专题2.1 用字母表示数 代数式与代数式的值（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题2.1 用字母表示数 代数式与代数式的值 教学目标 1. 知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；掌握字母表示数的书写要求； 2. 能按要求列出代数式，知道代数式表示的实际意义； 3. 学会代数式的书写规范，会求代数式的值。 教学重难点 1.重点 （1）理解用字母表示数的意义；知道代数式的概念 （2）掌握代数式的书写规范； （3）会求代数式的值。 2.难点 （1）复杂的列代数式有关的实际问题； （2）求代数式的值有关的化简、变形，整体思想等。 知识点1 用字母表示数 一、知识引入 在上一章，我们把有理数的加法交换律表示为a+b=b+a,把加法结合律表示为(a+b)+c=a+(b+c),其中a、b、c表示三个有理数.用字母表示有理数有助于简明地呈现有理数的运算规律. 例 如果a表示一个有理数、那么它的和反数如何表示?有理数a的相反数一定是负数吗? 解 有理数a的相反数可以用-a表示. 如果a是正数，那么-a表示的数是负数；如果a是负数，那么-a所表示的数是正数；如果a是零，那么-a所表示的数也是零、所以，-a不一定是负数 二、字母表示数 用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba． 三、字母表示数的书写要求： 1.数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以用“·“表示或者省略不写， 如5×m可以写成5·m或5m,a×b可以写成a·b或ab. 2.在省略乘号时，塑把数字写在字母的前面、如x×4写成4x,一般不写成x4.当数字是1时，如1×a写成a;当数字是-1时，如(-1)×a写成-a.当数字是带分数时，常写成假分数，如一般写成. 3.运算结果一般不出现除号，一般用分数表示. 【即学即练】 1．下列代数式，表示正确的是（    ） A． B． C． D．元 2．“a的2倍与3的和”，用代数式可以表示成（   ） A． B． C． D． 3．一个足球m元，一个篮球n元，则买6个足球和3个篮球共需 元． 4．若正方形的边长为，则正方形的面积是 ，周长是 ； 5．下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是a的2倍与3的和 B．的意义是a与b的积的5倍 C．的意义是a与b的和的平方 D．的意义是a的平方与1的差 知识点2 代数式与代数式的值 一、代数式 1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 【规律方法】 带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 2.列代数式： 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性． 二、代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值． 【即学即练】 1．下列不是代数式的是（    ） A． B． C． D．0 2．在，，，，，0，中，代数式有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 4．当，时，求代数式的值． 5．若，则的值为（     ） A．7 B．10 C．13 D．17 题型01 用字母表示数 【典例1】．b的倍的相反数与2的和用代数式表示为 ． 【变式1】．现有5元面值人民币m张，10元面值人民币n张，共有人民币 元（用含m、n的代数式表示）． 【变式2】．一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 【变式3】．原产量n千克增产20%之后的产量应为（    ） A．（1－20%）n千克 B．（1+20%）n千克 C．n+20%千克 D．n×20%千克 题型02 判断代数式 【典例1】．下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 题型03 代数式的书写规范 【典例1】．下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列代数式书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C．元 D． 【变式3】．下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C． D．元 题型04 代数式的意义 【典例1】．下列代数式用语言叙述错误的是（   ） A．表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．表示与的2倍的和 C．表示与和的平方 D．表示a，b两数的和与差的乘积 【变式1】．下列代数式的意义错误的是（ ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是与的差的两倍 C．的意义是与的和除以的商 D．的意义是的三次方，的三倍，与的和 【变式2】．惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【变式3】．用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 题型05 列代数式 【典例1】．用字母表示下列各数： (1)a的3倍与y的一半的差； (2)m与n的和的平方与m，n的积的和； (3)比x与y的差的2倍小1的数； (4)x的与y的和的． 【变式1】．王华跟同学在某面馆吃饭，表中为此面馆的套餐情况．已知他们总共点了10份意大利面，x杯饮料，2份沙拉，则他们点了 份A餐． A餐：一份意大利面 B餐：一份意大利面加一杯饮料 C餐：一份意大利面加一杯饮料加一份沙拉 【变式2】．用代数式表示： (1)购买a斤苹果和b斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费__________元； (2)把a元存入银行，存期两年，年利率为，到期时的利息为__________元； (3)甲、乙两地相距．李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．则公交车的速度为__________． 题型06 已知字母的值，求代数式的值 【典例1】．