第1章 直线与方程（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

第1章 直线与方程 教学目标 1.复习直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和两点式、直线方程的一般式，并会互化． 2.复习两直线平行与垂直的条件、两条直线的交点、平面上两点间的距离、点到直线的距离． 3.通过直线与方程的复习以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力． 4.通过对具体例题和变式的探究，向学生渗透分类、数形结合、化归的思想，培养学生观察、分析和概括的能力． 教学重难点 1.重点 直线与方程的综合运用 2.难点 直线与方程的综合运用 知识点01 直线的倾斜角和斜率 1．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为____k＝_______. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 2．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 注：（1）倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． （2）涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． (3) 倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0, π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定． （4）斜率的范围与倾斜角的范围的相互确定，此时要结合k＝tanα， α∈∪的图象． 【即学即练】 1．经过两点的直线的斜率是（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由斜率计算公式即可求解； 【解析】由， 可得， 故选：C 2.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【解析】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D. 3.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【解析】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C. 知识点02 直线的方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 注：(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 注：(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程___________叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 注：(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程__________叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 注：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 7．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 8.直线系方程的常见类型 (1) 过定点P(x0, y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程． (2) 平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)． (3) 垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)． (4) 过直线l1: A1x＋B1y＋C1＝0和l2: A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 求直线方程时，应选择适当形式的直线方程，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应先注意分类讨论，判断截距是否为0；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 易错防范： (1) 求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在．每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． (2) 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围，二是要考虑正切函数的单调性． (3) 截距为一个实数，既可为正数，也可以为负数，还可以为零，这是解题容易忽略的一点．关于截距有如下规律： ① 两个截距相等⇔直线的斜率为－1或直线过原点；　 ② 两个截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； ③ 两个截距的绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点； ④ 直线与两坐标轴围成等腰三角形⇔直线的斜率为±1且不过原点． 【即学即练】 1．倾斜角为的直线过点，则的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【解析】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D. 2．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1)(2)；(3)或. 【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【解析】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 知识点03 两直线的位置关系 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 注：(1) 掌握判断两直线平行、垂直的条件，当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要考虑x, y的系数不能同时为零的情况． (2) 在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间关系得出结论，即用法向量来判定． (3) 求过两直线交点的直线方程的方法： ① 先求交点再结合条件求方程； ② 用过交点的直线系方程解题． 【即学即练】 1.下列哪条直线与直线垂直（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【解析】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 2.判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行；(2)重合；(3)垂直；(4)垂直 【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【解析】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 3.已知直线与平行，则实数（  ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】A 【分析】根据两直线平行要求，若直线与平行,则满足计算即可. 【解析】因为直线与平行， 所以，解得或， 经检验时两直线重合. 故选：A. 知识点04 中点坐标与距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 注：(1) 用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式． (2) 用两条平行直线间的距离公式时，要将两直线方程中x, y的系数分别化为相等． (3) 求解两条平行直线的距离也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离． 【即学即练】 1.已知点，，且，则实数等于（  ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 【答案】C 【分析】根据两点间的距离公式可解得结果. 【解析】因为， 所以，即，解得或， 故选：C 2.两条平行线与间的距离为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【解析】直线，所以所求距离为. 故选：A. 3.若点到直线的距离相等，则实数的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【解析】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C. 知识点05 对称问题 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 注：(1) 解决中心对称问题，只需运用中点坐标公式就可以解决． (2) 解决点关于直线对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直，二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上． (3) 直线关于直线对称有以下两种处理方法： ① 转化为点关于直线对称，在已知直线上取两点，这两点的对称点确定的直线即为对称直线． ② 可以分已知直线与对称轴相交和平行两种情况处理，先求已知直线上一点(不在对称轴上)的对称点．若相交，过对称点与交点的直线即为对称直线；若平行，过对称点与已知直线平行的直线即为对称直线． 【即学即练】 1.点关于直线的对称点坐标为__________ 【答案】 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【解析】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故答案为： 2.直线关于点对称的直线方程为（　　） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 3.直线关于直线对称的直线方程是____________ 【答案】 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【解析】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上， ， 故答案为： 题型01 直线的倾斜角、斜率及其应用 【典例1】若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围. 【解析】作出正切函数在的图象如下图，    如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. (1) 斜率有两种求法：k＝tanθ＝ (2) 由倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tanx在[0, π)上的单调性求解，应注意倾斜角为时，斜率不存在，正切函数在[0, π)上并不是单调的．因此常常借助正切函数的图象，将角分为， 两部分分别对应斜率中的非负值和负值． 【变式1】如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解析】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D. 【变式2】已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【解析】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【变式3】已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 　　　　． 【答案】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【解析】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 【变式4】在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【解析】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. . 题型02 直线的方程 【典例1】已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】（1）根据平行求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （2）求出线段中点坐标，分析可得直线方程. （3）利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （4）求出线段中点坐标，利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. 【解析】（1）的斜率：， 所求直线的方程为，整理得. （2）因为，，所以的中点坐标为， 因为，所以边上的中线所在直线的方程为. （3）的斜率：， 所以边上的高所在直线方程的斜率， 边上的高所在直线方程为，整理得. （4）由题意知：的中点坐标为，， 边的垂直平分线的斜率：， 边的垂直平分线的方程为，整理得. （1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． （2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为0)． 【变式1】经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】利用分类讨论思想，分截距为与不为两种情况，设出直线方程，代入点求得参数，可得答案. 【解析】当直线在两坐标轴上的截距为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 【变式2】已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)求过点且横截距与纵截距相等的直线方程. 【答案】(1)证明见解析；(2)或者 【分析】（1）通过即可求证； （2）通过截距为0和不为0两类情况求解即可. 【解析】（1）即 令解得 直线过定点 （2）当直线横截距等于纵截距为0时 直线过原点  斜率 此时直线方程为即 当直线横截距，纵截距不为0时，可设直线的方程为： 直线过点，代入方程得   直线的方程为：，即直线的方程为： 综上所述直线的方程为或者. 【变式3】已知直线. (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）将直线方程变换主元，联立方程组解方程即可； （2）设，由中点坐标公式计算得，得出截距式方程转化为斜截式即可. 【解析】（1）由直线变形得， 令，解得：，                             由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）设，则由已知有，联立解得：， 所以直线的截距式方程为，即的方程为，. 【变式4】已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； (3)求边上的中线所在的直线方程. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程. （3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【解析】（1）直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3， 所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得， 所以直线的方程为. （3）依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 题型03 两条直线的平行与垂直 【典例1】（1）已知直线：，：，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）直线与直线的位置关系是（  ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【答案】（1）A；（2）A 【分析】（1）首先根据公式求两直线平行时的值，再判断充分，必要条件；（2）分和讨论，其中时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断. 【解析】（1）当时，，解得：， 验证：当时，，，两直线平行， 当，，，两直线平行， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. （2）当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直， 故选：A. (1) 当含参数的直线方程为一般式时，若要表示其斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x, y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2) 在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线一般式方程的系数间的关系得出结论． 【变式1】（24-25高二上·湖北荆州·期末），，若，则（  ） A．1 B．1或2 C．1或3 D．3 【答案】D 【分析】利用直线平行的性质求解即可. 【解析】因为，，， 当，即时，，此时与不平行； 当，即时，有，解得， 经检验，当时，， 所以. 故选：D. 【变式2】“”是“直线与直线垂直”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线垂直求a，进而结合充分、必要条件分析判断. 【解析】若直线与直线垂直， 则，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解. 【解析】三条直线不能围成三角形，则有以下情况： (1) 直线与直线平行， 则有； (2) 直线与直线平行， 则有； (3) 三条直线，，相交于同一点， 联立解得，代入可得， 综上，实数m的取值集合为， 故答案为: . 题型04 与距离、中点相关的问题 【典例1】在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意可设，，即可表示出点，利用计算可得，即可得，即可得直线的方程； （2）将点坐标代入直线方程可得，即可借助两点间距离公式用表示出，从而可得其最小值. 【解析】（1）由题意可设，，，，则， 若，则有，化简得， 故，，即， 故直线的方程为，即； （2）由点在直线上，故有， 整理得， 故 ， 即的最小值为. 【变式1】已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 【答案】或2 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【解析】直线，， 所以两平行线间的距离为，解得或， 故答案为：2或 【变式2】已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【解析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C 【变式3】已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【解析】由， 即， 令，解得， 则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 【变式4】当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】两直线平行且垂直于时，距离最大 【解析】由可得过定点，由可得过定点. 又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离. 故答案为： 【变式5】已知点在直线上的运动，则的最小值是______ 【答案】 【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案. 【解析】表示点与距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为． 故答案为： 题型05 对称问题 【典例1】已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【解析】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． (1) 解决点关于直线对称问题要把握两点：若点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直． (2) 如果直线或点关于点成中心对称，那么只需运用中点公式就可解决问题． (3) 若直线l1, l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上． 【变式1】如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（  ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【解析】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B. 【变式2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【解析】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 【变式3】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______ 【答案】5 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解析】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 题型06 直线方程综合 【典例1】在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求最值； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【解析】（1）由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此 ， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （3）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 【变式1】直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为____________ 【答案】4 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【解析】因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故答案为：4 【变式2】数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . 【答案】； 【分析】第一空，由欧拉线定义可得AB中垂线与其交点即为外心，然后由外心坐标可得外接圆半径；第二空，设，由重心坐标公式及欧拉线方程可得纵坐标，然后由外接圆半径可得横坐标. 【解析】第一空，因，，则AB中点坐标为，， 则AB中垂线方程为：， 则其与交点为，即外心坐标为， 则外接圆半径 ； 第二空，设，结合，，可得重心坐标为：， 因其在上，则，则.又，外心坐标为， 则或3（与B重合，舍去），则. 故答案为：；. 【变式2】2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【解析】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为 【变式3】已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)点和点的坐标： (2)在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，；(2)存在， 【分析】（1）根据在直线上以及与边上高所在直线斜率的关系，列出方程组求解出点坐标；根据的中点在中线上以及边上的高经过求解出点坐标； （2）假设存在，根据的大小确定出所在直线的倾斜角，从而可知，分别求解出所在直线的方程，联立可得结果. 【解析】（1）设，因为，所以， 又因为上的高所在直线方程为，所以， 所以， 所以，解得，所以； 设，因为边上中线所在直线方程为， 所以，即， 又因为边上的高经过点，所以， 所以，解得，所以. （2）设存在满足条件，如图所示， 因为，所以， 因为平分，所以， 因为且，所以， 所以，所以，即， 又因为，，所以，即， 所以，所以， 综上所述，存在满足条件. 1．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【解析】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D. 2．已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为. 【解析】设直线的方程为，因为直线经过两点， 所以，解得， 所以的方程为， 将直线与直线的方程联立，解得， 所以直线与的交点坐标为． 故选：C 3．如果且，那么直线不经过（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解. 【解析】由且，得直线的横截距为，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 4．下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【解析】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 5．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解析】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可. 【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，    由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C 7．（多选）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（　　） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 【答案】AD 【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为可知；选项D，由直线过点，得，代入直线方程可得. 【解析】选项A，当时，是方程的解， 即过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，直线的方程可化为， 则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误； 选项C，当时，由不全为0，， 直线的方程可化为， 故直线和轴垂直，不平行，故C错误； 选项D，直线过点，则， 可得，代入直线方程， 得，即，故D正确. 故选：AD. 8．（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（　　） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 9．（多选）设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是正确的是（　　） A．当时，存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等． B．当时，直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限． C．当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为． D．当时，若，则点到直线系M中所有直线的距离不小于1． 【答案】ABD 【分析】直接利用点到直线的距离公式和直线的方程的性质以及恒成立问题的应用判断、、、的结论． 【解析】对于A，当，时，直线系方程为，原点到直线的距离， 故存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等，故A正确； 对于B，当时，直线系方程为，直线经过定点， 当，，时，直线方程化为，显然不过第三象限， 当或或，直线，也不过第三象限， 所以直线不过第三象限，故B正确； 对于C，当时，直线系为，原点到直线系中所有直线的距离， 当时，则直线系为， 则原点到直线的距离，故C错误； 对于D，当，时，直线系为，设,， 则点到直线系中所有直线的距离， 设，,， 因为，则， 所以再,上，恒成立，则可得 故，故D正确 故选：ABD． 10．已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出定点P的坐标，的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得结果. 【解析】由直线l可得， 令，得P点坐标， 依题意：的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得 故答案为： 11．已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是___________ 【答案】 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接、交与点，连接、分别交为点、，则，之间即为点 的变动范围．再求出直线，的斜率即可． 【解析】已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为， 故答案为：． 12．平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据得出，利用点到直线的距离可得答案. 【解析】设，则由， 因为，所以， 的最小值为点到线段的距离， 的最小值为. 故答案为： 13．已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解析】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 14．已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【解析】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程 教学目标 1.复习直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和两点式、直线方程的一般式，并会互化． 2.复习两直线平行与垂直的条件、两条直线的交点、平面上两点间的距离、点到直线的距离． 3.通过直线与方程的复习以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力． 4.通过对具体例题和变式的探究，向学生渗透分类、数形结合、化归的思想，培养学生观察、分析和概括的能力． 教学重难点 1.重点 直线与方程的综合运用 2.难点 直线与方程的综合运用 知识点01 直线的倾斜角和斜率 1．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝_________ (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为___________________. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 2．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴_________与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_________. (2)直线的倾斜角α的取值范围为_________ 3．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) 注：（1）倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． （2）涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． (3) 倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0, π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定． （4）斜率的范围与倾斜角的范围的相互确定，此时要结合k＝tanα， α∈∪的图象． 【即学即练】 1．经过两点的直线的斜率是（  ） A． B． C． D．1 2.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（  ） A． B． C． D． 3.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 知识点02 直线的方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程__________________叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 注：(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为__________________，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 注：(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程________________叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为__________________ ③当时，直线方程__________________ 注：(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程__________________叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 注：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程__________________叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 7．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 8.直线系方程的常见类型 (1) 过定点P(x0, y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程． (2) 平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)． (3) 垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)． (4) 过直线l1: A1x＋B1y＋C1＝0和l2: A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 求直线方程时，应选择适当形式的直线方程，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应先注意分类讨论，判断截距是否为0；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 易错防范： (1) 求直线方程时要注意判断直线的斜率是否存在．每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． (2) 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围，二是要考虑正切函数的单调性． (3) 截距为一个实数，既可为正数，也可以为负数，还可以为零，这是解题容易忽略的一点．关于截距有如下规律： ① 两个截距相等⇔直线的斜率为－1或直线过原点；　 ② 两个截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； ③ 两个截距的绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点； ④ 直线与两坐标轴围成等腰三角形⇔直线的斜率为±1且不过原点． 【即学即练】 1．倾斜角为的直线过点，则的方程为（  ） A． B． C． D． 2．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 知识点03 两直线的位置关系 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率_________ 斜率_________ 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都_________)⇔k1k2＝－1 l1的斜率_________，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 注：(1) 掌握判断两直线平行、垂直的条件，当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要考虑x, y的系数不能同时为零的情况． (2) 在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间关系得出结论，即用法向量来判定． (3) 求过两直线交点的直线方程的方法： ① 先求交点再结合条件求方程； ② 用过交点的直线系方程解题． 【即学即练】 1.下列哪条直线与直线垂直（  ） A． B． C． D． 2.判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 3.已知直线与平行，则实数（  ） A．0 B． C．0或 D．0或 知识点04 中点坐标与距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的_________为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的__________________，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=_________. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的_________的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=_________. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则_________ 注：(1) 用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式． (2) 用两条平行直线间的距离公式时，要将两直线方程中x, y的系数分别化为相等． (3) 求解两条平行直线的距离也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离． 【即学即练】 1.已知点，，且，则实数等于（  ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 2.两条平行线与间的距离为（  ） A． B． C． D．1 3.若点到直线的距离相等，则实数的值为（  ） A． B． C．或 D．