福建省莆田市荔城区莆田第八中学2024-2025学年 八年级上学期第一次月考数学

2024-2025学年莆田八中上学期八年级数学第一次月考 一、选择题 1．下面各组线段中，能围成三角形的是（ ）（单位：厘米）． A．6，5，11 B．3，4，5 C．5，10，5 D．2，4，6 2．如图，的边上的高是（    ）  A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．一副三角板按如图所示的方式摆放，则余角的度数为（    ）   A． B． C． D． 4．如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ） A． B． C． D． T2 T3 T4 T5 6．如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 7．如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，于点于点，若，则的理由是（    ）   A． B． C． D． 9．如图，，，点，，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． T6 T7 T8 T9 10．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④. A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．厦门海沧大桥，是世界第二、亚洲第一座特大型三跨全漂浮钢箱梁悬索桥，也是厦门市历史上投资最大的交通工程项目，工程全长5926.527米．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 ．   12．如图，在中，D，E分别为边的中点，且，则 ． 13．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝ 度． 14． 如图，在△ABC 和△ADC 中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝125°，则∠D＝   °． T11 T12 T13 T14 15．如图，已知，，，垂足为，若，，则 ． 16．如图，在中，，以为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接.下列结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③若，则；④． T15 T16 三、解答题 17．（8分） （1）正十二边形每一个内角是多少度？ （2）一个多边形的内角和等于，它是几边形？ 18．（8分）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 19．（8分）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点，判断的形状，并说明理由． 20．（8分）如图中， ， ．   (1)作的平分线， 交于点（用直尺和圆规按照要求作图，不写作法 ，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的大小． 21．（8分）如图，在四边形的草坪中，，点分别在上，数学兴趣小组在测量中发现，正准备继续测量与的长度时，小亮则说：不用测量了，．小亮的说法是否正确？请说明理由．    22．（10分）如图，在四边形中， ． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（10分）如图所示，在外作和，使，且，连接相交于P点． (1)求证：； (2)_________（用含的代数式表示）（必须写解题过程）。 24．（12分）在中，，，直线经过点，且于，于．    (1)当直线绕点旋转到图1位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点旋转到图3位置时，、、之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证明）． 25．（14分）理解与探究：构造辅助线是一种探究和解决数学几何问题常用的方法 【问题理解】 （1）在数学课上，老师提出如下问题：如图，中，若是边上的中线，且．问：与有怎样的数量关系？ 小李同学经过观察和思考，提出的猜想结论，并给出了证明其猜想的方法： 如图1，延长中线到点E，使，连接，则容易证得． ，；而 ； ； 小李同学的上述解决问题的方法当中，其证明的判定依据是：_______．（填或或或） 【探索发现】 （2）如图2，中，，，若E是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，且．小李同学连接后（如图3），发现且．请证明他的结论． 【方法迁移】 （3）在（2）的条件下，取的中点F，连接和，如图4，请判断与有怎样的关系？并说明理由． 2024-2025学年莆田八中上学期八年级数学第一次月考 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．B．2．C．3．D．4. B 5. D 6. C 7. B 8．B．9. C 10. C 10.解：∵AB＝2AC，点D是线段AB的中点， ∴BD＝AD＝AC， ∵△ADE为等腰直角三角形， ∴∠EAD＝∠EDA＝45°，EA＝ED， ∵∠EAC＝∠EAD+∠BAC＝45°+90°＝135°，∠EDB＝180°﹣∠EDA＝180°﹣45°＝135°， ∴∠EAC＝∠EDB， 在△ACE和△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（SAS），所以①正确； ∴∠AEC＝∠DEB， ∴∠BEC＝∠BED+∠DEC＝∠AEC+∠DEC＝∠DEA＝90°， ∴BE⊥EC，所以②正确； ∵∠DEF＝90°﹣∠BED． 而∠AEC＝∠DEB， ∴∠DEF＝90°﹣∠AEC， ∵∠DFE＝∠AFC＝90°﹣∠ACE， 而AC＝AD＞AE， ∴∠AEC＞∠ACE， ∴∠DEF＜∠DFE， ∴DE＞DF，所以③错误； ∵△ACE≌△DBE， ∴S△ACE＝S△DBE， ∵BD＝AD， ∴S△DAE＝S△DBE， ∴S△ACE＝S△DAE， ∴S△DEF＝S△ACF，所以④正确． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11．稳定性 12．5　 13．54 14．125°． 15．2． 16．②③④． 16．