专题 二次函数的综合题专训之直角三角形的存在性问题（专项训练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合专训（四） ---直角三角形的存在性问题 ●●解决二次函数直角三角形存在性问题的方法： 一、代数法 1、表示点的坐标； 2、表示出三条边（利用两点间距离公式） 3、按分类的情况，利用勾股定理建立方程（组）， 4、求出动点坐标，注意舍去不符合题意的点. 二、斜率法 两条直线互相垂直它们的斜率之积是﹣1.（） 1．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点B和点C的坐标可以求得函数的解析式； （2）先判断是否存在，然后根据猜想，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）， ∴，得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形， 理由：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，点B（3，0），点C（0，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， 设点Q的坐标为（1，t），则 AC2＝OC2+OA2＝32+12＝10， AQ2＝22+t2＝4+t2， CQ2＝12+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10， 当AC为斜边时， 10＝4+t2+t2﹣6t+10， 解得，t1＝1或t2＝2， ∴点Q的坐标为（1，1）或（1，2）， 当AQ为斜边时， 4+t2＝10+t2﹣6t+10， 解得，t， ∴点Q的坐标为（1，）， 当CQ时斜边时， t2﹣6t+10＝4+t2+10， 解得，t， ∴点Q的坐标为（1，）， 由上可得，当点Q的坐标是（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，）时，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形． 【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．（2023•咸宁三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、B（0，1），抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为C（﹣4，n）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ​ 【分析】（1）将点C的坐标代入yx+1得，n（﹣4）+1＝﹣2，故点C（﹣4，﹣2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分PB是斜边、PC是斜边、BC是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）将点C的坐标代入yx+1得，n（﹣4）+1＝﹣2， 故点C（﹣4，﹣2）； 将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线得表达式为yx2x+1； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x，设点P（，m）， 而点B、C的坐标分别为（0，1）、（﹣4，﹣2）， 则PB2＝（）2+（m﹣1）2，PC2＝（4）2+（m+2）2，同理BC＝25， 当PB是斜边时，则（）2+（m﹣1）2＝（4）2+（m+2）2+25，解得m， 当PC是斜边时，同理可得m， 当BC是斜边时，BC的中点坐标为（﹣2，﹣0.5），BC＝5， 则（2）2+（m+0.5）2＝（5÷2）2，解得m， 故点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 3．（2023•绵阳二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5． （1）求二次函数的解析式； （2）若点D的坐标为（，0），试判断△DCB的形状，并说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用勾股定理得到OB的长，设抛物线交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a即可； （2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （3）设点P坐标为（，m），分三类讨论：①当∠PCB＝90°时；②当∠PBC＝90°时；③当∠BPC＝90°时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可． 【解答】解：（1）∵C（0，3）， ∴OC＝3， 在Rt△COB中，OC＝3，BC＝5，∠BOC＝90°， ∴OB4， ∴点B的坐标是（4，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4）， 把C（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a， ∴抛物线解析式为y（x﹣1）（x﹣4），即yx2x+3； （2）△DCB是直角三角形， 理由：∵BC＝5， ∴BC2＝52＝25， 在Rt△COD中，DC2＝CO2+DO2＝32+（）2， ∵BD2＝[4﹣（）]2， ∴BC2+DC2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形； （3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵抛物线的解析式是yx2x+3， ∴抛物线对称轴为直线x． 设点P坐标为（，m）． ∵点C（0，3），点B（4，0）， ∴BP2＝（4）2+m2m2． PC2＝（）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m． BC2＝25． ①当∠PCB＝90°时，BP2＝BC2+PC2． ∴m2＝25+m2﹣6m． 解得：m． 故点P（，）； ②当∠PBC＝90°时，PC2＝PB2+BC2． ∴m2﹣6mm2+25， 解得：m＝﹣2． 故点P（，﹣2）； ③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2． ∴25＝m2﹣6mm2． 解得：m1，m2． ∴P（，）或P4（，）． 综上所述，存在，点P的坐标为（（，）或（，﹣2）或（，）或（，）． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第（3）问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏． 4．（2024•耒阳市一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由S△BCDDE•OB3×（﹣m2﹣3m），即可求解； （3）分点B、P、C为直角顶点，三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点A，B，C的坐标分别代入抛物线的解析式得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如解图①，连接BD，DC，BC，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E， 由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y＝x+3， 设D（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，m+3）， 则DE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m， ∴S△BCDDE•OB3×（﹣m2﹣3m）， ∵0，故函数有最大值， ∴当m时，△BCD的面积最大，最大值为； （3）由题可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 设P（﹣1，t）， ∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10， ①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2，即18+4+t2＝t2﹣6t+10， 解得t＝﹣2； ②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2，即18+t2﹣6t+10＝4+t2， 解得t＝4； ③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2，即4+t2+t2﹣6t+10＝18， 解得t， 综上所述，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的关键． 5．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于C（0，﹣3），顶点为D，点M是抛物线上任意一点． （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使∠AMC＝∠MCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可； （2）首先求出lCD：y＝﹣x﹣3，lAM：y＝﹣x﹣1进而得出，当y＝x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1时，AM∥CD，求出M点坐标即可； （3）①若∠BNC＝90°，则BC2＝BN2+NC2，②若∠NBC＝90°，则NC2＝BN2+BC2，③若∠NCB＝90°，则BN2＝NC2+BC2，分别求出N点坐标即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx+c过（﹣1，0）（0，﹣3） ∴ 解得： ∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）存在． 如图1，当AM∥CD时，∠AMC＝∠MCD， 由（1）可得抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4 ∴D（1，﹣4） 设直线CD为：y＝kx﹣3过D（1，﹣4） ∴lCD：y＝﹣x﹣3 设直线AM为：y＝﹣x+b过A（﹣1，0） ∴lAM：y＝﹣x﹣1 当y＝x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1时，AM∥CD， ∴x1＝﹣1（舍），x2＝2， ∴y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3， ∴M（2，﹣3）； （3）设N（1，n），则BN，NC，BC， ①如图2，若∠BNC＝90°，则BC2＝BN2+NC2，即18＝4+n2+1+9+6n+n2 ∴n2+3n﹣2＝0， ∴解得： ∴N（1，）或N（1，）， ②若∠NBC＝90°，则NC2＝BN2+BC2，即1+9+6n+n2＝4+n2+18 ∴6n＝12， ∴n＝2 ∴N（1，2）， ③若∠NCB＝90°，则BN2＝NC2+BC2，即1+9+6n+n2+18＝4+n2 ∴6n＝﹣24， ∴n＝﹣4 ∴N（1，﹣4）， 综上，当N（1，）或N（1，）或N（1，2）或N（1，﹣4）时，以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形． 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键． 6．（2024•秭归县模拟）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（1，﹣5），求抛物线L2对应的函数关系式； （2）当△BPC的周长最小时，求抛物线L2对应的函数关系式； （3）是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线L2对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线L1：求出点A，B的坐标，由抛物线L2与L1是“共根抛物线”，可设出抛物线L2的解析式，最后把点（1，﹣5）代入即可求解； （2）连接AC交对称轴直线x＝﹣1于点P，连接BP，交y轴于点E，此时△BPC的周长最小，先求出直线AC的解析式，从而求出点P的坐标，据此即可求解； （3）设点P的坐标为（﹣1，m），求得，，，分点P在x轴上方和点P在x轴下方，利用勾股定理列式，求得点P的坐标，据此即可求解． 【解答】解：（1）在抛物线L1：中，令y＝0，则， 解得：x＝﹣4或x＝2， 即点A（﹣4，0），点B（2，0）， 根据题意，设抛物线L2的函数关系式为：y＝a（x+4）（x﹣2）， 将点（1，﹣5）代入得：﹣5＝a（1+4）（1﹣2）， 解得：a＝1， ∴抛物线L2的函数关系式为：y＝（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8； （2）连接AC交对称轴直线于点P，连接BP，交y轴于点E，此时△BPC的周长最小． 令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A（﹣4，0）代入得，0＝﹣4k+2， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 当x＝﹣1时，， ∴点P的坐标为， 将点代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：， 解得：， ∴抛物线L2的函数关系式为：； （3）假设存在，设点P的坐标为（﹣1，m）， ∵A（﹣4，0），C（0，2）， ∴，，， 当点P在x轴上方时， 由题意得AC2+PC2＝AP2，即， 解得m＝4， 即点P的坐标为（﹣1，4）， 将点（﹣1，4）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：4＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2）， 解得：， ∴抛物线L2的函数关系式为：； 当点P在x轴下方时， 由题意得AC2+AP2＝PC2，即， 解得m＝﹣6， 即点P的坐标为（﹣1，﹣6）， 将点（﹣1，﹣6）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：﹣6＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2）， 解得：， ∴抛物线L2的函数关系式为：； 综上，抛物线L2的函数关系式为：或． 【点评】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． 7．（2023秋•乌兰察布期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B的坐标为（0，﹣4），点C的坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点E是抛物线的对称轴上的一点，若△ABE是直角三角形，直接写出点E的坐标． 【分析】（1）把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论； （2）存在．设D（t，t2+t﹣4），连接OD．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题； （3）当AB为斜边时，列出等式即可求解；当AE或BE为斜边时，同理可解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为yx2+x﹣4； （2）存在． 理由：设D（t，t2+t﹣4），连接OD． 令y＝0，则x2+x﹣4＝0， 解得x＝﹣4或2， ∴A（﹣4，0），C（2，0）， ∵B（0，﹣4）， ∴OA＝OB＝4， ∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB4×（t2﹣t+4）4×（﹣t）4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，此时D（﹣2，﹣4）； （3）设点E（﹣1，t）， 由点A、B、E的坐标得，AB2＝32，AE2＝9+t2，BE2＝1+（t+4）2， 当AB为斜边时，则32＝9+t2+1+（t+4）2， 解得：t＝﹣2±， 即点E（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣2）； 当AE为斜边时，则9+t2+1+（t+4）2＝32， 解得：t＝﹣5， 即点E的坐标为：（﹣1，﹣5）； 当BE为斜边时，则32+9+t2＝1+（t+4）2， 解得：t＝3， 即点E的坐标为：（﹣1，3）； 综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，2）或（﹣1，2）． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 8．（2023•临洮县模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t． （1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？ （3）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），则函数的对称轴为：x＝1，即可求解； （2）△PAE的面积SPH×OE（t﹣3﹣t2+2t+3）（﹣t2+3t），即可求解； （3）分∠PEA＝90°、∠PAE＝90°两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0）， ∴抛物线的对称轴为x＝1， ∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A（0，﹣3）， ∴C（2，﹣3）， 抛物线表达式为y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3）， 故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H， 由点A，E的坐标得直线AE的表达式为y＝x﹣3， 设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3）， ∴△PAE的面积SPH×OE（t﹣3﹣t2+2t+3）（﹣t2+3t）， ∴当t时，S有最大值； （3）∵直线AE表达式中的k值为1， ∴∠AEO＝45°， ①当∠PEA＝90°时， ∵PE⊥AE， ∴直线PE与x轴的夹角为45°， ∴设直线PE的表达式为y＝﹣x+b，将点E的坐标代入并解得b＝3， ∴直线PE的表达式为y＝﹣x+3， 联立得， 解得x＝﹣2或3（不合题意，舍去） 故点P的坐标为（﹣2，5）， ②当∠PAE＝90°时，同理可得，点P（1，﹣4）， 综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．（2024•安庆一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①由△CFB的面积＝S△EFB+S△EFCEF×OB，即可求解； ②根据题意可分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况，当∠DFE＝90°时，可知DF∥x轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当∠EDF＝90°时，可求得直线AD解析式，联立直线AD和抛物线解析式可求得点F的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 则y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3， 则a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）①由（1）可知，点C的坐标为（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 则， ∴， ∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点E（x，﹣x+3），则点F（x，x2﹣4x+3）， 则△CFB的面积＝S△EFB+S△EFCEF×OB3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）（x）2， 则△CFB面积的最大值为； ②由题意知EF∥y轴，则∠FED＝∠OCB≠90°， ∴△DEF为直角三角形，分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°两种情况， 当∠DFE＝90°时，即DF∥x轴，则D、F的纵坐标相同， ∴F点纵坐标为1， ∵点F在抛物线上， ∴x2﹣4x+3＝1，解得x＝2±，即点E的横坐标为2±， ∵点E在直线BC上， ∴当x＝2时，y＝﹣x+3＝1，当x＝2时，y＝﹣x+3＝1， ∴E点坐标为（2，1）或（2，1）； 当∠EDF＝90°时， ∵A（1，0），D（2，1），B（3，0）， ∴AH＝DH＝BH＝1，∠AHD＝∠DHB＝90°， ∴∠ADB＝ADH+∠BDH＝45°+45°＝90°， ∴AD⊥BC， ∴直线AD与抛物线的交点即为F点， 联立直线AD与抛物线解析式有x2﹣4x+3＝x﹣1，解得x＝1或x＝4， 当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣1， ∴E点坐标为（1，2）或（4，﹣1）， 综上可知存在满足条件的点E，其坐标为（2，1）或（2，1）或（1，2）或（4，﹣1）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法、直角三角形的判定及性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，分类求解是解题的关键． 10．（2024•阿荣旗二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的关系式； （2）M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B，C两点坐标代入y＝x2+bx+c，利用待定系数法求解； （2）连接BC，过M作x轴的垂线交BC于点N，S四边形ABMC＝S△ABC+S△MBC，其中S△ABC为定值，设M点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则，化为顶点式，即可求出最值； （3）取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为（1，n），利用勾股定理解Rt△PQD，求出n的值即可． 【解答】解：（1）把B，C两点坐标代入抛物线解析式可： ， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，连接BC，过M作x轴的垂线交BC于点N， 在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A点坐标为（﹣1，0）． ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，且OC＝3， ∴， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3， 设M点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则N点坐标为（x，x﹣3）， ∵M在第四象限， ∴MN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x， ∴， ∴当时，，x2﹣2x﹣3， ∴当M为时，四边形ABMC的面积有最大值， 最大值． （3）解：在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形．理由如下： 如图2，取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在Rt△OBC中，由勾股定理得， 由题意，当∠BPC＝90°时，， 易求，抛物线的对称轴为直线x＝1， 设点P坐标为（1，n）， ∴，， 由PQ2+DQ2＝PD2，得， 解得，， ∴点P的坐标为或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． 11．（2024•古浪县三模）如图，已知：关于y的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式． （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标． （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达B点时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出面积． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）分∠CBP＝90°、∠CPB＝90°两种情况，列出等式，即可求解； （3）设A运动时间为t，由AB＝1，得BM＝1﹣t，则DN＝2t，则S△MNB（1﹣t）×2t＝﹣t2+t＝﹣（t ）2，即可求解． 【解答】解：（1）由C（0，6）的坐标知，c＝6， 即抛物线的表达式为：y＝x2+bx+6， 将点A的坐标代入上式得：4+2b+6＝0， 解得：b＝﹣5， 则二次函数的表达式为：y＝x2﹣5x+6； （2）令y＝0，则x2﹣5x+6＝0， 解得：x＝2或x＝3， ∴B（3，0），抛物线对称轴是直线x， ∴BC2＝32+62＝45， 设P点坐标为（0，m）， 则CP2＝（6﹣m）2，BP2＝32+m2＝9+m2， 当∠CBP＝90°时， 则BC2+BP2＝CP2，即45+9+m2＝（6﹣m）2， 解得：m， 则P点坐标为（0， ）； 当∠CPB＝90°时， 则CP2+BP2＝BC2，即45＝9+m2+（6﹣m）2， 解得：m＝0或6（舍去）， 则P点坐标为（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0， ）或（0，0）； （3）如图2， 设A运动时间为t，由AB＝1，得BM＝1﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB（1﹣t）×2t＝﹣t2+t＝﹣（t ）2， 当t 时，S△MNB面积最大，最大面积为 ； 即当M（ ，0）、N（ ，1）或（ ，﹣1）时，△MNB面积最大，最大面积是 ． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，面积的计算，分类求解是解题的关键． 12．（2024•市中区三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）． （1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标； （3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决即可； （2）如图1中，作∥OC交AC于E．设P（m，m2m+4）．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）分三种情形分别解决问题即可； 【解答】解：（1）把A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）的坐标代入y＝ax2+bx+c， 得到， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+4． （2）如图1中，作∥OC交AC于E．设P（m，m2m+4）． ∵直线AC的解析式为yx+4， ∴E（m，m+4）， ∴PEm2+2m， ∴S△PAC（m2+2m）×6＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9， ∵﹣1＜0， ∴m＝3时，△PAC的面积最大， ∴P（3，5）． （3）如图2中， ∵A（6，0），P（3，5）， ∴直线PA的解析式为yx+10， ①当AQ1⊥PA时，直线AQ′的解析式为yx， ∴Q1（2，） ②当PQ2⊥PA时，直线PQ2的解析式为yx， ∴Q2（2，）． ③当PQ3⊥AQ3时，设Q3（2，m），设PA的中点K（，）， 则KQ3PA， ∴•， 解得m＝1或4， ∴Q3（2，1）或（2，4）， 综上所述，满足条件的点Q坐标为（2，）或（2，）或（2，1）或（2，4）． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、两直线垂直的性质的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法全等函数解析式，学会构建一次函数，解决交点坐标问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题． 13．（2024•广安二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B两点，交y轴于点C（0，4）． （1）求抛物线的函数解析式． （2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP，CP，求四边形AOCP的面积的最大值． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）由四边形AOCP的面积＝S△ACP+S△AOC＝﹣2（t+2）2+16，即可求解； （3）当斜边为AC时，由AM2+CM2＝AC2，列出等式即可求解；当斜边为AM、CM时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式y＝﹣x2﹣3x+4． （2）如图：连接AP，CP， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴OA＝4，OC＝4， 则S△AOCAO×CO8， 设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4）， ∴PQ＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t， 则S△ACPPQ×（xC﹣xA）（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8， ∴四边形AOCP的面积＝S△ACP+S△AOC＝﹣2（t+2）2+16， ∵﹣2＜0， ∴当t＝﹣2时，四边形AOCP的面积最大为16； （3）存在，理由： 设M（，m）， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴AC2＝42+42＝32， 同理可得：AM2m2，CM2＝m2﹣8m， 当斜边为AC时，AM2+CM2＝AC2， 则m2+m2﹣8m32， 解得：m＝2； ∴M（，2）或（，2）； 当斜边为AM时，AC2+CM2＝AM2， 即32+m2﹣8mm2， 解得：m， ∴M（，）； 当斜边为CM时，AC2+AM2＝CM2， 即32m2＝m2﹣8m， 解得：m， ∴M（，）； 综上，M的坐标为（，2）或（，2）或（，）或（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质是解题的关键． 14．（2024•金山区二模）已知：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0）、B（0，﹣3），顶点为P． （1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标； （2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧． ①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； ②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且△BDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设Q点的坐标是（t，t﹣3），其中t＞0，此时抛物线的解析式是y＝（x﹣t）2+t﹣3，由平移的性质知，t﹣3＝﹣1，即可求解； ②如果∠BDQ＝90°，即DQ⊥y轴不合题意；如果∠BQD＝90°，证明QB＝QD，得到BE＝DE，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， ∴， 故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点P的坐标是（1，﹣4）； （2）①设直线AB的解析式是y＝mx+n， 则，解得：， ∴直线AB的解析式是y＝x﹣3， 设Q点的坐标是（t，t﹣3），其中t＞0，此时抛物线的解析式是y＝（x﹣t）2+t﹣3， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴t﹣3＝﹣1，即t＝2， ∴此时抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3； ②抛物线y＝（x﹣t）2+t﹣3与y轴的交点是D（0，t2+t﹣3）， 如果∠BDQ＝90°，即DQ⊥y轴不合题意， 如果∠BQD＝90°， ∵∠AOB＝90°，AO＝BO， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴∠QBD＝∠BDQ＝45°， ∴QB＝QD， 作QE⊥y轴于点E，则BE＝DE， ∴QEBD， ∵QE＝t，BD＝t2+t， ∴t（t2+t）， 解得：t＝0（不合题意，舍去）或1， ∴t＝1， 则此时抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2+1﹣3＝x2﹣2x﹣1． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到图象的平移、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． 15．（2024•遂宁）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，则点P、C关于抛物线对称轴对称，设Q（m，m2﹣2m﹣3），运用勾股定理代入可列式子，解出即可求解； （3）由S＝S△OHP﹣S△OHQOH×（yQ﹣yP），即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝﹣3， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时， 抛物线的对称轴为直线x＝1， 则点P、C关于抛物线对称轴对称， 则点P（2，﹣3）， 设Q（m，m2﹣2m﹣3）， ∵∠OPQ＝90°， ∴OP2+PQ2＝OQ2， ∴[（0﹣2）2+（0+3）2]+[（2﹣m）2+（﹣3﹣m2+2m+3）2] ＝（0﹣m）2+（0﹣m2+2m+3）2， 整理得：3m2﹣8m+4＝0， 解得：m1，m2＝2（舍去）， ∴m， ∴Q（，）； （3）存在，理由： 设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点Q（m+1，（m+1）2﹣2（m+1）﹣3），设直线PQ交x轴于点H， 由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝（2m﹣1）（x﹣m）+m2﹣2m﹣3， 令y＝0， 则xm， 则OHm， 则S＝S△OHP﹣S△OHQOH×（yQ﹣yP）（m）[（m+1）2﹣2（m+1）﹣3﹣m2+2m+3]（m2+m+3）（m）2， 即S存在最小值为． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、直角三角形的性质等，数据处理是解题的难点． 16．（2024•东营区校级模拟）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的关系式； （2）M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B，C两点坐标代入y＝x2+bx+c，利用待定系数法求解； （2）连接BC，过M作x轴的垂线交BC于点N，S四边形ABMC＝S△ABC+S△MBC，其中S△ABC为定值，设M点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则，化为顶点式，即可求出最值； （3）取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为（1，n），利用勾股定理解Rt△PQD，求出n的值即可． 【解答】解：（1）把B，C两点坐标代入抛物线解析式可： ， 解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，连接BC，过M作x轴的垂线交BC于点N， 在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A点坐标为（﹣1，0）． ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，且OC＝3， ∴， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3， 设M点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则N点坐标为（x，x﹣3）， ∵M在第四象限， ∴MN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x， ∴， ∴当时，，x2﹣2x﹣3， ∴当M为时，四边形ABMC的面积有最大值， 最大值． （3）解：在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形．理由如下： 如图2，取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在Rt△OBC中，由勾股定理得， 由题意，当∠BPC＝90°时，， 易求，抛物线的对称轴为直线x＝1， 设点P坐标为（1，n）， ∴，， 由PQ2+DQ2＝PD2，得， 解得，， ∴点P的坐标为或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． 17．（2024•南充模拟）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线止位于第四象限内一动点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作MN⊥x轴于N，是否存在点M，使△CMN为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，求出B（3，0），可得直线BC解析式为y＝x﹣3，∠BCO＝45°，即知∠PQD＝∠BCO＝45°，△PQD是等腰直角三角形，故PDPQ，设P（p，p2﹣2p﹣3），则PQ＝p﹣3﹣（p2﹣2p﹣3）＝﹣p2+3p，从而PD（﹣p2+3p）（p）2，根据二次函数性质可得答案； （3）求出抛物线顶点E坐标为（1，﹣4），直线BE解析式为y＝2x﹣6，设M（m，2m﹣6），则N（m，0），可得MN2＝（2m﹣6）2，MC2＝m2+（2m﹣6+3）2＝5m2﹣12m+9，NC2＝m2+9，分三种情况，用勾股定理逆定理列方程可得答案． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图： 在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0得x＝﹣1或x＝3， ∴B（3，0）， ∵C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3，直线BC解析式为y＝x﹣3， ∴∠BCO＝45°， ∵PQ∥y轴， ∴∠PQD＝∠BCO＝45°， ∴△PQD是等腰直角三角形， ∴PDPQ， 设P（p，p2﹣2p﹣3），则Q（p，p﹣3）， ∴PQ＝p﹣3﹣（p2﹣2p﹣3）＝﹣p2+3p， ∴PD（﹣p2+3p）（p）2， ∵0， ∴当p时，PD取最大值， 此时P的坐标为（，）； （3）存在点M，使△CMN为直角三角形，理由如下： ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线顶点E坐标为（1，﹣4）， 由E（1，﹣4），B（3，0）可得直线BE解析式为y＝2x﹣6， 设M（m，2m﹣6），则N（m，0）， 又C（0，﹣3）， ∴MN2＝（2m﹣6）2，MC2＝m2+（2m﹣6+3）2＝5m2﹣12m+9，NC2＝m2+9， 由题可知，MN，MC不可能为斜边， 当NC为斜边时，m2+9＝（2m﹣6）2+5m2﹣12m+9， 解得m＝3（舍去）或m， ∴M（，﹣3）． 综上所述，M坐标为（，﹣3）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理的应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 18．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A、B、C代入抛物线解析式求解即可； （2）可求直线AB的解析式为 ，设P （0＜m＜4），可求 ，从而可求PK+PDm2m+2，即可求解； （3）过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M1（1，n），可求n2+4n+5，n2+9，由AB2，构建方程可得M1坐标，求出直线BM1的解析式，利用平行线的性质求出直线AM2的解析式，可得结论． 【解答】解：（1）由题意，， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x﹣2； （2）∵A（0，﹣2），B（4，0）， ∴直线AB的解析式为yx﹣2， 设P （0＜m＜4），则， ∴PK+PD（mm2+m）+（m+2）m2m+2（m）2， ∵0， ∴当m时，PK+PD有最大值，最大值为，此时P（，）； （3）存在．过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M1（1，n），则n2+4n+5，n2+9， 由AB2，可得22+42+n2+9＝n2+4n+5， ∴n＝6， ∴M1（1，6）， ∴直线 BM1 解析式为y＝﹣2x+8， ∵AM2∥BM1，且经过A（0，﹣2）， ∴直线 AM2 解析式为y＝﹣2x﹣2， ∴当x＝1时，y＝﹣2×1﹣2＝﹣4， ∴M2（1，﹣4）， 综上所述：存在，M的坐标为（1，6）或（1，﹣4）． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理 等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． 19．