精品解析：湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2025年上学期高一期末考试 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8个小题，共40分） 1. 已知复数，则（ ）. A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的代数运算化简复数，在利用复数的模的公式求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的代数运算以及复数的模，属于基础题. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】由全称命题的否定为特称命题， 故原命题否定为“，”. 故选：A 3. 已知函数若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数可知先求，再求即可 【详解】∵， ∴， 解得， 故选：D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果. 【详解】解不等式可得或； 显然是或的真子集， 所以可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象关于原点对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件利用二倍角公式化简求出函数的解析式，根据函数的变化规律结合诱导公式即可求得结论. 【详解】令，则有， 设向右平移个单位长度后得到的函数为， 则有， 根据已知条件的图象与的图象关于原点对称， 则有，即， 所以，解得, 又因为，所以当时，取最小值为. 故选：B 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件算出即可求解. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 所以. 故选：C. 7. 已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数在上的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设知可求，又由为奇函数求，写出的解析式，由正弦函数的性质，根据给定区间求函数值域即可. 【详解】由题设知：，即，即， 又关于原点对称，即为奇函数， ∴，则，又， ∴，故， ∴时，有，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用三角函数的最小正周期、奇函数性质求参数，并写出函数解析式，进而根据给定区间求值域. 8. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先观察韦恩图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解. 详解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中， 又，， 则图中阴影部分表示的集合是，故选A. 点睛：该题考查的是有关集合运算的问题，在解题的过程中，需要正确读取韦恩图的信息，属于基础题目. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 该班数学成绩的极差大于40 B. 该班数学成绩不低于115分的频率为0.15 C. 该班数学成绩在内的学生比在外的学生少 D. 估计该班数学成绩的分位数为97.5 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据极差的定义得到该班数学成绩的极差小于等于；B选项，利用矩形面积求出该班数学成绩不低于115分的频率；C选项，求出该班数学成绩在内的频率，进而得到落在外的频率，得到C错误；D选项，先求出该班数学成绩的分位数落在区间，设出未知数，得到方程，求出答案. 【详解】A选项，该班数学成绩最高分位于中，最低分位于中， 故该班数学成绩的极差小于等于，A错误； B选项，该班数学成绩不低于115分的频率为，B正确； C选项，该班数学成绩在内的频率为， 该班数学成绩在外的频率为， 由于，故该班数学成绩在内的学生比在外的学生多，C错误； D选项，该班数学成绩在的频率为， 该班数学成绩在的频率为， 故该班数学成绩的分位数落在区间内，设为， 则有，解得， 估计该班数学成绩的分位数为，D正确. 故选：BD 10. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B. 若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数 C. 若，则z的虚部为－2i D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，举例判断即可，对于B，直接求解即可，对于C，由已知直接判断，对于D，根据复数的几何意义求解即可 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，由于点Z的坐标为（－1，l），所以，所以是纯虚数，所以B正确， 对于C，由于，所以z的虚部为－2，所以C错误， 对于D，设，则，因为，所以，所以点Z的集合所构成的图形的面积为，所以D正确， 故选：BD 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则， B. 若为锐角三角形，则， C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理及余弦三角函数的性质即可求解； 对于B，利用锐角三角形的定义及正弦函数的性质，结合诱导公式即可求解； 对于C，利用三角形的内角和定理及诱导公式，结合两角和的正切公式及三角形的特点即可求解； 对于D，利用二倍角的余弦公式及正弦定理的边化角，结合三角形的内角和定理及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】对于A，由，得，由正弦定理，得， 在中，所以，又在上单调递减， 所以，故A错误； 对于B，因为为锐角三角形，可得,则, 因为，所以， 又在上单调递增，所以， 同理可得，故B正确； 对于C，在中，, 所以, 化为, 即, 又，所以， 在中，最多只有一个角为钝角， 所以，即三个角都为锐角， 所以为锐角三角形，故C正确； 对于D，由及正弦定理，得， 即， 于是有， 所以,即， 又,所以， 所以，又,所以， 所以为直角三角形，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，共15分） 12. 在直角坐标系中，点的坐标满足，向量，则的最大值是________. 【答案】1 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，令，作出直线，将直线向下平移过点时，的截距最小，则取得最大值，求出点的坐标，代入中可求得结果. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 设，则， 作直线，将直线向下平移过点时，的截距最小， 则取得最大值， 由，得，即， 所以的最大值为. 故答案为：1 13. 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断接下来扇形的半径，再求其围成圆锥的底面半径和高，最后代入求体积即可. 