当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 【变式1】．当，时，代数式的值是（    ） A．6 B． C．9 D． 【变式2】．若的相反数是2，，且，则的值是（    ） A．3 B．3或 C．或 D． 【变式3】．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D．5 题型07 已知代数式的值，求代数式的值 【典例1】．若 ，则等于（    ） A．2022 B．2021 C．2023 D．2024 【变式1】．已知，则代数式的值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式2】．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C．6 D．8 题型08 求代数式的值（程序框图） 【典例1】．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算，则输出的是，．．．，则第2024次输出的结果是（   ）    A． B． C． D． 题型09 规律题 【典例1】．按一定规律排列的代数式：，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，用火柴棒摆出的系列图案，第1个图形用了3根火柴棒，第2个图形用了5根火柴棒……，按此规律，那么第n个图形用的火柴棒的根数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2025个图案中涂有阴影的小正方形个数是（    ） A．8101 B．8103 C．4051 D．4053 一、单选题 1．以下各式不是代数式的是（      ） A． B． C． D．a 2．甲数比乙数的3倍大2，若甲数为x，则乙数为（   ） A．3x－2 B．3x+2 C． D． 3．下面用数学语言叙述代数式﹣b，其中表达正确的是（　　） A．a与b差的倒数 B．b与a的倒数的差 C．a的倒数与b的差 D．1除以a与b的差 4．七年级有6个班，每个班平均有n个学生，并且七年级一共有30位老师，则七年级共有师生（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 5．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，十位数字为x，那么这个两位数为（    ）． A． B． C． D． 6．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准降低了元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟元，则原收费标准每分钟为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．某工厂原计划每天生产个零件，现实际每天多生产个零件，则生产个零件提前完成的天数为（    ） A． B． C． D． 8．当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 二、填空题 9．一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 10．某地出租车的收费标准是：3千米以内(包括3千米)为起步价收5元，3千米以后每千米价为1.5元． (1)若某人乘坐了1.5千米，则应收费 元； (2)若某人乘坐了6千米，则应收费 元； (3)若某人乘坐了x千米(x＞3)的路程，则应收费 元．(只列式，不计算) 11．一条河的水流速度是，船在静水中的速度是，则该船在这条河流中逆水行驶的速度为 ． 12．用代数式表示： （1）f的11倍再加上2可以表示为 ； （2）一个数a的与这个数的和可以表示为 ； （3）一个教室有2扇门和4扇窗户，n个这样的教室有 扇门和 扇窗户； （4）产量由增长后，达到 ． 13．若，则的值是 ． 14．如图，在一个长为，宽为的长方形内剪去两个半径为的扇形，则空白部分的面积为 （用含的整式表示）． 三、解答题 15．用代数式表示 ①的平方的3倍与5的差 ②比的倒数与的倒数的和大1的数 ③，两数的平方和减去它们乘积的2倍 ④，两数的平方差除以，两数的和的平方． 16．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 17．下列用字母表示数的写法中哪些不规范，请改正过来． (1)3x＋1；(2)m×n－3；(3)2×y；(4)a·m＋b×n元；(5)a÷(b＋c)；(6)a－1÷b． 18．（1）当时，求的值； （2）当时，求的值． 19．2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功．同学们倍受鼓舞，开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用a、b的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 20．综合与探究 问题情境：如图1是牛顿摆的示意图，它由7根等距离的细线分别连接一颗相同的小铁球组成．在牛顿摆静止状态下，可将每个小铁球的最低处抽象成点．同学们利用牛顿摆和数轴进行探究． 初步分析：（1）如图2，将牛顿摆放在数轴的上方，此时铁球④的最低点在数轴上对应的数为0，铁球⑥的最低点在数轴上对应的数为5，则铁球①的最低点在数轴图2上对应的数为________； 深入探究：（2）如图3，将牛顿摆放在数轴的上方，铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为，．勤学小组提出如下问题，请你解答． 问题1：当，时，铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为________； 问题2：铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为________（用含，的代数式表示）； 问题3：点是数轴上的一点，若点到铁球⑦最低点的距离是铁球①与⑤最低点距离的2倍，则点在数轴上对应的数为________（用含，的代数式表示）． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 用字母表示数 代数式与代数式的值 教学目标 1. 知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；掌握字母表示数的书写要求； 2. 能按要求列出代数式，知道代数式表示的实际意义； 3. 学会代数式的书写规范，会求代数式的值。 教学重难点 1.重点 （1）理解用字母表示数的意义；知道代数式的概念 （2）掌握代数式的书写规范； （3）会求代数式的值。 2.难点 （1）复杂的列代数式有关的实际问题； （2）求代数式的值有关的化简、变形，整体思想等。 知识点1 用字母表示数 一、知识引入 在上一章，我们把有理数的加法交换律表示为a+b=b+a,把加法结合律表示为(a+b)+c=a+(b+c),其中a、b、c表示三个有理数.用字母表示有理数有助于简明地呈现有理数的运算规律. 例 如果a表示一个有理数、那么它的和反数如何表示?有理数a的相反数一定是负数吗? 解 有理数a的相反数可以用-a表示. 如果a是正数，那么-a表示的数是负数；如果a是负数，那么-a所表示的数是正数；如果a是零，那么-a所表示的数也是零、所以，-a不一定是负数 二、字母表示数 用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba． 三、字母表示数的书写要求： 1.数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以用“·“表示或者省略不写， 如5×m可以写成5·m或5m,a×b可以写成a·b或ab. 2.在省略乘号时，塑把数字写在字母的前面、如x×4写成4x,一般不写成x4.当数字是1时，如1×a写成a;当数字是-1时，如(-1)×a写成-a.当数字是带分数时，常写成假分数，如一般写成. 3.运算结果一般不出现除号，一般用分数表示. 【即学即练】 1．下列代数式，表示正确的是（    ） A． B． C． D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的书写，代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求，即可一一判定． 【详解】解：A、应写成，故此选项不符合题意； B、应写成，故此选项不符合题意； C、，书写正确，故此选项符合题意； D、元，应写成元，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．“a的2倍与3的和”，用代数式可以表示成（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式．列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 根据题意列出代数式即可． 【详解】“a的2倍与3的和”，用代数式可以表示成． 故选：D． 3．一个足球m元，一个篮球n元，则买6个足球和3个篮球共需 元． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式解决实际问题．根据总费用等于足球的费用加上篮球的费用，列出代数式即可． 【详解】解：一个足球元，一个篮球元，则：买6个足球需要元，买3个篮球需要元， ∴买6个足球和3个篮球共需要：元； 故答案为：． 4．若正方形的边长为，则正方形的面积是 ，周长是 ； 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式和周长公式，用字母表示数，写出结果即可． 【详解】解：正方形的边长为， 正方形的面积为，正方形的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了列代数式用字母表示数，理解题意正确列出式子是解答本题的关键． 5．下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是a的2倍与3的和 B．的意义是a与b的积的5倍 C．的意义是a与b的和的平方 D．的意义是a的平方与1的差 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，熟练掌握代数式意义是解题的关键； 根据各代数式的意义逐一判断即可． 【详解】解：A． 的意义是的意义是a的2倍与3的和，故本选项说法正确，不符合题意； B． 的意义是a与b的积的5倍，故本选项说法正确，不符合题意； C． 的意义是a与b的平方的和，故本选项说法错误，符合题意； D． 的意义是a的平方与1的差，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 知识点2 代数式与代数式的值 一、代数式 1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 【规律方法】 带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 2.列代数式： 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性． 二、代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值． 【即学即练】 1．下列不是代数式的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方等）把数或表示数的字母连结而成的式子，单独的一个数或字母也是代数式，根据代数式的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：、、都是代数式；不是代数式； 故选：C． 2．在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的定义是解题的关键； 根据代数式的定义，逐个判断即可； 【详解】解：是单独的一个数，是代数式； 是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式； 是等式，不是代数式； 是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式； 是不等式，不是代数式； 0是单独的一个数，是代数式； 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式 ． ∴代数式共5个， 故选：B． 3．若，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了求代数式的值，在解答过程中要注意符号的变化． 将直接代入，进行有理数的运算即可． 【详解】解：，则代数式的值为， 故选：D． 4．当，时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．