴当时，的最小值是． 若，即的最大值是， ， 解得：（舍去）． 若，即的最大值是， ， 解得：（舍去）． 综上，的值是或． 四、二次函数的应用 1.最值问题中x的取值范围 错误：没有计算x的取值范围的意识，只考虑列式并计算。 注意：应充分读题，提炼条件，关注x在实际应用中的限制，据此求出x的取值范围。结合图象及其性质，求出符合实际要求的最值，并解答实际问题中的最值问题。如：x在实际问题中一般大于0，销售问题中售价x一般大于进价，在点的运动中x表示时间的，一般到终点即停止不会无限大... 例32 （2025·广东东莞·二模）东莞“启航文化”公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件.经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为（万件）；如果每月的销售量（万件）与销售单价（元/件）成一次函数关系． (1)求每月销售量（万件）与销售单价（元/件）之间的函数关系式； (2)根据市场监管部门规定，这种产品的销售利润率不能高于，同时厂家要求这种产品每月的制造成本不能超过900万元．当销售单价为多少元时，厂家每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元 【分析】本题主要考查了二次函数的二次函数的应用、根据实际问题列一次函数关系式、根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． （1）依据题意，根据待定系数法计算可以得解； （2）根据利润=销售量销售单价-成本，代入代数式求出函数关系式；根据厂商每月的制造成本不超过900万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润． 【详解】（1）解：设销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：， 把，代入得， ， 每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：； （2）解：设每月的利润w万元，由题意得， ， ， 商每月的制造成本不超过900万元，每件制造成本为18元， 每月的生产量为：小于等于万件， ， ， 又由销售利润率不能高于，得， ， ， 图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大， 当时，w取最大值，最大值为414万元． 答：当销售单价为27元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为414万元． 2.几何动点中的最值问题 错误：最大的问题是在解决几何问题时，无法根据几何性质列等式，从而列出二次函数表达式来。比如利用勾股定理表示线段长，用时间t的代数式分别表示出相关线段的长，再列出面积相关的二次函数表达式。 注意：学会用未知数x表示相关几何线段、角的代数式。比如动点问题，当函数值y表示三角形的面积时，就要用时间t分别表示出该三角形底边的代数式，高的代数式，然后用面积公式列出二次函数，同时注意t的取值范围（有的时间里没有构造的三角形，有的时间里三角形面积的列式方式不一样）。 例33 （2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 3.经营问题中列式时要考虑的多项收入或支出 错误：在计算函数值利润时，列式是所有销售收入－所有消耗成本和进货成本，很多时候往往会漏掉比如消耗成本，比如每天人工的成本，也有比如涉及到销售收入的低价促销获益，或者补贴等等。 注意：应该充分读题，将所有题干条件分门别类并表示出其值，在最终列式时避免遗漏。 例34 （2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： （棵） 10 40 （元） 4920 7920 (1)求出关于，关于的函数关系式； (2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？ 【答案】(1)，； (2)当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入总支出的关系式和待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可；利用利润=总收入-总支出得到，再利用待定系数法解答即可； （2）设每年的总利润为W元，则，利用题意得到W与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵当时，元， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， 由表格可得：当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设每年的总利润为W元，则， 由题意：， ∴ ， ∵， ∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线， ∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元， ∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元． 4.抛球问题中确定特定位置物体的高度的问题 错误：没有数形结合的意识，尤其是无法将实际问题转化成二次函数图象中要解决的数学问题。 注意：我们在前面讨论过，实际问题要问的问题，要能解读成二次函数图象上的问题，具体有： （1）要求某处物体高度，就是二次函数图象中，该处横坐标代入解得y的值，再翻译成实际问题中的高度，并解决问题。 （2）在（1）的基础上，若要求该处物体是否通过某个高度，只要求出y的值，与实际问题中的高度进行比较即可。常见于解决排球、乒乓球过网，足球进门等问题。 （3）实际问题中的最高点即图象的顶点。 例35 （2024·浙江杭州·二模）问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 【答案】(1)扣球：，吊球： (2)① ② (3) 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，再利用待定系数法可得吊球时的函数解析式； （2）①把代入可得的高度；②把代入，再进一步求解即可； （3）依题意，即接球点的临界坐标为 和 ，结合表格高远球最大高度与a值大小关系设出对应临界值的顶点式，代入接球点的临界坐标解之即可得出范围． 【详解】（1）解：∵扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． ∴，解得， ∴一次函数解析式为； 当时，， 则点P的坐标为， ∵当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 设抛物线为：， ∴， 解得； ∴； （2）解：①当时，． ∴球网的高度为； ②当时，， ，（舍） 落地点到球网的距离：； （3）解：由题意可得：接球点的临界坐标为 和 ； 接球点为时，若最大高度为，a为最小， 设， ∴， ∴ 接球点为时，若最大高度为，a为最大 设， ∴ 解得：， 则a的范围是 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：，， 由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数， 故选：C． 2．（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意， ∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴ 故选：D． 4．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 5．（24-25九年级下·河南周口·期中）九年级同学在研究某种化学试剂的挥发情况时，发现可以用数学的相关知识解决问题．小组同学在A，B两种不同的场景下做对比实验，得到该试剂在挥发过程中剩余质量 (克)随时间x(分钟)变化的数据．他们建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，剩余质量为纵坐标，在坐标系内描出对应点，得到如图所示的图象，下面判断错误的是（   ） A．是关于x的二次函数 B．是关于x的一次函数 C．当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间 D．10分钟时，A场景剩余质量小于 B 场景剩余质量 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与二次函数图象的识别，根据函数图象所给的信息逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，是关于x的二次函数，是关于x的一次函数，故A、B都正确，不符合题意； 由函数图象可知，当时，A场景用的时间大于 B 场景用的时间，故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，10分钟时，A场景剩余质量大于 B 场景剩余质量，故D错误，符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得到对称轴为直线，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，且距离对称轴越远，函数值越大， ∴． 故选：B． 7．（24-25九年级上·重庆永川·期中）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后停下来滑行的距离是（   ） A．200 B．400 C．600 D．800 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机滑行距离的函数为二次函数，其最大值对应飞机停下来的总滑行距离．通过将二次函数配方成顶点式，可求出最大值． 【详解】解： ∵ 代入得： ∵二次项系数，抛物线开口向下， ∴顶点为最大值点， 当秒时，滑行距离最大，即飞机停下来的总距离为米． 故选：C 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 9．（2025·四川广元·三模）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于x的方程一定有两个不相等的实数根； ⑤． 其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系．由抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，结合点的坐标特点逐一分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴，，故①②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故④正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故⑤错误， 故选：C． 10．（2025·河北石家庄·模拟预测）一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：C． 11．（24-25九年级下·浙江·假期作业）若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 12．（2025·广东广州·二模）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，求二次函数解析式时,要根据条件选择简单的形式求解．①已知三点时，设一般式：（）；②已知顶点和一点时，设顶点式：（），其中顶点为，a为待定系数；③已知与x轴的两交点时，设交点式：（），其中分别为两交点的横坐标，a为待定系数． 已知顶点，一般应该设抛物线解析式的顶点式，只需要求待定系数a的值即可确定解析式． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴， 又由二次函数图象与轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程，由一元二次方程根的判别式可得，再利用二次函数解析式可得，点到轴的距离为，由为直角三角形，点关于对称轴对称，可得为等腰直角三角形，即得，列出方程解答即可求解，由二次函数的性质判断出为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∵抛物线， ∴抛物线与轴交点的横坐标为，顶点的纵坐标为， ∴，点到轴的距离为， ∵为直角三角形，点关于对称轴对称， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 15．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象上有两点，当时，始终有，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意知，对称轴为直线，当或时，，由，得到函数值离对称轴越远函数值越小．可分①恒成立，则；②恒成立，则；然后进行作答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ∵在抛物线上， ∴当或时，， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小． 分类讨论：①恒成立，则， ∴； ②恒成立，则． ∴．即． 综上所述．m的取值范围是或． 故答案为：或． 16．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为 m． 【答案】0.3 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可． 【详解】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得，     解得， ∴y与x之间的函数表达式为， 当时，， 即的长为， 故答案为：0.3． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 18．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点是抛物线上的一点． (1)求的值； (2)若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）先表示平移后的函数解析式，再代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； （2）解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴经过平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得． 19．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． (1)若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ (2)当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 【答案】(1)5米 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用， 对于（1），解：设，则，根据面积相等列出方程，求出解，再根据题意可得符合题意的解； 对于（2），设，则，可得二次函数，再求出a的取值范围，然后讨论二次函数的最大值即可. 【详解】（1）解：设，则，根据题意，得 ， 整理，得， 解得. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 所以围栏段的长为5米； （2）解：设，则，种植园的面积为S， 根据题意，得，且， 即. ∵，可知抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，（）. 所以当时，种植园的最大面积是， . 20．（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为． 21．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴的左侧， ∴关于的对称点为， ∴， ∵，， ∴或， 解得：或． 22．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②抛物线与轴的交点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）①运用待定系数法求解即可； ②由①得，令，即，解方程即可； （2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：①把点代入 中， 得 解得 ②由题意得抛物线的表达式为． 令，即， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为 （2）解：点， ， 点的坐标为， 拋物线开口向下， 将点代入得 ，解得． 将点代入得 ，解得． 抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是 23．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）恩施州为响应国家号召，各单位均安排党员干部下沉村、社区，参加扶贫工作，这些干部队伍俗称“尖刀班”．某“尖刀班”发现其帮扶村盛产的茶叶和土豆滞销，为了尽快将农产品销售出去，“尖刀班”通过网络平台将产品销往全国．相关信息如表： 商品 规格 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 茶叶 /袋 40 60 土豆 /袋 38 53 已知销售表中规格的茶叶和土豆共1000袋，其中茶叶不少于300袋，土豆不少于400袋．设销售茶叶x袋，销售茶叶和土豆获得的总利润为y元． (1)求y（元）与x（袋）之间的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)销售完这批茶叶和土豆，至少可获得多少元的利润？ (3)因该村有部分特困户，“尖刀班”与村委会讨论决定，每销售一袋茶叶提取m元作为帮扶特困户的爱心基金．如果，求销售完这批茶叶和土豆，扣除爱心基金后的最大利润．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)至少可获得16500元的利润． (3)． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用在，掌握二次函数的增减性是解题关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据二次函数的增减性求最值即可； （3）设扣除爱心基金后的利润为元．根据题意，得，再利用二次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：中，， 随增大而增大． 当时，有最小值，． 销售完这批茶叶和土豆，至少可获得16500元的利润． （3）解：设扣除爱心基金后的利润为元． 根据题意，得． ， ，随增大而减小． ， 当时，有最大值，． 扣除爱心基金后的最大利润是． 24．（2025·浙江·模拟预测）二次函数的图象经过点． (1)求的值． (2)当时，该函数的最大值减去最小值的差为，当时，该函数的最大值减去最小值的差为． ①若，求的取值范围； ②是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)①；②不存在，见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用待定系数法，将代入函数解析式即可求出； （2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； ②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的、即可比较即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）① 抛物线的开口方向向上，对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， 当时，最小，； 当时，最大，． ∴当时，时，恰好函数的最大值4和最小值的差为． 当时，． ∴当时，y随x的增大而增大，且， 此时，的值保持不变，始终等于， ∴m的取值范围是 ②设时的函数值为，时的函数值为， I．当时，即，则必有， 对应的最大值都是．对应的最小值分别为，， 此时；， ∴ II．当时，，则必有，， 对应的最大值都是． 当时的最小值为，当时的最小值为， 此时；， ∴； III．当时，必有， 对应的最大值都是．对应的最小值都是． 此时； IV．当时，必有， 它们对应的最小值都是．当时的最大值为，当时的最大值为， 此时；， ∴ V.当时，必有，对应的最小值都是．对应的最大值分别为，， 此时；， ∴ 综上所述，不存在． 2 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$