精品解析： 湖南省永州市祁阳市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

湖南省永州市祁阳市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列相关卡通图标分别是“星球”“宇航员”“太空舱”和“中国空间站”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐个分析即可． 【详解】A．不是中心对称图形，此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，此选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 2. 坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，A点坐标为，下列结论正确的是（    ） A. 到x轴距离为2 B. 到y轴距离为2 C. A点在第三象限 D. A点在第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，熟练掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据直角坐标系中点的特征判断即可得到答案． 【详解】解：∵A点坐标为， ∴点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值， ∵，， ∴点位于第二象限， 综上：A、C、D错误， 故选：B． 3. 大课间活动在我市各校蓬勃开展．某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据(单位：次)：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是(　　) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】跳绳次数在90～110之间的数据有91，93，100，102四个， 故频率为 =0.2． 故选B． 4. 一次函数的图象所经过的象限是（    ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、二、四 D. 一、三、四 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由解析式可得，，进而即可判断求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：一次函数， ∴，， ∴一次函数图象经过一、三、四象限。 故选：． 5. 若一个正边形的内角和是它的外角和的2倍，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形内角和与外角和，根据多边形内角和公式和多边形外角和为，可列方程，再解方程即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：B． 6. 若点，，在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又点，，在一次函数的图象上，且， ． 故选：A． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CE=ED，由此即可求出AC． 【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线， 又∵∠C=90°，ED⊥AB， ∴ED=EC， 又∵ED=3，AE=5， AC=AE+EC=5+3=8． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质是解答本题的前提，要学会用相等的线段代替其它线段． 8. 做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形与翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，再证明四边形是菱形，再由，再结合正方形的判定即可证明， 【详解】如图， 将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合， ，，， 又， ， ， ， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， 故选：A 9. 如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．先求出的值，根据直线在直线的上方时，即可得出结论． 【详解】解：点在直线上， ，解得， ， 根据图象可得：不等式的解集为：， 故选：A 10. 赵爽是我国著名数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形，以为边再作一个正方形，连结，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握正方形的性质灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，过点H作于点K，先利用勾股定理分别求出，，设，则，再利用勾股定理构造关于x的方程得解得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可得出答案． 【详解】解：过点H作于点K，如图所示∶ 依题意得∶， ， ， ∴正方形的边长为1，即， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，，， 由勾股定理得∶ 在中，，， 由勾股定理得∶， 设， 则， 在中， 由勾股定理得：， 在，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为：， 故选∶C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 点关于轴的对称点是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆关于轴对称点的横纵坐标关系是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出答案． 【详解】解：点关于轴的对称点是， 故答案为：． 12. 将一次函数的图象向上平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为． 故答案：． 13. 如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为______． 【答案】50°##50度 【解析】 【分析】如图：由平行线的性质可得，然后根据平角的性质可得即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为50°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键． 14. 在平行四边形中，，则平行四边形的周长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质问题，掌握平行四边形的对边相等成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得然后再求平行四边形的周长即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：18． 15. 如图，在中，，分别是，的中点，是上一点，连结，，若，，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握中位线的判定和性质是关键． 根据题意，得到是的中位线，则，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：10． 16. 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论： ①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD 其中正确结论的为______（请将所有正确的序号都填上）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案． 【详解】解：∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAC=60°，AE=AC， ∵∠BAC=30°， ∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC， ∵F为AB的中点， ∴AB=2AF， ∴BC=AF， ∴△ABC≌△EFA， ∴FE=AB， ∴∠AEF=∠BAC=30°， ∴EF⊥AC，故①正确， ∵EF⊥AC，∠ACB=90°， ∴HF∥BC， ∵F是AB的中点， ∴HF=BC， ∵BC=AB，AB=BD， ∴HF=BD，故④说法正确； ∵AD=BD，BF=AF， ∴∠DFB=90°，∠BDF=30°， ∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°， ∴∠DFB=∠EAF， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF=30°， ∴∠BDF=∠AEF， ∴△DBF≌△EFA（AAS）， ∴AE=DF， ∵FE=AB， ∴四边形ADFE为平行四边形， ∵AE≠EF， ∴四边形ADFE不是菱形； 故②说法不正确； ∴AG=AF， ∴AG=AB， ∵AD=AB， 则AD=4AG，故③说法正确， 故答案为①③④． 考点：菱形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 17. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快______里/日． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象特殊点的坐标解答即可． 【详解】解：由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日， 当时，两直线有交点，代表良马追上劣马，此时良马出发日， 良马行走4800里用了20日，故速度为里/日，劣马行走4800里用了32日，故速度为里/日， 所以良马的速度比劣马的速度快里/日 故答案为： 18. 在四边形中，连接对角线，，已知，，若，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，利用等腰直角三角形构造一线三垂直全等，过B作，易证，得到，利用勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过B作，交延长线于点E，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 在Rt△ABE中，， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 若与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【小问1详解】 解：设， 把时，代入得：， 解得， ，即； 【小问2详解】 解：把代入得， 解得． 20. 如图写出在边长为1的单元方格中各顶点的坐标且求出此三角形的面积． 【答案】点A的坐标为（2，2）；点B的坐标为（-2，-1）；点C的坐标为（3，-2）；三角形面积为． 【解析】 【分析】根据图中的坐标系和边长为1直接写出坐标即可；利用面积和差求出三角形面积即可． 【详解】解：如图所示，点A的坐标为（2，2）；点B的坐标为（-2，-1）；点C的坐标为（3，-2）；． 的面积=． 【点睛】本题考查了图形与坐标，解题关键是树立数形结合思想，准确写出点的坐标，会用面积和差求三角形面积． 21. 某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由勾股定理得， （米）, （米）, 【小问2详解】 解：如图，在上截取米，连接， 由勾股定理得，（米）, （米）, 他应该往回收线8米． 22. 某校开展“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，随机抽取了 100名参赛同学的成绩按A，B，C，D 四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计图表和扇形统计图 成绩等级 频数(人数) 频率 A 5 B m C n D 合计 100 1 （1）求 ， （2）在扇形统计图中，求C等级所对应的圆心角的度数； （3）若该市参加选拔的学生总人数为3000人，请你估计该市成绩达到A等级的学生人数． 【答案】（1）； （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表求频数、求扇形统计图的圆心角度数、根据样本的频数估算总数： （1）结合扇形统计图以及频率分布表可得到结果； （2）根据C等级所占的比例，可得到圆心角度数； （3）根据A等级所占比例，可得到结果； 根据统计图和统计表获得信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵随机抽取了 100名参赛同学， ∴， ∵D等级在扇形图中所占，即频率为， ∴C等级的频率为， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由题可得， C等级所对应的圆心角的度数为， ∴C等级所对应的圆心角的度数为； 小问3详解】 解：由题可得， A等级的学生人数为人， ∴该市成绩达到A等级的学生人数为人． 23. 如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）根据勾股定理得出，进而利用菱形面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：是边上的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：，，， ， 由勾股定理可知，， 由（1）可得， ， 在中，， ， ， ． 24. 【问题背景】 为全面贯彻落实“五育并举”教育方针，展现学生蓬勃向上的精神风貌，某校以“我运动、我健康、我快乐”为主题举办了春季运动会．为表彰运动会上表现优秀的学生，该校准备购进甲、乙两种奖品． 【知识运用】 已知甲奖品的单价比乙奖品的单价贵3元，购买5个甲奖品和4个乙奖品共需要60元． （1）求甲、乙两种奖品的单价分别是多少元？ （2）该校准备购买甲、乙两种奖品共60个，其中甲奖品a个，所需总费用为w元，若要求乙奖品的数量不超过甲奖品数量的2倍．求w与a之间的函数关系式，并求该校购买这两种奖品所需的最低总费用． 【答案】（1）甲奖品的单价是8元/个，乙奖品的单价是5元／个 （2）．最低总费用为360元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设甲奖品的单价为元/个，则乙奖品的单价为元/个，再列出方程，进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得，以及列出不等式，解得，再运用一次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：设甲奖品的单价为元/个，则乙奖品的单价为元/个， 根据题意，得， 解得， 则， 答：甲奖品的单价是8元/个，乙奖品的单价是5元／个． 【小问2详解】 解：由题意得． 由题意得， 解得． 的， 的值随的增大而增大， 当时，取得最小值，， 该校购买这两种奖品所需的最低总费用为360元． 25. 【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若，则称为点的“微距值”；若，则称为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为例如，点到轴的距离为5，到轴的距离为3，因为，所以点的“微距值”为 【知识应用】 （1）点的“微距值”为______； （2）若点的“微距值”为2，求的值； （3）若点在直线上，且点的“微距值”为2，求点的坐标． 【答案】（1）2 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，以及对新定义“微距值”的理解与应用．解题关键在于准确根据定义判断“微距值”是点到轴还是轴的距离，对于含有参数的情况（如第（2）（3）问），要分情况讨论，结合点所在直线方程求解坐标． （1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小； （2）由点的“微距值”为2，点到轴的距离，“微距值”为2，根据定义可知且，进而求解的值； （3）设点的坐标为，由点在直线上，点的“微距值”为2，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标． 【小问1详解】 解：∵点到轴的距离，到轴的距离，且， 点的“微距值”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点到轴的距离， ∵点的“微距值”为2， ∴点到轴的距离， 或； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 点在直线上， 情况一：当时 ，此时，即， 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ，满足， 点坐标为； 情况二：当时 ，此时，即， 当时，代入， 得，此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入， 得，此时， ，满足， 点坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 26. 如图①，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． （1）求证：； （2）如图②，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若，探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析 ②是定值；6 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，即可证明； （2）①过E作于M点，过E作于N点，先证，再证，推出，可证矩形是正方形； ②先证，再证，推出，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形DEFG是矩形， ∴， ∴， ∴ ∴ 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形正方形； 解：的值为定值6， 理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 又， ∴是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省永州市祁阳市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列相关卡通图标分别是“星球”“宇航员”“太空舱”和“中国空间站”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，A点坐标为，下列结论正确的是（    ） A. 到x轴距离为2 B. 到y轴距离为2 C. A点第三象限 D. A点在第四象限 3. 大课间活动在我市各校蓬勃开展．某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据(单位：次)：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是(　　) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.7 4. 一次函数的图象所经过的象限是（    ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、二、四 D. 一、三、四 5. 若一个正边形的内角和是它的外角和的2倍，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若点，，在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点B落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 9. 如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形，以为边再作一个正方形，连结，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 点关于轴的对称点是______． 12. 将一次函数的图象向上平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为__________． 13. 如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为______． 14. 在平行四边形中，，则平行四边形的周长为______． 15. 如图，在中，，分别是，的中点，是上一点，连结，，若，，，则________． 16. 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论： ①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD 其中正确结论的为______（请将所有正确的序号都填上）． 17. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快______里/日． 18. 在四边形中，连接对角线，，已知，，若，，则的长是______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 若与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在该函数的图象上，求的值． 20. 如图写出在边长为1的单元方格中各顶点的坐标且求出此三角形的面积． 21. 某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 22. 某校开展“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，随机抽取了 100名参赛同学的成绩按A，B，C，D 四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计图表和扇形统计图 成绩等级 频数(人数) 频率 A 5 B m C n D 合计 100 1 （1）求 ， （2）在扇形统计图中，求C等级所对应的圆心角的度数； （3）若该市参加选拔的学生总人数为3000人，请你估计该市成绩达到A等级的学生人数． 23. 如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 24. 【问题背景】 为全面贯彻落实“五育并举”教育方针，展现学生蓬勃向上的精神风貌，某校以“我运动、我健康、我快乐”为主题举办了春季运动会．为表彰运动会上表现优秀的学生，该校准备购进甲、乙两种奖品． 【知识运用】 已知甲奖品单价比乙奖品的单价贵3元，购买5个甲奖品和4个乙奖品共需要60元． （1）求甲、乙两种奖品的单价分别是多少元？ （2）该校准备购买甲、乙两种奖品共60个，其中甲奖品a个，所需总费用为w元，若要求乙奖品的数量不超过甲奖品数量的2倍．求w与a之间的函数关系式，并求该校购买这两种奖品所需的最低总费用． 25. 【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若，则称为点的“微距值”；若，则称为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为例如，点到轴的距离为5，到轴的距离为3，因为，所以点的“微距值”为 知识应用】 （1）点“微距值”为______； （2）若点的“微距值”为2，求的值； （3）若点在直线上，且点的“微距值”为2，求点的坐标． 26. 如图①，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． （1）求证：； （2）如图②，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若，探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$