【详解】接下来的一个扇形半径为，故围成的圆锥母线长为， 因为扇形的圆心角为90°，所以其弧长为，也即底面圆周长， 所以底面圆半径为，则圆锥的高为， 所以圆锥的体积为 故答案为：+ 14. 如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为．估计该样本数据的第60百分位数是______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】由题图知，数据落在区间上的频率为， 数据落在区间上的频率为， 所以第百分位数是． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求在区间［0，］上的最值. 【答案】（1）（kZ） （2）最大值为1，最小值为-. 【解析】 【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案； （2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案. 【小问1详解】 =. 因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ）， 令（kZ），得（kZ）. 所以的单调递增区间为（kZ）. 【小问2详解】 因为x∈［0，］，所以2x＋. 当2x＋=，即x＝时，最大值为1， 当2x＋=，即x＝时，最小值为-. 16. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中，随机抽取件工艺品测得其质量指标数据，将数据分成以下六组、、、、，得到如下频率分布直方图. （1）求出直方图中的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）； （3）现规定质量指标值小于的为二等品，质量指标值不小于的为一等品.已知该厂某月生产了件工艺品，试利用样本估计总体的思想，估计其中一等品和二等品分别有多少件. 【答案】（1） （2）平均数为，中位数为 （3）一等品有个，二等品有个 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，可求得的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得乘积全部相加，可得出样本数据的平均数，利用中位数左边的矩形面积之和为，可求得中位数的值； （3）分析可知个工艺品中一等品有个，二等品有个，利用分层抽样可求得件工艺品中一等品和二等品的数量. 【小问1详解】 解：在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，得. 【小问2详解】 解：平均数为， 因为，， 所以中位数在第组，设中位数为，则， 解得. 所以，可以估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的平均数为，中位数为. 【小问3详解】 解：由频率分布直方图可知个工艺品中二等品有个，一等品有个， 该厂生产的件工艺品中一等品有个，二等品有个， 所以一等品有个，二等品有个. 17. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【小问1详解】 由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. 【小问2详解】 选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解. （2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得. 【小问1详解】 由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; 【小问2详解】 由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面 19. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】（1）不是； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【小问1详解】 （1），，则不是中的元素. 【小问2详解】 法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 【小问3详解】 对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期高一期末考试 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8个小题，共40分） 1. 已知复数，则（ ）. A. B. 2 C. 3 D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象关于原点对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数在上的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 该班数学成绩的极差大于40 B. 该班数学成绩不低于115分的频率为0.15 C. 该班数学成绩在内的学生比在外的学生少 D. 估计该班数学成绩的分位数为97.5 10. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B. 若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数 C. 若，则z的虚部为－2i D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则， B. 若为锐角三角形，则， C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为直角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，共15分） 12. 在直角坐标系中，点的坐标满足，向量，则的最大值是________. 13. 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______． 14. 如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为．估计该样本数据的第60百分位数是______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求在区间［0，］上的最值. 16. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中，随机抽取件工艺品测得其质量指标数据，将数据分成以下六组、、、、，得到如下频率分布直方图. （1）求出直方图中的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到）； （3）现规定质量指标值小于的为二等品，质量指标值不小于的为一等品.已知该厂某月生产了件工艺品，试利用样本估计总体的思想，估计其中一等品和二等品分别有多少件. 17. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 19. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $