湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末数学试卷，以复数、统计、立体几何、三角函数等核心知识为载体，通过基础题与综合题的梯度设计，考查数学抽象、空间观念、数据意识及模型应用能力，适配高一学段知识整合与素养发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|复数纯虚数、百分位数、正方体点面距离|基础概念辨析，如第2题统计数据处理体现数据意识| |多选|3题18分|向量夹角与投影、异面直线成角|多维度能力考查，如第11题结合正方体中点线面关系，发展空间观念| |填空|3题15分|函数求值、正三棱台外接球、解三角形范围|抽象与几何结合，第13题外接球问题考查空间想象与运算能力| |解答|5题77分|集合运算、立体几何证明与二面角、利润函数应用、双曲函数探究、函数单调性|综合性强，16题立体几何三问层层递进，17题利润模型培养应用意识，18题双曲函数体现创新探究|

湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A．2 B．0 C． D．0或2 2．某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54 频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（   ） A． B． C． D． 3．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 4．在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论错误的是（   ） A．平行四边形在直观图中仍是平行四边形 B．三角形在直观图中仍是三角形 C．菱形的直观图是菱形 D．梯形的直观图是梯形 6．在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知向量，则（    ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．若，则 D．向量在向量上的投影向量为 10．如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 11．如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（   ） A． B．平面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若函数，则__________. 13．若正三棱台的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______． 14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16．△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设，，且F为BE的中点，如图所示.    (1)求证：DF平面ABC； (2)求证：AF⊥BD； (3)求平面BDE与平面ABC所成的较小二面角的大小. 17．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数． (2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？ 18．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数双曲函数是工程数学中一类重要的函数，然而它也是一类重要的初等函数，令，. (1)证明：； (2)求不等式的解集； (3)若恒成立，求的取值范围. 19．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若时，的最小值为，求实数的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C B A D AC CD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】已知复数为纯虚数， 则实部为0，即，解得或， 虚部不为0，即，解得，． 2．C 【分析】先确定共有个数小于等于，再结合百分位数定义求结论. 【详解】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个， 且， 所以这个零件的直径的第百分位数为． 3．B 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，解得. 4．C 【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离． 【详解】如图，连接， 正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 可得，则点到平面的距离为． 故选：C． 5．C 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线， 三角形的直观图依然是三角形，B正确； 对于C，如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点均在坐标轴上，中心在原点， 设，则菱形的边长均为，作出该菱形的直观图, 根据斜二测画法知, ，, 由余弦定理，， ,显然，即不是菱形，故C错误； 对于D，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行， 且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，D正确. 6．B 【分析】连接，则为直线与平面所成角，从而得到，所以当取最小值时取得最大值，求出的最小值，即可求出，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长. 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以，又直线与平面所成角的最大值是， 所以，当且仅当取最小值时取得最大值， 因为，所以当时取最小值，此时， 所以， 又点在底面内，且，连接， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为， 所以点的轨迹长为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是由线面角求出的长度，再由勾股定理求出，即可确定的轨迹. 7．A 【分析】根据等腰三角形性质结合诱导公式和二倍角的余弦公式得，再利用二次函数性质即可得到范围. 【详解】因为，则， 令，因为，所以，则， 则，则. 则的取值范围为. 故选：A. 8．D 【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可. 【详解】， , ， ，， ， ， 即， ， 当且仅当时等号成立， ，即的最大值是. 故选：D 9．AC 【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，若，则存在实数，使得， 因为，所以不共线，所以，故C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误. 故选：AC. 10．CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 11．ACD 【分析】由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D. 【详解】由题设，，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 平面，则，A对； 由平面，即为平面，又平面，， 所以平面，即与平面相交，B错； 由平面，则直线与平面所成角为， 又 所以，C对； 由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径， 由平面，，则三棱锥外接球半径， 所以外接球的表面积，D对. 故选：ACD. 12．1 【分析】根据函数解析式，直接求出函数值即可. 【详解】当时，解得，则. 故答案为：1. 13． 【分析】根据给定条件，求出正三棱台上下底面半径，再确定其外接球球心位置并求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】    如图，令分别为正三棱台上下底面的中心， 则其外接球球心在直线上，连接并延长交于D1，连接并延长交AB于D， 由正的边长为，得， 由的边长为，得， 正三棱台外接球半径， 因此球心在线段的延长线上，，解得， 所以该正三棱台的外接球的表面积为. 故答案为： 14． 【分析】由结合题干中，得到，再由正弦定理得到，整理得，从而，由是锐角三角形得，由正弦定理，从而由的范围得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 整理可得：，即， 在锐角三角形中，，即，即， 又因为，得，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：正弦定理边化角 正弦定理（为的外接圆半径）， 则，，， ， . 15．（1）或；（2）. 【解析】（1）由，化简集合，根据补集和并集的概念，即可求出结果； （2）根据两集合的包含关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）当时，， 又， 所以或， 因此或； （2）因为，， 由可得，解得， 即实数的取值范围为. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)45° 【分析】（1）利用三角形的中位线定理､平行四边形的判定和性质定理､线面平行的判定定理即可证明； （2）利用线面､面面垂直的判定和性质定理即可证明； （3）延长ED交AC延长线于G′，连BG′，只要证明BG′⊥平面ABE即可得到∠ABE为所求的平面BDE与平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到. 【详解】（1）证明：如图所示，取AB中点G，连CG､FG. ∵EF=FB，AG=GB， ∴. 又，∴. ∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG. ∵DF平面ABC，CG⊂平面ABC， ∴DF∥平面ABC. （2）证明：∵EA⊥平面ABC， ∴AE⊥CG. 又△ABC是正三角形，G是AB的中点， ∴CG⊥AB. ∴CG⊥平面AEB. 又∵DF∥CG， ∴DF⊥平面AEB. ∴平面AEB⊥平面BDE. ∵AE=AB，EF=FB， ∴AF⊥BE. ∴AF⊥平面BED， ∴AF⊥BD. （3）延长ED交AC延长线于G′，连BG′. 由，CD∥AE知，D为EG′的中点， ∴FD∥BG′. 又CG⊥平面ABE，FD∥CG. ∴BG′⊥平面ABE. ∴∠EBA为所求二面角的平面角. 在等腰直角三角形AEB中，可得∠ABE=45°. ∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°.    17．(1) (2)475台； (3)年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本． 【分析】（1）根据利润函数＝销售收入函数−成本函数，由此即可求出结果； （2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值； （3）要使企业不亏本，则利润，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果． 【详解】（1）设利润为y万元， 得 ， 即. （2）显然当时，企业会获得最大利润， 此时，， ，即年产量为475台时，企业所得利润最大． （3）要使企业不亏本，则． 即 或， 得或，即． 即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本． 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)根据函数解析式直接写出的解析式并计算出和的解析式即可； (2)先利用，把看成未知量解一元二次不定时求出的取值范围，再求出的取值范围最后得到的取值范围； (3)先分离参数，再分离常数把看成一个整体，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ， ∴． （2）∵，∴， ∴，∴或， 又∵， ∴，即， ∴，即：，∴， ∴或，∴或， 所以，原不等式的解集为． （3）∵， ∴，， 且恒成立， ∴，即， 又∵， 当且仅当时取等号．∴， 所以，满足条件的a的取值范围为． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用的单调区间，即可求解； （2）令，得到，利用的性质，求出的取值范围，结合条件，即可求解. 【详解】（1）因为， 由，得到， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，令，则， 因为，则，所以，则， 又因为的最小值为，所以，得到. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $