专题 二次函数的综合题专训之等腰直角三角形的存在性问题（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合专训（五） ---等腰直角三角形的存在性问题 等腰直角三角形是等腰三角形和直角三角形的一个结合，是介于等腰三角形和直角三角形的一个综合体，等腰三角形的本质是找等腰，找三角形中相等的线段，直角三角形的本质是找直角，找三角形中垂直的线段，因此等腰直角三角形问题本质上是找线段相等且互相垂直的线段。 ●●解决二次函数等腰直角三角形存在性问题的方法： 1、分类：不管是哪种类型的等腰直角三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角. 2、构造K型全等三角形. 3、直角坐标系中的等腰直角三角形，两种常见辅助线作法： 1．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标． 2．（2023秋•东明县校级期末）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于C点． （1）求此二次函数解析式和点C的坐标； （2）动点P在二次函数y＝x2+bx+c图象上，且位于第一象限，过点P作PH垂直x轴于点H，连接PA，是否存在点P使△PAH为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求出抛物线L的解析式和顶点坐标． （2）点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L′，则C关于直线PQ的对称点为C′，若△PCC′为等腰直角三角形，求出抛物线L′的解析式． 4．（2023•藤县一模）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，过点A的直线y＝x+1与抛物线相交于另一点D． （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）点P为抛物线上一动点，点E为直线AD上一动点，求以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时点P的坐标． 5．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B，与y轴交于点C． ①在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△BCP为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； ②抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当△ONM是以∠ONM为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 6．（2023•泰山区一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t时，求△DNB的面积； （3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标． 7．如图，抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0）和C （2，3），顶点为D． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）连接AD，CD，判断△ACD的形状； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得△CDE为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2） （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求S△ACE的最大值，并求S△ACE取得最大值时x的值； （3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 9．（2023秋•西山区校级期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线段PD长度的最大值； （3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2023•阜新模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A和点C，与x轴交于点B． （1）求这个二次函数的表达式； （2）抛物线对称轴与直线AC交于点D，若P是直线AC上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求△PAD面积的最大值； （3）点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得△ANM是以AN为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2023•宿迁一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求函数表达式及顶点坐标； （2）连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH＝2HQ时，求点P的坐标； （3）是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024•吉安县校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2﹣x﹣2和C2：y＝nx2﹣x﹣2的开口都向上，C1，C2与y轴相交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线C1相交于点B，与抛物线C2相交于点E，点B在线段AE上（点E不与点B重合）．抛物线C1的顶点为P，抛物线C2的顶点为Q． （1）若m＝1，求点P的坐标． （2）若△OAB为等腰直角三角形 ①求m的值； ②F为AB的中点，当FQ∥OB时，求n的值． （3）请判断点A，点P，点Q是否在同一条直线上，若是，请求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 13．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求b、c的值． （2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC． （1）求点B、D的坐标； （2）在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得△BEC的面积是△BCD面积的倍． ①求直线BE的函数表达式； ②设直线BE交y轴于点M，点P在线段BM上运动，点Q在射线AM上运动，是否存在这样的点P、Q，使得△OPQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2023•越秀区校级三模）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6． （1）试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A． （2）设该抛物线与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当△ABC为直角三角形时，求m的值． （3）在（2）的条件下，若点B在A的右侧，点D（0，3），点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠EDF＝90°，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与x轴交于A、B两点，且点B坐标为（3，0）与y轴交于点C，已知对称轴x＝1． （1）求抛物线L的解析式； （2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围： （3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标：若不能，请说明理由． 17．如图，一次函数y＝﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线yx2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点E，使点E到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点E的坐标； （3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．