（2024•龙马潭区开学）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接BD，若点E是y轴负半轴上的一动点，过点E作BD的垂线，分别与线段BD、抛物线相交于点F、G（点F、G都在抛物线对称轴的右侧），当FG最大时，求△BDG的面积； （3）如图2，连接CD，抛物线上是否存在点P，使△CDP是以CD为直角边的直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由A（﹣1，0），B（5，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），代入C（0，﹣5）即可得到二次函数解析式； （2）G作GH∥y轴交线段BD于点H，求出直线DB的解析式，由，且，可得由BD是定值，得当GH取最大值时，FG取最大值，G（m，m2﹣4m﹣5），则H（m，3m﹣15），求出GH的最大值，从而得到△BDG的面积； （3）求出直线CD的解析式，分∠PCD＝90°和∠PDC＝90°两种情况讨论，求出相应的一次函数解析式，联立二次函数解析式从而求出点P的坐标． 【解答】解：（1）抛物线过点A（﹣1，0），B（5，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5）， 又∵抛物线过点C（0，﹣5）， ∴﹣5＝a（x+1）（x﹣5）， ∴a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5； （2）G作GH∥y轴交线段BD于点H， ∵A（﹣1，0），B（5，0）， ∴抛物线的对称轴为：x2，令x＝2，代入y＝x2﹣4x﹣5，得：y＝4﹣8﹣5＝﹣9， ∴D（2，﹣9）， 设直线DB的解析式为：y＝kx+b，代入D（2，﹣9），B（5，0）， 得：， 解得：， ∴直线DB的解析式为：y＝3x﹣15， ∵，且， ∴， ∴， 由BD是定值，得当GH取最大值时，FG取最大值， 设G（m，m2﹣4m﹣5），则H（m，3m﹣15）， ∴GH＝3m﹣15﹣（m2﹣4m﹣5）＝﹣m2+7m﹣10（2＜m＜5）， ∴当m时，GH有最大值， 此时GH， ∴S△BDG3， ∴△BDG的最大面积为； （3）设直线CD的解析式为y＝kx+b，代入C（0，﹣5），D（2，﹣9）， 解得， ∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣5， ①当∠PCD＝90°时， 由PC⊥CD，设直线PC的解析式为， 代入C（0，﹣5），解得m＝﹣5， ∴直线PC的解析式为：y， 联立， 解得（点C的坐标，舍去）或， ∴此时点P的坐标为（，）； ②当∠PDC＝90°时， 由PD⊥CD，设直线PD的解析式为：， 代入D（2，﹣9），解得q＝﹣10， ∴直线PD的解析式为：， 联立， 解得（点D的坐标，舍去）或， ∴此时点P的坐标为（，）． 综上所述，符合题意的点P的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，面积最值问题，直角三角形的存在性问题，本题的关键是熟练二次函数的性质，利用分类讨论思想解题． 20．（2023秋•梅里斯区期末）综合与探究 如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点H，当BH+CH的值最小时，点H坐标为 　 　； （3）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，当四边形AOCP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值； （4）探究在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）把A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）根据抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，B（1，0），则AC与对称轴的交点即为点H，用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，即可求解； （3）连接AP，CP，易得，设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4），求出PQ＝﹣t2﹣4t，则，根据四边形AOCP的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （4）设，根据两点之间距离公式得出AC2＝32，，CM2＝m2﹣8m，分三种情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4），代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式y＝﹣x2﹣3x+4． （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A（﹣4，0）， ∴B（1，0）， ∵点A和点B关于直线对称， ∴AC与对称轴的交点即为点H， 设直线AC的解析式为y＝kx+h， 把A（﹣4，0），C（0，4）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+4， 把代入得， ∴， 故答案为：； （3）如图：连接AP，CP， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴OA＝4，OC＝4， ∴， 设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4）， ∴PQ＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t， ∴， ∴四边形AOCP的面积， ∵﹣2＜0， ∴当t＝﹣2时，四边形AOCP的面积最大为16， 此时P（﹣2，6）； （4）设， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴AC2＝42+42＝32，AM2，CM2＝（）2+（m﹣4）2＝m2﹣8m， 当斜边为AC时，AM2+CM2＝AC2， 即m2﹣8m32， 解得：m1＝2，m2＝2； ∴M（，2）M（，2）； 当斜边为AM时，AC2+CM2＝AM2， 即32+m2﹣8m， 解得：m， ∴M（，）； 当斜边为CM时，AC2+AM2＝CM2， 即32m2﹣8m， 解得：m， ∴M（，）； 综上，M的坐标为M（，2）或M（，2）或M（，）或M（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《第1章 二次函数》 二次函数的综合专训（四） ---直角三角形的存在性问题 ●●解决二次函数直角三角形存在性问题的方法： 直角三角形的存在性问题和等腰三角形类似，采用的是直角顶点分类讨论法，即确定直角顶点角后，利用两点间距离公式表示出各边的长度，然后利用勾股定理进行. 一、代数法 1、表示点的坐标； 2、表示出三条边（利用两点间距离公式） 3、按分类的情况，利用勾股定理建立方程（组）， 4、求出动点坐标，注意舍去不符合题意的点. 二、斜率法 两条直线互相垂直它们的斜率之积是﹣1.（） 1．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023•咸宁三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、B（0，1），抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为C（﹣4，n）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ​ 3．（2023•绵阳二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5． （1）求二次函数的解析式； （2）若点D的坐标为（，0），试判断△DCB的形状，并说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024•耒阳市一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 5．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于C（0，﹣3），顶点为D，点M是抛物线上任意一点． （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使∠AMC＝∠MCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 6．（2024•秭归县模拟）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（1，﹣5），求抛物线L2对应的函数关系式； （2）当△BPC的周长最小时，求抛物线L2对应的函数关系式； （3）是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线L2对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•乌兰察布期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B的坐标为（0，﹣4），点C的坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点E是抛物线的对称轴上的一点，若△ABE是直角三角形，直接写出点E的坐标． 8．（2023•临洮县模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t． （1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？ （3）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024•安庆一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标． 10．（2024•阿荣旗二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的关系式； （2）M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024•古浪县三模）如图，已知：关于y的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式． （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标． （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达B点时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出面积． 12．（2024•市中区三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）． （1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标； （3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 13．（2024•广安二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B两点，交y轴于点C（0，4）． （1）求抛物线的函数解析式． （2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP，CP，求四边形AOCP的面积的最大值． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2024•金山区二模）已知：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0）、B（0，﹣3），顶点为P． （1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标； （2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧． ①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； ②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且△BDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 15．（2024•遂宁）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 16．（2024•东营区校级模拟）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的关系式； （2）M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2024•南充模拟）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线止位于第四象限内一动点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作MN⊥x轴于N，是否存在点M，使△CMN为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 19．（2024•龙马潭区开学）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接BD，若点E是y轴负半轴上的一动点，过点E作BD的垂线，分别与线段BD、抛物线相交于点F、G（点F、G都在抛物线对称轴的右侧），当FG最大时，求△BDG的面积； （3）如图2，连接CD，抛物线上是否存在点P，使△CDP是以CD为直角边的直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2023秋•梅里斯区期末）综合与探究 如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点H，当BH+CH的值最小时，点H坐标为 　 　； （3）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，当四边形AOCP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值； （4）探究在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$