第1章 推理与证明（复习课件）数学青岛版2024八年级上册

单元复习课件 第1章 推理与证明 青岛版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握定义、公理、定理等基本概念，明确它们在推理与证明中的作用；能准确区分命题的条件与结论，掌握命题的四种形式及相互关系，为后续证明奠定扎实的理论基础。 3.能够运用推理与证明的知识解决几何中的实际问题，如证明线段或角的关系等；体会推理与证明在数学学习和实际生活中的应用价值，培养用数学的思维分析和解决问题的习惯，提升综合运用知识的能力。 2. 重点掌握基本证明方法，能结合几何图形进行推理证明，培养从已知条件出发推导结论、提高推理的严谨性和条理性。 单元学习目标 概念 定义 基本事实 几何证明 真命题 推理证明 命题 定理、推论 假命题 代数推理 单元知识图谱 考点1 定义 能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义。 【例1】下列语句不属于定义的是( ) A. 连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离 B. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的方程是一元一次方程 C. 两直线平行，内错角相等 D. 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成 两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 解： 选项 A， B， D 分别对两点间的距离、一元一次方程、角的平分线的含义进行描述，属于定义；选项 C 是平行线的性质，不属于定义。 C 考点串讲 5 考点2 命题及其组成 1. 命题： 对某件事情作出判断的语句叫作命题。 【例2】下列语句中哪些是命题？ (1)直角三角形中的两个锐角互余。 (2)正数都小于 0。 (3)如果∠ 1+ ∠ 2=180°，那么∠ 1 与∠ 2 互补。 (4)太阳不是行星。 (5)对顶角相等吗？ (6)作一个角等于已知角。 解： (1)(2)(3)是命题，它们都对事情作出了肯定回答；(4)是命题，它对事情作出了否定回答；(5)不是命题，只表示疑问，并未作出判断；(6)不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思。所以(1)(2)(3)(4)是命题，(5)(6)不是命题。 考点串讲 【例3】将下列命题改写成“如果 ……，那么……”的形式，并指出它们的条件和结论。 (1)同位角相等，两直线平行； (2)平方后等于1的数是1； (3)平行于同一条直线的两条直线平行。 2. 命题的组成 (1) 命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。 (2)命题的一般叙述形式是“如果……，那么……”。 解：(1)如 果 两 条 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截，同 位 角 相 等，那么这两条直线平行。条 件：两 条 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截，同 位 角 相 等；结 论：这两条直线平行。 (2)如果一个数的平方等于 1，那么这个数是 1。条件：一个数的平方等于 1；结论：这个数是 1。 (3)如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行。条件：两条直线平行于同一条直线；结论：这两条直线平行。 考点2 命题及其组成 考点串讲 考点3 命题的真假 1. 命题的种类  (1) 真命题：当条件成立时，结论一定成立的命题叫作真命题。 (2) 假命题：当条件成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题。 2. 反例： 满足命题条件，而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例，就可以说明这个命题是假命题。 【例4】判断下列命题是真命题还是假命题。如果是假命题，请举出反例。 (1)互为补角的两个角相等； (2)若a=b，则a+c=b+c； (3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等。 解：(1)是假命题。 例如：设 ∠ 1=100°， ∠ 2=80°，则 ∠ 1 与 ∠ 2 互 为 补 角，但是∠ 1 ≠∠ 2。 (2)是真命题。 (3)是假命题。 例如：两个长方形的长和宽分别为 5,3 和 6，2，则它们的周 长 分 别 为 2×(5+3) =16，2×(6+2) =16，周 长 相 等，但 是面积分别为 5× 3=15，6× 2=12，面积不相等。 考点串讲 考点4 推理论证的必要性 在数学上，仅凭观察、实验、类比、归纳等方法得出的命题，只是一种猜想，并 不一定正确。若要确定命题是真命题，还需要经过严密的逻辑推理加以证实。 【例5】先观察，再验证： (1)如图 1.2-1，线段 a 与线段 b，哪条更长？ (2)如图 1.2-2，直线 AB 与直线 CD 平行吗？ 解：(1)对于图 1.2-1，直接观察可得结论线段 a 比 b 长，而实际上通过度量比较得 a 与 b 一样长。 (2)对于图 1.2-2，直接观察可得结论 AB 与 CD 不平行，但实际上用直尺和三角尺推移验证得 AB 与 CD 平行。 考点串讲 考点5 代数中的推理 1. 基本事实： 人们在长期的实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为依据来证实其他命题。 2. 代数推理中常用到的基本事实： 等量代换，即一个量可以用它的等量来替换。 3. 在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式(不等式)的基本性质等进行运算和推理。 【例6】说明下列命题是真命题： (1)如果 x=－3，那么 4x=－12；(2)如果 a， b 都是偶数，那么 ab 是偶数。 解：（1）因为 x= － 3(已知)，所以 4x=4×( － 3)(等式的基本性质)。 所以 4x= － 12(乘法的运算法则)。 （2）因为 a， b 都是偶数(已知)，设 a=2m， b=2n， 其中 m， n 是整数(偶数的定义)， 所以 ab=2m·2n=4mn(单项式乘单项式的法则)。 因为 m， n 是整数(已知)，所以 mn 是整数(整数的基本性质)。 所以 4mn 是偶数(偶数的定义)。所以 ab 是偶数(等量代换)。 考点串讲 考点6几何证明 1. 在几何命题中，已经学过的基本事实有： (1)两点确定一条直线； (2)两点之间线段最短； (3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 基本事实通常作为论 证的起点和依据 2. 证明： 从 定 义、基 本 事 实 及 已 知 条 件 出 发，通 过 逻 辑 推 理的方法证实命题的过程叫作证明。 3. 定理： 我们把经过推理证实的真命题叫作定理。 “对顶角相等”是定理。定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。 考点串讲 4. 几何证明的一般步骤：(1)根据题意，画出图形；(2)结合图形，写出“已知”“求证”；(3)写出“证明”。 【例7】求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。 证 明 ： 如图 1.2-3，已知 AB ∥ CD，直线 AB， CD 被直线EF 所 截，交 点 分 别 为 M， N， MP， NQ 分 别 为 ∠ BMF 与∠ CNE 的平分线。 求证： MP ∥ NQ。 证明：因为 AB ∥ CD(已知)， 所以∠ BMF= ∠ CNE(两直线平行，内错角相等)。 考点6几何证明 因为 MP， NQ 分别平分∠ BMF 与∠ CNE(已知)， 所以∠ 1= ∠ BMF， ∠ 2= ∠ CNE(角平分线的定义)。 所以∠ 1= ∠ 2(等量代换) 。 所以 MP ∥ NQ(内错角相等，两直线平行) 。 考点串讲 考点7 平行线的性质定理和判定定理 1. 平行线的性质定理 (1)平行线的性质定理 I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简写成：两直线平行，同位角相等； (2) 平行线的性质定理 II：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简写成：两直线平行，内错角相等； (3) 平行线的性质定理 III：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简写成：两直线平行，同旁内角互补。 考点串讲 2. 平行线的判定定理 (1) 基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简写成：同位角相等，两直线平行； (2) 平行线的判定定理 I：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简写成：内错角相等，两直线平行； (3) 平行线的判定定理 II：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简写成：同旁内角互补，两直线平行。 考点7 平行线的性质定理和判定定理 考点串讲 【例8】如 图 1.3-1， AB ∥CD，∠ B= ∠ D，直线 EF 与 AD， BC 的延长线分别交于点 E， F。 求证：∠ DEF= ∠ F。 证明： 因为 AB ∥ CD(已知)， 所以∠ DCF= ∠ B(两直线平行，同位角相等)。 因为∠ B= ∠ D(已知)， 所以∠ DCF= ∠ D(等量代换)。 所以 AD ∥ BC(内错角相等，两直线平行)。 所以∠ DEF= ∠ F(两直线平行，内错角相等)。 考点串讲 考点8 互逆命题、逆定理 1. 互逆命题： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。 2. 逆定理： 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。 【例9】写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是真命题还是假命题。 (1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； (2)如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点； (3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。 解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角。假命题。 (2)如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交。真命题。 (3)在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线。真命题。 考点串讲 考点9 三角形内角和定理及其推论 1. 定理  三角形的内角和等于 180°。 表示方法： 在△ ABC 中， ∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° 。 在三角形中已知两个角的度数，可以求出第三个角的度数 2. 三角形内角和定理的证明思路 思路一： 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将 三角形的三个内角转化为一个平角。如图 1.3-2 ①②。 思路二： 利 用“两 直 线 平 行，内 错 角 相 等”将 三 角 形 的 三个 内 角 转 化 为 两 平 行 线 间 的 一 组 同 旁 内 角。 如 图 1.3-3 ①②。 考点串讲 3. 推论： 由基本事实或定理直接推出的真命题叫作推论。推论可以作为定理使用。 4. 三角形内角和定理的推论 推论 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 推 论 2：三 角 形 的 一 个 外 角 大 于 与 它 不 相 邻 的 任 意 一 个内角。 特别说明： 利用推论 1 可以证明一个角等于另两个角的和或差，也可以作为中间关系证明两个角相等。 考点9 三角形内角和定理及其推论 考点串讲 【例10】如 图 1.3-4，在 △ ABC 中，∠ B=46 °，∠ C=54°， AD 平分∠ BAC，交 BC 于点 D， DE ∥ AB，交 AC 于点 E，则∠ ADE 的大小是( ) A. 45° B. 54° C. 40° D. 50° 解：因为∠ B=46° ， ∠ C=54° ， 所以∠ BAC=180° －∠ B－∠ C=180° －46° －54° =80° 。 因为 AD 平分∠ BAC，所以∠ BAD= ∠ BAC=40° 。 因为 DE ∥ AB，所以∠ ADE= ∠ BAD=40° 。 C 考点串讲 【例11】如 图，在 △ ABC中， ∠ A= ∠ DBC= 36 °，∠ C=72 °。 求∠ 1，∠ 2的度数。 解：因为∠DBC＝36°，∠C＝72°， 所以在△BCD中，∠1＝ 180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°。 因为∠1是△ABD的外角，∠A＝36°， 所以∠2＝∠1－∠A＝72°－36°＝36°。 考点串讲 知识点 考点10直角三角形的性质定理和判定定理 1. 性质定理： 直角三角形的两个锐角互余。 几何语言： 如图 1.3-6，在 Rt △ ABC 中， 因为∠ C=90° ，所以∠ A+ ∠ B=90° 。 2. 判 定 定 理： 有 两个角 互 余 的 三 角 形 是 直 角 三角形。 几何语言： 如图 1.3-6，在△ ABC 中， 因为∠ A+ ∠ B=90° ， 所以△ ABC 是直角三角形。 考点串讲 【例12】如图 ，在 △ ABC 中，∠ A=30 °，∠ B=70 °， CE 平分∠ ACB， CD ⊥ AB 于点 D， DF ⊥ CE 于点 F。 (1)试说明：∠ BCD= ∠ ECD； (2)请找出图中所有与∠ B 相等的角。 解： 因为 CD ⊥ AB， 所以∠ CDB=90° 。所以∠ B+ ∠ BCD=90° 。 又因为∠ B=70° ，所以∠ BCD=90° －70° =20° 。 在△ ABC 中， 因为∠ A=30° ， ∠ B=70° ，所以∠ ACB=180° －30° －70° =80° 。 因为 CE 平分∠ ACB，所以∠ BCE=∠ ACB=40° 。 所以∠ ECD= ∠ BCE－∠ BCD=40° －20° =20° 。所以∠ BCD= ∠ ECD。 解：因为 CD ⊥ AB 于点 D， DF ⊥ CE 于点 F，所以∠ ADC=90° ， ∠ DFC=90° 。 所以∠ CED=90° －∠ ECD=90° － 20° =70° ， ∠ CDF=90° －∠ ECD=90° －20° =70° 。 因此与∠ B 相等的角有∠ CED 和∠ CDF。 考点10直角三角形的性质定理和判定定理 考点串讲 【例13】如 图 1.3-8， AB ∥ CD，直 线 EF 分别 交 AB， CD 于 点 E， F， ∠ BEF 的 平 分 线 与∠ DFE 的平分线相交于点 P. 求证：△ EFP 为直角三角形。 证明： 因为 AB ∥ CD， 所以∠ BEF+ ∠ DFE=180° 。 因为 EP 为∠ BEF 的平分线， FP 为∠ EFD 的平分线， 所以∠ PEF= ∠ BEF，∠ PFE=∠ DFE。 所以∠ PEF+ ∠ PFE= (∠ BEF+ ∠ DFE) = × 180° =90°。 所以△ EFP 为直角三角形。 考点10直角三角形的性质定理和判定定理 考点串讲 考点11 反证法 1. 反证法： 先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作反证法。 2. 用反证法证明命题的一般步骤 (1)否定结论——假设命题的结论不成立； (2) 推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果； (3) 肯 定 结 论 —— 由 矛 盾 判 定 假 设 不 成 立，从 而 证 明 命题成立。 考点串讲 【例14】已知△ ABC，求证：在∠ A，∠ B，∠ C 这三个内角中，至少有两个锐角。 证 明： 假设△ ABC 的三个内角中至多有一个锐角，不妨设 0 ° < ∠ A<90 ° ，则 90 ° ≤ ∠ B<180 ° ， 90 ° ≤ ∠ C<180° 。 所以∠ A+ ∠ B+ ∠ C>180° ，这与三角形内角和定理相矛盾。所以假设不正确。 所以在∠ A， ∠ B， ∠ C 这三个内角中 , 至少有两个锐角。 考点11 反证法 考点串讲 关键点拨 解题的关键是利用三角形内角和定理将和联系起来 大招解读 内外角平分线模型 如图,，分别是，的平分线，则 . 题型一、内外角平分线模型 题型剖析 题型一、内外角平分线模型 9.如图，在中， ， 的平分线与 的外角的平分线交于点； 的平分线与 的外角的平分线交于点， ，以此类推，则 _______.（用含 的式子表示） 【解析】，的平分线与的外角 的平分 线交于点 ， .同理可得 ， ， , ， . 故答案为 . 题型剖析 27 大招解读 双外角平分线模型 如图,，分别是，的平分线，则 . 题型二、双外角平分线模型 题型剖析 28 题型二、双外角平分线模型 10.［2025广东湛江校级期中，中］在中，与的平分线相交于点 . 图（1） （1）如图（1），若 ，则 _________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ___________________________________ ；（用含 的代数式表示） 【解】因为， 分别平 分与，所以， .因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 .故答案为 . 题型剖析 29 图（2） （2）如图（2），作外角，的平分线交于点 ， 试探究与 之间的数量关系，并说明理由. 【解】 .理由：因为，分别平分 ， ，所以， ，所以 ,所以 ,所以 ，所以 .由（1） 知，所以 . 考点串讲 30 1.[中考·威海]将一副直角三角尺如图 1.3-5 摆放，点 C在 EF 上， AC 经过点 D。已知∠ A= ∠ EDF=90°， ∠ E=30°，∠ BCE=40°，则∠ CDF=_____ 。 25° 解： 如 图 1.3-5，由 三 角 形 内 角 和 定 理 的 推 论 1，知∠ 1= ∠ E+ ∠ BCE=30° +40° =70° ， 由 三 角 形 内 角 和 定 理 知 ∠ 2=180 ° － ∠ 1－ ∠ ACB=180° －70° －45° =65° ， 所以∠ CDF= ∠ EDF－∠ 2=90° -65° =25° 。 针对训练 2.[月考· 青岛即墨区]如 图，点 C 是 直线 AB 上 的 一 点，作 射线 CD， CE， CF， CE，CF 分 别 是 ∠ ACD，∠ BCD的平分线。求证：CE⊥ CF。 针对训练 3.如图，在△ ABC中，AD⊥ BC于点D， AE平分 ∠ BAC，若 ∠ BAE=30°，∠ CAD=20°，求∠ B的度数。 解：因为AE平分∠BAC， 所以∠BAE＝∠CAE＝30°。 所以∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝10°。 因为AD⊥BC，所以∠ADE＝90°， 所以∠AED＝90°－∠EAD＝80°。 因为∠AED＝∠B＋∠BAE， 所以∠B＝80°－30°＝50°。 针对训练 4.如 图，在 △ ABC中， AD 是 BC 边 上 的高， E 是 AB边上一点，CE 交 AD 于 点 M， 且∠ DCM= ∠ MAE。求证:△ AEM是直角三角形。 证明：因为AD是BC边上的高，所以∠ADC＝90°。 所以∠DMC＋∠DCM＝90°。 因为∠DCM＝∠MAE，∠DMC＝∠AME， 所以∠AME＋∠MAE＝90°。所以△AEM是直角三角形。 针对训练 5.用反证法证明：一个三角形中至多有一个角是钝角。 证明：假设△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有 两个钝角，则∠A＋∠B＋∠C>180°。 与三角形内角和定理矛盾，因而假设错误。 所以∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角。 针对训练 课堂总结 感谢聆听! 证明：因为点C是直线AB上的一点(已知)， 所以∠ACD＋∠BCD＝180°(平角的定义)。 因为CE，CF分别是∠ACD，∠BCD的平分线(已知)， 所以∠ECD＝∠ACD，∠FCD＝∠BCD(角平分线的定义)。 所以∠ECD＋∠FCD＝(∠ACD＋∠BCD)＝×180°＝90°(等量代换)，即∠ECF＝90°。所以CE⊥CF(垂直的定义)。 $$