解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠GAE， ∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE， ∴②是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED， ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE， ∴①是不正确的； 设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x， ∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣2x）＝90°﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°， ∴AE⊥AD， ∴③是正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE， ∴④是正确的， 故答案为：②③④． 三．解答题（共9小题） 17．解：（1）正十二边形的每个外角的度数是：＝30°， 则正十二边形每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°； （2）设多边形的边数是n，则 （n﹣2）•180＝1800， 解得n＝12． 所以它是十二边形． 18．证明：∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BCE， ∵FD∥BE， ∴∠DFE＝∠BEF， ∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BEF， ∴∠AFD＝∠BEC， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）． 19．解：（1）∵∠A＝70°，∠ABC＝50°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC ＝180°﹣70°﹣50° ＝60°； （2）△BDC为直角三角形，理由： ∵DE∥BC，∠BDE＝30°， ∴∠CBD＝∠BDE＝30°， 由（1）得∠C＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴△BDC为直角三角形． 20．解：（1）如图所示：BD即为所求； （2）∵∠A＝40°，∠ABC＝∠C， ∴∠ABC＝∠C＝＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC＝35°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝75°． 21．解：正确，理由：连接AC， 在△AEC与△AFC中， ， ∴△AEC≌△AFC（SSS）， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴CB⊥AB，CD⊥AD， ∴BC＝CD． 22．（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠EDC． 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（AAS）， （2）∵△ABD≌△EDC， ∴AB＝DE＝1，BD＝CD， ∴CD＝BD＝DE+BE＝1+3＝4． 23．（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）； （2）解：设AB与CD交于点O， 由（1）△DAC≌△BAE得，∠ADC＝∠ABE， ∵∠AOD＝∠COD， ∴∠DAB＝∠DPB＝α， 故答案为：α； （3）证明：作AG⊥CD于G，AH⊥BE于H， 由（1）知△DAC≌△BAE， ∴AG＝AH， ∵AG⊥CD，AH⊥BE， ∴AP平分∠DPE， 即点A在∠DPE的平分线上． 24．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠ADC＝∠BEC＝90° ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+CBE＝90° ∴∠ACD＝∠CBE ∵AB＝AC ∴△ADC≌△CEB（AAS） ∴AD＝CE，BE＝CD ∴DE＝DC+CE＝BE+AD． （2）结论：AD＝BE+DE．理由如下： ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ABD和△ACE中 ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵AD＝CD+DE＝BE+DE， ∴AD＝BE+DE， （3）结论：BE＝AD+DE． 理由：易证△ACD≌△CBE， ∴BE＝CD，AD＝CE， ∴BE＝CE+DE＝AD+DE． 故答案为BE＝AD+DE． 25．（1）解：在△BCD和△AED中， ， ∴△BCD≌△AED（SAS）， （2）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD＝AE，∠CBD＝∠A＝45°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝45°+45°＝90°， ∴BD⊥AE； （3）解：AD⊥CF，AD＝2CF， 理由如下：如图，延长CF使CF＝GF，延长FC交AD于点H，连接EG， ∵F为BE的中点，∴BF＝EF， 在△CBF和△GEF中， ， ∴△CBF≌△GEF（SAS）， ∴BC＝EG，∠EGC＝∠BCG， ∴EG∥BC，∴∠BCE+∠GEC＝180°， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝360°﹣（∠ACB+∠DCE）＝180°， ∴∠ACD＝∠CEG， ∵AC＝BC，∴AC＝EG， 在△ACD和△GEC中， ， ∴△ACD≌△GEC（SAS），∴AD＝CG＝2CF， ∵△CBF≌△GEF（SAS），∴∠CAD＝∠EGC， ∵∠EGC＝∠BCG，∴∠CAD＝∠BCG，∴∠ACH+∠BCG＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACH+∠CAD， 在△AHF中， ∠AHF＝180°﹣90°＝90°， ∴CF⊥AD． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$