（2023春•巫山县期中）如图①，已知抛物线yx2x﹣3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．顶点为D． （1）求出点A，B，D的坐标； （2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC，当四边形O′B′DC的周长有最小值时，在第四象限找一点P，使得△PB′D的面积最大？并求出此时P点的坐标； （3）如图②，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．是否存在一点N，使△CMN为等腰直角三角形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 19．（2023•元宝山区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB≌△CDA，且OA＝1，B（0，2），抛物线y＝ax2+ax﹣4a经过点C． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在一点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若x轴上有一点E的横坐标为2a，过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，抛物线对称轴与x轴交于点G，Q为抛物线（对称轴的左侧）上一动点，是否存在点Q使GF为∠EFQ的平分线？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2023秋•新市区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC＝3OA，直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方抛物线上的动点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标； （2）连接PA、PD，当m为何值时，； （3）在直线AD上是否存在一点H使△PQH为等腰直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，不存在请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合专训（五） ---等腰直角三角形的存在性问题 等腰直角三角形是等腰三角形和直角三角形的一个结合，是介于等腰三角形和直角三角形的一个综合体，等腰三角形的本质是找等腰，找三角形中相等的线段，直角三角形的本质是找直角，找三角形中垂直的线段，因此等腰直角三角形问题本质上是找线段相等且互相垂直的线段。 ●●解决二次函数等腰直角三角形存在性问题的方法： 1、分类：不管是哪种类型的等腰直角三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角. 2、构造K型全等三角形. 3、直角坐标系中的等腰直角三角形，两种常见辅助线作法： 1．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标． 【分析】（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，即可求解； （2）由BM的值得出M的坐标M（2t﹣1，0），因此设P（2t﹣1，m），由勾股定理PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，PB＝PC，则（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，再利用勾股定理列出方程，解得t＝1或t＝2，代入求值即得到答案． 【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2， ∴a，b， ∴yx2x+2； （2）∵BM＝5﹣2t， ∴M（2t﹣1，0）， 设P（2t﹣1，m）， ∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2， ∵PB＝PC， ∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2， ∴m＝4t﹣5， ∴P（2t﹣1，4t﹣5）， ∵PC⊥PB， ∴1， ∴t＝1或t＝2， ∴M（1，0）或M（3，0）， ∴D（1，3）或D（3，2）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；要求学生能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质． 2．（2023秋•东明县校级期末）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于C点． （1）求此二次函数解析式和点C的坐标； （2）动点P在二次函数y＝x2+bx+c图象上，且位于第一象限，过点P作PH垂直x轴于点H，连接PA，是否存在点P使△PAH为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用两根式子，解决问题可得结论； （2）设P（x，x2﹣x﹣2），根据AH＝PH，构建方程求解可得结论． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点， ∴二次函数为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）； （2）假设存在，如图，过点P作PH⊥AB于H． ∵△PAH为等腰直角三角形， ∴∠PAH＝∠APH＝45°， ∴AH＝PH， 设P（x，x2﹣x﹣2）， ∴AH＝x+1，PH＝x2﹣x﹣2， ∴x+1＝x2﹣x﹣2，即x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∵P位于第一象限，则x＝﹣1舍去， ∴P（3，4）， 【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求出抛物线L的解析式和顶点坐标． （2）点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L′，则C关于直线PQ的对称点为C′，若△PCC′为等腰直角三角形，求出抛物线L′的解析式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当△PCC′为等腰直角三角形时，则PN＝CN＝C′N，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）由抛物线的表达式知，其顶点为：（2，﹣1）， 如下图，设CC′交PQ于点N， 若△PCC′为等腰直角三角形时， 则PN＝CN＝C′N， 设点P（x，x2﹣4x+3）， 则x＝x2﹣4x+3﹣3， 解得：x＝0（舍去）或5， 即点P的横坐标为5， 而原抛物线的对称轴为直线x＝2， 则新抛物线的对称轴为直线x＝2+3+3＝8， 则新抛物线的顶点坐标为：（8，﹣1）， 则抛物线L′的解析式为：y＝（x﹣8）2﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的对称、等腰直角三角形的性质等，综合性强，难度适中． 4．（2023•藤县一模）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，过点A的直线y＝x+1与抛物线相交于另一点D． （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）点P为抛物线上一动点，点E为直线AD上一动点，求以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时点P的坐标． 【分析】（1）令x＝0，求出y，可得出点C的坐标；令y＝0，求出x，可求出点A，B的坐标； （2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C， ∴令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝﹣1或3； ∴C（0，﹣3）；A（﹣1，0）；B（3，0）． （2）存在． 设直线AD与y轴于点F， 令x＝0，则y＝1， ∴F（0，1）． ∴OA＝OF是等腰直角三角形， ∴∠FAO＝∠AFO＝45°． 当△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形： ①以点A为直角顶点． 如图1，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点G． ∵PA⊥AD，则△OFG为等腰直角三角形， ∴OG＝1，G（0，﹣1）． ∴直线AG的解析式为：y＝﹣x﹣1． 将y＝﹣x﹣1代入抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3得，x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1， 解得x＝﹣1（舍）或x＝2． 当x＝2时，y＝﹣x﹣1＝﹣3， ∴P（2，﹣3）； ②以点P为直角顶点． 此时∠PAE＝45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上． 过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在； 因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合． ∴P（3，0）； ③以点E为直角顶点．此时∠EAP＝45°， 由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上，即P（3，0）； 综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（2，﹣3）或（3，0）． 【点评】本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想． 5．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B，与y轴交于点C． ①在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△BCP为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； ②抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当△ONM是以∠ONM为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 【分析】①由抛物线y＝x2﹣2x﹣3得出点A、B、C的坐标以及抛物线的对称轴，设点P（1，p），分三种情况，根据等腰三角形的性质即可求出P点坐标； ②过点N分别作ND⊥x轴于D，NE⊥y轴于E，证明△NDO≌△NEM（AAS），ND＝NE，即可求解． 【解答】解：①∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3， 当x＝0时，y＝﹣3， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 设点P（1，p）， ∴PB2＝（3﹣1）2+p2＝4+p2， PC2＝（p+3）2+12＝p2+6p+10， BC2＝32+32＝18， Ⅰ当PB＝PC时， 4+p2＝p2+6p+10， 解得p＝﹣1， ∴P点坐标为（1，﹣1）； Ⅱ当PB＝BC时， 4+p2＝18， 解得p＝±， ∴P点坐标为（1，）或（1，）； Ⅲ当PC＝BC时， p2+6p+10＝18， 解得p＝﹣3±， ∴P点坐标为（1，﹣3）或（1，﹣3）； 综上所述，P点坐标为（1，﹣1）或（1，）或（1，）或（1，﹣3）或（1，﹣3）； ②过点N分别作ND⊥x轴于D，NE⊥y轴于E， ∴四边形OEND是矩形，∠NDO＝∠NEM＝90°， ∴∠DNE＝90°， ∵△ONM是以∠ONM为直角的等腰直角三角形， ∴∠ONM＝90°，ON＝MN， ∴∠ONE+∠ENM＝∠ONE+∠DNO＝90°， ∴∠DNO＝∠ENM， ∴△NDO≌△NEM（AAS）， ∴ND＝NE， ∵点N是抛物线y＝x2﹣2x﹣3上一动点， ∴设N点坐标为（x，x2﹣2x﹣3）， ∴|x|＝|x2﹣2x﹣3|， 解得x或， ∴N点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 6．（2023•泰山区一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t时，求△DNB的面积； （3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标． 【分析】（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，即可求解； （2）△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积MB×DMMB×MN，即可求解； （3）PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，PB＝PC，则（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，且PC⊥PB，1，即可求解． 【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2， ∴a，b， ∴yx2x+2； （2）C（0，2）， ∴BC的直线解析式为yx+2， 当t时，AM＝3， ∵AB＝5， ∴MB＝2， ∴M（2，0），N（2，1），D（2，3）， ∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积MB×DMMB×MN2×2＝2； （3）∵BM＝5﹣2t， ∴M（2t﹣1，0）， 设P（2t﹣1，m）， ∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2， ∵PB＝PC， ∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2， ∴m＝4t﹣5， ∴P（2t﹣1，4t﹣5）， ∵PC⊥PB， ∴1 ∴t＝1或t＝2， ∴M（1，0）或M（3，0）， ∴D（1，3）或D（3，2）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；要求学生能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质． 7．如图，抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0）和C （2，3），顶点为D． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）连接AD，CD，判断△ACD的形状； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得△CDE为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y＝x+1； （2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，得顶点D（1，4），即可得AC2+CD2＝AD2，故△ACD是直角三角形； （3）设E（1，m），可得CE2＝1+（m﹣3）2，DE2＝（m﹣4）2，CD2＝2，分三种情况：①若CE为斜边，则1+（m﹣3）2＝（m﹣4）2+2，m＝4，此时DE＝0，不符合题意；②若DE为斜边，m＝2，此时CECD，△CDE为等腰直角三角形，E（1，2）；③若CD为斜边，可得m＝3或m＝4，即知E（1，3）． 【解答】解：（1）由抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0）设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C （2，3）代入得3＝﹣2a， 解得a＝﹣1， ∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； 设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），C （2，3）代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+1； （2）△ACD是直角三角形，理由如下： ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D（1，4）， ∵A（﹣1，0），C （2，3）， ∴AC2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2＝18，AD2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣4）2＝20，CD2＝（2﹣1）2+（3﹣4）2＝2， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形； （3）存在一点E，使得△CDE为等腰直角三角形，理由如下： ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1， 设E（1，m）， ∵C （2，3），D（1，4）， ∴CE2＝1+（m﹣3）2，DE2＝（m﹣4）2，CD2＝2， ①若CE为斜边，则1+（m﹣3）2＝（m﹣4）2+2， 解得m＝4， 此时DE＝0，不符合题意； ②若DE为斜边，（m﹣4）2＝1+（m﹣3）2+2， 解得m＝2， 此时CECD， ∴△CDE为等腰直角三角形， 即m＝2满足条件，E（1，2）； ③若CD为斜边，则（m﹣4）2+1+（m﹣3）2＝2， 解得m＝3或m＝4， 当m＝3时，CE＝1＝DE，此时△CDE为等腰直角三角形， ∴m＝3满足条件，E（1，3）， 当m＝4时，DE＝0不符合题意； 综上所述，E的坐标为（1，2）或（1，3）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形及等腰直角三角形的性质及判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 8．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2） （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求S△ACE的最大值，并求S△ACE取得最大值时x的值； （3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）作ED⊥y轴，设点E（x，x2x+2），表示出DE、DO、DC的长，根据S△ACE＝S梯形AODE﹣S△AOC﹣S△DCE列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出最值情况； （3）若要使△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形，则点P在线段AC的中垂线上，据此可先求出线段AC中垂线的解析式，结合二次函数解析式从而求得中垂线与抛物线的交点坐标，再根据勾股定理逆定理判断此时的交点能否使△ACP是以AC为斜边的直角三角形，从而得出答案． 【解答】解：（1）将点A（4，0），C（0，2）代入yx2+bx+c， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：yx2x+2； （2）如图1，过点E作ED⊥y轴于点D， 设点E（x，x2x+2）， 则DE＝x，DOx2x+2，DCx2x+2﹣2x2x， ∴S△ACE＝S梯形AODE﹣S△AOC﹣S△DCE （x+4）（x2x+2）x（x2x）4×2 ＝﹣x2+4x ＝﹣（x﹣2）2+4， 则当x＝2时，S△ACE取得最大值4； （3）不存在， 如图2， ∵点A（4，0）、C（0，2）， ∴AC的中点F的坐标为（2，1）， 设BC所在直线解析式为y＝kx+b， 将点A（4，0）、C（0，2）代入，得：， 解得：， ∴直线AC的解析式为yx+2， ∴AC的中垂线的解析式为y﹣1＝2（x﹣2），即y＝2x﹣3， 由得或， 若点P坐标为（，4）， ∵PA2+PC2＝（4）2+（4）2+（0）2+（24）2＝175﹣25，AC2＝20， ∴PA2+PC2≠AC2，即△ABP不是等腰直角三角形，舍去； 若点P坐标为（，4）， ∵PA2+PC2＝（4）2+（4）2+（0）2+（24）2＝175+25，AC2＝20， ∴PA2+PC2≠AC2，即△ABP不是等腰直角三角形，舍去； 综上，这样的点P不存在． 【点评】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键． 9．（2023秋•西山区校级期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线段PD长度的最大值； （3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣3），PD＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣3）＝﹣t2+t+6，即可求解； （3）证明△APD≌△FAO（AAS），得到PD＝OA，AD＝OF，进而求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0）， ∴，解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点D， 设直线AF的解析式为y＝kx+d， 由A（3，0），F（0，﹣3）的坐标得，直线AF的表达式为：y＝x﹣3， 设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣3）， ∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣3）＝﹣t2+t+6＝﹣（t）2，， ∴当t时，PD最大值为； （3）存在，理由： 设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n）， ∵A（3，0）， ∴OA＝3，OF＝|n|， 如图2，过点P作PD⊥x轴于点D， 则∠ADP＝90°＝∠AOF， ∴∠PAD+∠APD＝90°， ∵∠PAD+∠FAO＝90°， ∴∠APD＝∠FAO， 在△APD和△FAO中， ， ∴△APD≌△FAO（AAS）， ∴PD＝OA，AD＝OF， ∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m， ∴﹣m2+2m+3＝3， 解得：m＝0或2， 当m＝0时，P（0，3），AD＝3， ∴OF＝3，即|n|＝3， ∵点F在y的负半轴上， ∴n＝﹣3， ∴F（0，﹣3）； 当m＝2时，P（2，3），AD＝1， ∴OF＝1，即|n|＝1， ∵点F在y的负半轴上， ∴n＝﹣1， ∴F（0，﹣1）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，等腰直角三角形的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 10．（2023•阜新模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A和点C，与x轴交于点B． （1）求这个二次函数的表达式； （2）抛物线对称轴与直线AC交于点D，若P是直线AC上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求△PAD面积的最大值； （3）点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得△ANM是以AN为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得点A，C的坐标，再用待定系数法可得y＝﹣x2﹣3x+4； （2）过P作PK∥y轴交AC于K，求出y＝﹣x2﹣3x+4的对称轴直线，，设P（m，﹣m2﹣3m+4），则K（m，m+4），利用三角形面积公式可得关于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）设N（t，﹣t2﹣3t+4），分∠ANM＝90°，AN＝MN和∠MAN＝90°，AM＝AN，两种情况列方程可解得答案． 【解答】解：（1）对于直线y＝x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4；∴A（﹣4，0），C（0，4），把A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴y＝﹣x2﹣3x+4； （2）过P作PK∥y轴交AC于K，如图1： 在y＝﹣x2﹣3x+4中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设P（m，﹣m2﹣3m+4），则K（m，m+4）， ∴PK＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m， ∴ ， ∵， ∴当m＝﹣2时，S△AED取最大值为5； ∴△PAD面积的最大值为5； （3）x轴上方的抛物线上存在点N，使得△ANM是以AN为直角边的等腰直角三角形，理由如下： ∵A（﹣4，0），对称轴为直线， 设N（t，﹣t2﹣3t+4）， 当∠ANM＝90°，AN＝MN，过点N作x轴的平行线交对称轴于点F，过点A作y轴的平行线交NF于点E，如图2， ∴∠ANE＝90°﹣∠FNM＝∠NMF， ∴△ANE≌△NMF（AAS）， ∴AE＝NF，EN＝FM， ∴， 整理得， 解得， ∴点N坐标为或； 当∠MAN＝90°，AM＝AN，过点N作x轴的垂线交x轴于点F，对称轴直线交x轴于点E，如图3， 同理△AME≌△NAF，则AE＝NF，即， 整理得， 解得， ∴点N坐标为或； 综上，点N坐标为或或或． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 11．（2023•宿迁一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求函数表达式及顶点坐标； （2）连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH＝2HQ时，求点P的坐标； （3）是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A（4，0）、B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，列方程组并且解该方程组求出a、b的值，即得到该函数表达式为y＝﹣x2+3x+4；再将该函数表达式配方成顶点式，即得到该抛物线的顶点坐标为（，）； （2）先求得直线AC的函数表达式为y＝﹣x+4，设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则H（x，﹣x+4），再由PH＝2HQ，得﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝2（﹣x+4），求得符合题意的x的值为2，则P（2，6）； （3）设M（n，﹣n2+3n+4），过点M分别作x轴、直线x的垂线，垂足分别为点J、点I，可证明△MIN≌△MJB，得MI＝MJ，再分两种情况列方程，一是点M的横、纵坐标相等，则nn2+3n+4；二是点M的横、纵坐标互为相反数，则n＝﹣n2+3n+4，解方程求出相应的n值及点M的坐标即可． 【解答】解：（1）把A（4，0）、B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4， 得，解得， ∴该函数表达式为y＝﹣x2+3x+4； ∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2， ∴该抛物线的顶点坐标为（，）． （2）如图1，抛物线y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， 设直线AC的函数表达式为y＝mx+4，则4m+4＝0， 解得m＝﹣1， ∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x+4， 设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则H（x，﹣x+4）， ∵PH＝2HQ， ∴﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝2（﹣x+4）， 解得x1＝2，x2＝4（不符合题意，舍去）， ∴点P的坐标为（2，6）． （3）存在， 由（1）得，抛物线的对称轴为直线x， 设直线x交x轴于点D， 设M（n，﹣n2+3n+4）， 过点M分别作x轴、直线x的垂线，垂足分别为点J、点I， ∵∠IDJ＝∠DIM＝∠DJM＝90°， ∴∠IMJ＝90°， ∵∠NMB＝90， ∴∠IMN＝∠JMB＝90°﹣∠IMB， ∵∠MIN＝∠MJB＝90°，MN＝MB， ∴△MIN≌△MJB（AAS）， ∴MI＝MJ， 如图2、图3，点M的横、纵坐标相等， ∴nn2+3n+4，解得n1，n2， ∴点M的坐标为（，）或（，）； 如图4，图5，点M的横、纵坐标互为相反数， ∴n＝﹣n2+3n+4，解得n1；n2， ∴点M的坐标为（，）或（，）， 综上所述，点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 12．（2024•吉安县校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2﹣x﹣2和C2：y＝nx2﹣x﹣2的开口都向上，C1，C2与y轴相交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线C1相交于点B，与抛物线C2相交于点E，点B在线段AE上（点E不与点B重合）．抛物线C1的顶点为P，抛物线C2的顶点为Q． （1）若m＝1，求点P的坐标． （2）若△OAB为等腰直角三角形 ①求m的值； ②F为AB的中点，当FQ∥OB时，求n的值． （3）请判断点A，点P，点Q是否在同一条直线上，若是，请求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【分析】（1）先得出当m＝1时，抛物线C1的解析式，将其化为顶点式，即可解答； （2）①先求出A（0，﹣2），再求出y＝﹣2时x的值，得出，根据等腰三角形的定义得出AB＝OA＝2，即可解答；②如图，过点Q作QH⊥AB，垂足为H，根据平行线的性质得出∠QFH＝45°，则FH＝QH，将抛物线C2的解析式化为顶点式，得出抛物线C2的顶点Q的坐标为，进而得出，，即可列出方程求解； （3）点A，点P，点Q在同一条直线上．将抛物线C2的解析式化为，设点Q的横坐标为t，纵坐标为s，得出，，则．即可推出点P，点Q都在直线．令x＝0，得y＝﹣2，则点A在直线PQ上，即可得出结论． 【解答】解：（1）当m＝1时，抛物线C1的解析式为， ∴点P的坐标为． （2）①在y＝mx2﹣x﹣2中，令x＝0，得y＝﹣2， ∴A（0，﹣2）； 令y＝﹣2，得mx2﹣x﹣2＝﹣2， 解得x1＝0，， ∴． ∵△OAB为等腰直角三角形，OA＝2， ∴AB＝OA＝2， ∴， 解得． ②如图，过点Q作QH⊥AB，垂足为H， ∴∠FHQ＝90°． ∵∠ABO＝45°，FQ∥OB， ∴∠QFH＝45°， ∴FH＝QH． 由①得AB＝2，且F是AB的中点， ∴AF＝1． ∵抛物线C2的解析式为， ∴抛物线C2的顶点Q的坐标为， ∴，． ∵FH＝QH， ∴， 解得． （3）点A，点P，点Q在同一条直线上． ∵， ∴， ∴设点Q的横坐标为t，纵坐标为s， ∴，， ∴． ∵， ∴点P，点Q都在直线． 令x＝0，得y＝﹣2， ∴点A在直线PQ上， ∴点A，点P，点Q在同一条直线上，该直线的解析式为． 【点评】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． 13．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求b、c的值． （2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作PH⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0）， 则 ， 解得：； （2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0）， ∴△OAC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 由点P的运动可知：APt， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图， ∴AH＝PHt，即H（3﹣t，0）， 又Q（﹣1+t，0）， ∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ （t﹣2）2+4， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC，AB＝4， ∴0≤t≤3， ∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4； （3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP． ∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°， ∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°， ∴∠PMF＝∠QPE， 在△PFM和△QEP中， ， ∴△PFM≌△QEP（AAS）， ∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t， ∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t， 又OE＝3﹣t， ∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t）， ∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上， ∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3， 解得：t或（舍）， ∴M点的坐标为（，）． 