或 知识点05 对称问题 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的_________P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为_________. 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点_________； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的_________为B(x,y). (1)直线l的斜率_________时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率_________时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率_________时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则_________必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离_________，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 注：(1) 解决中心对称问题，只需运用中点坐标公式就可以解决． (2) 解决点关于直线对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直，二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上． (3) 直线关于直线对称有以下两种处理方法： ① 转化为点关于直线对称，在已知直线上取两点，这两点的对称点确定的直线即为对称直线． ② 可以分已知直线与对称轴相交和平行两种情况处理，先求已知直线上一点(不在对称轴上)的对称点．若相交，过对称点与交点的直线即为对称直线；若平行，过对称点与已知直线平行的直线即为对称直线． 【即学即练】 1.点关于直线的对称点坐标为__________ 2.直线关于点对称的直线方程为（　　） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 3.直线关于直线对称的直线方程是____________ 题型01 直线的倾斜角、斜率及其应用 【典例1】若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是（  ） A． B． C． D．或 (1) 斜率有两种求法：k＝tanθ＝ (2) 由倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tanx在[0, π)上的单调性求解，应注意倾斜角为时，斜率不存在，正切函数在[0, π)上并不是单调的．因此常常借助正切函数的图象，将角分为， 两部分分别对应斜率中的非负值和负值． 【变式1】如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 　　　　． 【变式4】在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 题型02 直线的方程 【典例1】已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. （1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． （2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为0)． 【变式1】经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【变式2】已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)求过点且横截距与纵截距相等的直线方程. 【变式3】已知直线. (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 【变式4】已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； (3)求边上的中线所在的直线方程. 题型03 两条直线的平行与垂直 【典例1】（1）已知直线：，：，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）直线与直线的位置关系是（  ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 (1) 当含参数的直线方程为一般式时，若要表示其斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x, y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2) 在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线一般式方程的系数间的关系得出结论． 【变式1】（24-25高二上·湖北荆州·期末），，若，则（  ） A．1 B．1或2 C．1或3 D．3 【变式2】“”是“直线与直线垂直”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 题型04 与距离、中点相关的问题 【典例1】在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点． (1)若，求直线的方程； (2)若点在直线上，求的最小值． 【变式1】已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 【变式2】已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式3】已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 【变式4】当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【变式5】已知点在直线上的运动，则的最小值是______ 题型05 对称问题 【典例1】已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． (1) 解决点关于直线对称问题要把握两点：若点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直． (2) 如果直线或点关于点成中心对称，那么只需运用中点公式就可解决问题． (3) 若直线l1, l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上． 【变式1】如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（  ） A．3 B． C． D． 【变式2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【变式3】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______ 题型06 直线方程综合 【典例1】在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【变式1】直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为____________ 【变式2】数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . 【变式2】2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【变式3】已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)点和点的坐标： (2)在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 1．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（  ） A． B． C． D． 2．已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（  ） A． B． C． D． 3．如果且，那么直线不经过（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（　　） A． B． C． D． 5．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． 7．（多选）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（　　） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 8．（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（　　） A． B． C．12 D．14 9．（多选）设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是正确的是（　　） A．当时，存在一个点与直线系M中所有直线的距离都相等． B．当时，直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限． C．当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为． D．当时，若，则点到直线系M中所有直线的距离不小于1． 10．已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为 ． 11．已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是___________ 12．平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 13．已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 14．已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$