【点评】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 14．如图，抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC． （1）求点B、D的坐标； （2）在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得△BEC的面积是△BCD面积的倍． ①求直线BE的函数表达式； ②设直线BE交y轴于点M，点P在线段BM上运动，点Q在射线AM上运动，是否存在这样的点P、Q，使得△OPQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意C（0，3a），推出OC＝﹣3a，由OB＝OC，可得B（﹣3a，0），把B（﹣3a，0）代入y＝x2+2ax+3a得0＝9a2﹣6a2+3a＝0，解得a＝﹣1或0（舍弃），可得抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，由此即可解决问题． （2）①如图1中，设E（m，m2﹣2m﹣3），作PB⊥OB，PC⊥OC，连接PE，OD．想办法构建方程，求出点E的坐标即可解决问题． ②存在．如图2中，设P（n，n）．作PH⊥OB于H，QE⊥HP于E．由△OPH≌△PQE，可知OH＝PE＝n，EQ＝PHn，推出Q（n，n），把点Q坐标代入直线AM的解析式为yx，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意C（0，3a）， ∴OC＝﹣3a， ∵OB＝OC， ∴B（﹣3a，0），把B（﹣3a，0）代入y＝x2+2ax+3a得0＝9a2﹣6a2+3a＝0，解得a＝﹣1或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴B（3，0），D（1，﹣4）． （2）①如图1中，设E（m，m2﹣2m﹣3），作PB⊥OB，PC⊥OC，连接PE，OD． 由（1）可知B（3，0），C（0，﹣3），P（3，﹣3）， ∴S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC•3•1•3•4•3•3＝3， 由题意S△EBC＝3•， ∴S△EPC+S△EPB﹣S△PBC， ∴•3•（m2﹣2m）•3•（3﹣m）， 整理得4m2﹣12m﹣27＝0， 解得m或， ∴E（，）， 设直线BE的解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线BE的解析式为yx． （3）存在．如图2中，设P（n，n）．作PH⊥OB于H，QE⊥HP于E． ∵A（﹣1，0），M（0，）， ∴直线AM的解析式为yx， ∵△POQ是等腰直角三角形， ∴OP＝PQ，∠OPQ＝90°，则△OPH≌△PQE， ∴OH＝PE＝n，EQ＝PHn， 易知Q（n，n）， 把点Q坐标代入直线AM的解析式为yx，得到n（n）， 解得n． 此时点P坐标（，）． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用此时构建方程解决问题，属于中考压轴题． 15．（2023•越秀区校级三模）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6． （1）试说明：不论m取任何实数，该抛物线都经过x轴上的定点A． （2）设该抛物线与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当△ABC为直角三角形时，求m的值． （3）在（2）的条件下，若点B在A的右侧，点D（0，3），点E是抛物线上的一点．问：在x轴上是否存在一点F，使得以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠EDF＝90°，若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当x＝2时，得出y的值为固定值，即可说明抛物线过定点A； （2）由抛物线的性质知只有∠ACB有可能是直角，根据题意列出关于m的方程，求出m即可； （3）先确定抛物线的解析式，然后设出点E的坐标和点F的坐标，根据等腰直角三角形的性质及∠EDF＝90°列出关于点F的坐标的关系式，即可求出F的坐标． 【解答】解：（1）取x＝2，则y＝22﹣（2m﹣1）×2+4m﹣6＝0， ∴抛物线过x轴上定点A（2，0）； （2）∵当y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6＝（x﹣2）（x﹣2m+3）＝0时， 有x＝2或x＝2m﹣3， ∴点B（2m﹣3，0）， ∴抛物线的对称轴为x＝m， 当x＝m时，y＝（2）（2m+3）， ∴C（m，）， ∵△ABC为直角三角形， ∴∠ACB＝90°， 又∵AC＝BC， ∴|2m﹣3﹣2|＝2， 解得m或m或m 当m时，A与B重合， ∴m舍去， ∴m， ∴m或m； （3）∵点B在A的右侧， ∴2m﹣3＞2， 解得m， ∴m， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+8， 设E（x，x2﹣6x+8），F（n，0）（n＜0）， 又∵以D，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠EDF＝90°， 如图，过点D作HK平行x轴，HF⊥x轴于点F，KE⊥x轴， ∵∠FDE＝90°， ∴∠FDH+∠KDE＝90°， 又∵∠FDH+∠HFD＝90°， 在△DHF和△EKD中， ， ∴△DHF≌△EKD（AAS）， ∴HF＝DK＝3，HD＝KE＝﹣n， ∴E到x轴的距离为3， ∴|x|＝3， ∴x＝±3， 当x＝3时，y＝x2﹣6x+8＝9﹣18+8＝﹣1， ∴KE＝4， ∴﹣n＝4， ∴n＝﹣4， ∴F（﹣4，0）， 当x＝﹣3时，y＝x2﹣6x+8＝9+18+8＝35， ∴E（﹣3，35）， 又∵D（0，3）， ∴﹣n+3＝35， ∴n＝﹣32， ∴F（﹣32，0）， 综上，F（﹣4，0）或F（﹣32，0）． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，关键是要能根据题意确定抛物线的解析式，出现直角三角形时，一般考虑将三角形的边用坐标表示出来，再用勾股定理即可解决，还有牢记一线三垂直模型． 16．如图，抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与x轴交于A、B两点，且点B坐标为（3，0）与y轴交于点C，已知对称轴x＝1． （1）求抛物线L的解析式； （2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围： （3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标：若不能，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出直线BC解析式为y＝﹣x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x＝1时，y＝2；结合抛物线顶点坐标即可得出结果； （3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2＝（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，PQ2＝（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2，BQ2＝n2+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明△PQM≌△BPN，得出MQ＝NP，PM＝BN，则MQ＝﹣m2+2m+3﹣n，PN＝3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n＝3﹣m，解方程即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝1，B（3，0）， ∴A（﹣1，0） ∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，3） ∴当x＝0时，c＝3． 又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0） ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）∵C（0，3），B（3，0）， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为（1，4） 对于直线BC：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2， 将抛物线L向下平移h个单位长度， ∴当h＝2时，抛物线顶点落在BC上； 当h＝4时，抛物线顶点落在OB上， ∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界）， ∴2≤h≤4； （3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n）， ①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示： ∵B（3，0）， ∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠BPQ＝90°，BP＝PQ， 则∠PMQ＝∠BNP＝90°，∠MPQ＝∠NBP， 在△PQM和△BPN中， ， ∴△PQM≌△BPN（AAS）， ∴PM＝BN， ∵PM＝BN＝﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN＝3﹣m，且PM+PN＝6， ∴﹣m2+2m+3+3﹣m＝6， 解得：m＝1或m＝0， ∴P（1，4）或P（0，3）． ②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点， 同理可得△PQM≌△BPN， ∴PM＝BN， ∴PM＝6﹣（3﹣m）＝3+m，BN＝m2﹣2m﹣3， 则3+m＝m2﹣2m﹣3， 解得m或． ∴P（，）或（，）． 综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4）或（0，3）或（ ，）或（，）． 【点评】本题是二次函数综合题目，考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，通过作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 17．如图，一次函数y＝﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线yx2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点E，使点E到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点E的坐标； （3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出A和C点的坐标，并将其代入抛物线的解析式，即可求出； （2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B（3，0），直线BC交函数对称轴于点E，则点E为所求，即可求解； （3）分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，②∠PNM＝90°，③∠MPN＝90°，设点M、N的纵坐标为a，表示出相应的线段，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点， ∴A （﹣1，0），C （0，﹣4）， 把A （﹣1，0），C （0，﹣4）代入yx2+bx+c得， ，解得， ∴yx2x﹣4； （2）∵yx2x﹣4（ x﹣1）2， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴A，B关于直线x＝1对称， ∴直线BC与对称轴直线x＝1的交于点E，此时点E到点A的距离与到点C的距离之和最小． 把y＝0代入yx2x﹣4，得x2x﹣4＝0 解得，x1＝3 x2＝﹣1 ∴B （3，0）， ∵C（0，﹣4）， ∴直线CB的解析式为yx﹣4， 把x＝1代入yx﹣4，得y， ∴E （1，）； （3）∵DP∥AB 设M、N的纵坐标为a， ∵AC所在直线的解析式为y＝﹣4x﹣4，BC所在直线的解析式为：yx﹣4， ∴M（，a），N（，a）， ①当∠PMN＝90°，PM＝MN， MNa+4，PM＝﹣a， ∵PM＝MN， ∴﹣a＝a+4，解得：a＝﹣2， ∴， ∴P的横坐标为， 即P点坐标为（，0）； ②当∠PNM＝90°，PN＝MN， 同上，a＝﹣2， P的横坐标为， 即P点坐标为（，0）； ③当∠MPN＝90°，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝﹣a， 又PM＝PN， ∴PQ⊥MN， ∴MN＝2PQ，即：a+4＝﹣2a， 解得：a， ∴点P的横坐标为：， 即P点的坐标为（，0）． 综合上述，P坐标为（，0）或（，0）或（，0）． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数的解析式，点的对称性、等腰直角三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 18．（2023春•巫山县期中）如图①，已知抛物线yx2x﹣3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．顶点为D． （1）求出点A，B，D的坐标； （2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC，当四边形O′B′DC的周长有最小值时，在第四象限找一点P，使得△PB′D的面积最大？并求出此时P点的坐标； （3）如图②，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．是否存在一点N，使△CMN为等腰直角三角形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】解：（1）令yx2x﹣3＝0，可求与x轴交于A和B两点的坐标，用顶点坐标公式可求出顶点D的坐标为（1，）； （2）作点C（0，﹣3）关于x轴的对称点C′（0，3），将点C′（0，3）向右平移4个单位得到点C″（4，3），连接DC″，交x轴于点B′，将点B′向左平移4个单位得到点O′，连接CO′，CO″，则四边形O′B′C′C″为平行四边形，此时四边形O′B′DC周长取最小值．再根据两点间的距离公式求出CD、DC″的长度，即可得出结论； （3）存在，△CMN为等腰直角三角形考虑到三角形三个角分别是90度的情况，综合分析即可求解． 【解答】解：（1）令yx2x﹣3＝0，可求与x轴交于A和B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）， 用顶点坐标公式可求出顶点D的坐标为（1，），此时OB＝4， 故：A、B、D点的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（1，）； （2）令yx2x﹣3中x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）． D（1，），O′B′＝OB＝4． 如图1，作点C（0，﹣3）关于x轴的对称点C′（0，3），将点C′（0，3）向右平移4个单位得到点C″（4，3），连接DC″，交x轴于点B′，将点B′向左平移4个单位得到点O′，连接CO′，CO″，则四边形O′B′C′C″为平行四边形，此时四边形O′B′DC周长取最小值． 此时C四边形O′B′DC＝CD+O′B′+CO′+DB′＝CD+OB′+DC″． ∵O′B′＝4，CD，C″D， ∴四边形O′B′DC的周长最小值为4． 设P（m，m2m﹣3），作DH⊥x轴于H，连接PH．易知H（1，0），B′（，0） S△PDB′＝S△PDH+S△PHB′﹣S△DHB′•（m﹣1）••（m2m+3）•• （﹣3m2+23m﹣20）， ∴m时，△PDB′的面积最大， 此时P（，）． （3）存在， △CMN为等腰直角三角形，考虑到三角形三个角分别是90度的情况， 综合分析，点N的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣5）或（0，）或（0，）或（0，）． 【点评】此题考查了待定系数法求解析式、多边形的面积最大值问题，要注意将三角形分解成两个三角形求解，还要注意求最大值可以借助于二次函数． 19．（2023•元宝山区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB≌△CDA，且OA＝1，B（0，2），抛物线y＝ax2+ax﹣4a经过点C． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在一点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若x轴上有一点E的横坐标为2a，过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，抛物线对称轴与x轴交于点G，Q为抛物线（对称轴的左侧）上一动点，是否存在点Q使GF为∠EFQ的平分线？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由全等三角形的性质得到AD和CD的长，得到点C的坐标，然后将点C的坐标代入解析式，求得a的值，最后得到抛物线的解析式； （2）分情况讨论，①当∠BAP＝90°时，先求得直线AC的解析式，然后求得直线AC和抛物线的交点求得点P的坐标，再验证△ABP是否为等腰直角三角形；②当∠ABP＝90°时，先求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式求得点P的坐标，再验证△ABP是否为等腰直角三角形；③当∠APB＝90°时，由等腰直角三角形的性质得到过点P与AB垂直的直线经过线段AB的中点，然后求得该直线和点P的坐标，最后验证是否符合条件； （3）设QF与对称轴交于点H，过点F作FM垂直于对称轴于点M，然后求出点H的坐标，再根据H点的坐标，求出直线HF的解析式，求出直线HF与抛物线的交点坐标，即可得到点Q的坐标． 【解答】解：（1）∵△AOB≌△CDA， ∴AO＝CD，OB＝AD， ∵OA＝1，B（0，2）， ∴OD＝2+1＝3，CD＝1， ∴点C的坐标为（﹣3，1）， ∵抛物线y＝ax2+ax﹣4a经过点C， ∴1＝9a+（﹣3a）﹣4a， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）由△AOB≌△CDA，得∠DCA＝∠OAB， ∵∠CDA＝∠AOB＝90°， ∴∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠DAC+∠OAB＝90°， ∴∠CAB＝90°， ①如图1，当∠BAP＝90°时，点C、A、P三点共线， 设经过C，A两点的直线解析式为y＝kx+b，延长CA交抛物线于点P1， 把点C（﹣3，1），A（﹣1，0）代入，得， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 由，解得：或（舍）， ∴P1（1，﹣1）， 此时，，， ∴AP1＝AB， 又∵∠BAP1＝90°， ∴△ABP1为等腰直角三角形； ②如图2，当∠ABP＝90°时， 过点B（0，2）作AC的平行线，则其解析式为， 由，解得：或（舍）， ∴P2（2，1）， 此时，，， ∴BP2＝AB， 又∵∠ABP2＝90°， ∴△ABP2为等腰直角三角形； ③当∠APB＝90°时，过AB的中点K作AC的平行线，则其解析式为yx， 由，解得：或（舍）， ∴P3（﹣1，）， 此时，KP3，AB， ∴KP3AB， ∴△ABP3不是等腰直角三角形，舍去； 综上所述，在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P1（1，﹣1），P2（2，1），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形． （3）由（1）可知，，抛物线的解析式为， 把代入，得y＝﹣1， ∴E（1，0），F（1，﹣1）， ∴EF＝1， ∵函数的对称轴为， ∴， ∴， 如图4，设QF与对称轴交于点H，过点F作FM垂直于对称轴于点M， ∵GF平分∠EFQ， ∴∠EFG＝∠HFG， ∵GH∥EF， ∴∠EFG＝∠FGH， ∴∠HFG＝∠FGH， ∴HG＝HF， 设HG＝HF＝x，则MH＝x﹣1， 在Rt△FMN中，， 解得：， ∴， 设直线HF的解析式为y＝kx+b， 把点F（1，﹣1），代入，得 ，解得：， ∴直线HF的解析式为， 将与联立，得 ， 解得：，x2＝1（舍）， 把代入，得， 综上所述，存在点Q使GF为∠EFQ的平分线，此时点Q的坐标为． 【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，作出相应的辅助线是解题的关键． 20．（2023秋•新市区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC＝3OA，直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方抛物线上的动点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标； （2）连接PA、PD，当m为何值时，； （3）在直线AD上是否存在一点H使△PQH为等腰直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，不存在请说明理由． 【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，设抛物线的解析式为交点式，代入点C的坐标，求出抛物线的解析式即可； （2）根据题意将△APD的面积和△DAB的面积表示出来，令，即可解出m的值； （3）分∠QOH＝90°、∠PQH＝90°、∠QHP＝90°三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3OA，C（0，3）， ∴点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（﹣1，0）， 设抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），将点C的坐标代入，得﹣3a＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点Q坐标为：（1，4）． （2）解：联立， 解得：，， ∴点D的坐标为（2，3）， 如图1，过点P作y轴的平行线，交AD于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）， ∴， 解得：m＝0或1． （3）解：存在； 设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4）， ①当∠QPH＝90°时，如图2，过点P作y轴的平行线，过点H，点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M，G， ∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°， ∴∠HPM＝∠GQP， ∵∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ， ∴△PGO≌△HMP（AAS）， ∴PG＝MH，GQ＝PM， 即4﹣n﹣|t﹣m|，|1﹣m|＝|n﹣（t+1）|， 解得：m＝2或n＝3， 当n＝3时，3＝﹣m2+2m﹣3，解得m1＝0，m2＝2（舍去） ∴点P（0，3）； ②当∠PQH＝90°时，如图3所示， 此时QP＝QH，则点P、H关于抛物线对称轴对称，即PH垂直抛物线的对称轴，而对称轴与x轴垂直，故PH∥x轴，则∠QHP＝∠QPH＝45°， 同理可得m1＝0，m2＝2（舍去）， 故点P坐标为（0，3）． ③当∠PHQ＝90°时， （Ⅰ）当点P在抛物线对称轴右侧时，如图所示： 点P在AD下方，与题意不符，故舍去； （Ⅱ）当点P在抛物线对称轴左侧时，同理可得n＝2， 解得：（舍去），， 点； 综上可得，点P的坐标为（0，3）或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、二次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握这些性质、判定，二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$