把，代入，求值即可． 【详解】解：把，代入得： ． 5．若，则的值为（    ） A．7 B．10 C．13 D．17 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，把原式化为，然后整体代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 题型01 用字母表示数 【典例1】．b的倍的相反数与2的和用代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示式子． 先求出b的倍的相反数，再加2即可． 【详解】解：b的倍为，其相反数为， ∴b的倍的相反数与2的和用代数式表示为， 故答案为：． 【变式1】．现有5元面值人民币m张，10元面值人民币n张，共有人民币 元（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】由5元面值人民币m张，可得人民币元，由10元面值人民币n张，可得人民币元，从而可得答案． 【详解】解：由题意得：共有人民币元， 故答案为： 【点睛】本题考查的是列代数式，掌握列代数式的方法是解题的关键． 【变式2】．一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 【答案】/ 【分析】一个两位数，十位上数字是5，表示5个十，即50，个位上的数字是a，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，十位上数字是5，个位上的数字是a，此数为． 故答案为：． 【点睛】此题考查用字母表示数，解答关键是明确十位上的数字表示几个十． 【变式3】．原产量n千克增产20%之后的产量应为（    ） A．（1－20%）n千克 B．（1+20%）n千克 C．n+20%千克 D．n×20%千克 【答案】B 【详解】试题解析：由题意，产量应为 千克，所以本题应选B. 题型02 判断代数式 【典例1】．下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题的关键．根据代数式的概念：用运算符号（、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：由代数式的定义可得，只有A选项中的式子不是代数式， 故选：A． 【变式1】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可． 【详解】解：①是代数式； ②是代数式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤不是代数式； ⑥不是代数式； ⑦是代数式． 综上，代数式有①②③④⑦，共5个． 故选：C． 题型03 代数式的书写规范 【典例1】．下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规范等知识，依据代数式的书写规范逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 数字与字母相乘，一般省略乘号或用“”代替，应写为，故原选项书写不规范，不合题意； B. 书写规范，符合题意； C. 单项式系数如果是带分数，一般写成假分数，应写为，故原选项书写不规范，不合题意； D. 两个字母相除，一般写成分数形式，故应写为，故原选项书写不规范，不合题意． 故选：B． 【变式1】．下列代数式书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写要求是解题的关键．根据代数式的书写要求进行判断即可． 【详解】A选项错误，代数式中除法运算应写成分数形式，如； B选项错误，数字与字母相乘时，数字应写在字母前且省略乘号，正确写法为； C选项正确，分数形式符合代数式书写规范，分子为，分母为，表达清晰； D选项错误，带分数与字母相乘时，需转化为假分数或明确使用乘号． 故选：C． 【变式2】．下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C．元 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键． 【详解】解：A、应写为，数字需在字母前且省略乘号，故错误，不符合题意； B、符合规范，分数形式正确，故正确，符合题意； C、应写为元，代数式带单位需加括号，故错误，不符合题意； D、带分数应化为假分数，故错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】．下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C． D．元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写规范，解题的关键是熟悉代数式书写的各项规则，如除法写成分数形式、带分数化为假分数、单位标注要求等． 依据代数式书写规范，对每个选项逐一分析判断． 【详解】A、在代数式中，除法运算应写成分数形式，正确的书写应该是，而不是使用“÷”符号，所以该选项不符合题意． B、代数式中带分数要转化为假分数，正确的书写应该是，避免带分数与变量产生混淆，所以该选项不符合题意． C、将除法以分数形式表示，分子是多项式时书写正确，所以该选项符合题意． D、当代数式包含单位时，单位应标注在整个表达式后面，且表达式是多项式时，要用括号括起，元正确的书写应该是元，所以该选项不符合题意． 故选：C． 题型04 代数式的意义 【典例1】．下列代数式用语言叙述错误的是（   ） A．表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．表示与的2倍的和 C．表示与和的平方 D．表示a，b两数的和与差的乘积 【答案】C 【分析】本题考查了用语言叙述代数式；逐一分析各选项代数式与其语言描述是否一致，重点区分“平方和”与“和的平方”等易混淆概念． 【详解】A. 表示a，b两数的平方和（即）减去它们乘积的2倍（即），描述正确； B. 表示m与n的2倍（即）的和，描述正确； C. 表示a与b的平方和，而选项中误述为“和的平方”（即），两者含义不同，描述错误； D. 表示a，b两数的和与差的乘积，描述正确； 综上，错误的选项是C； 故选：C． 【变式1】．下列代数式的意义错误的是（ ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是与的差的两倍 C．的意义是与的和除以的商 D．的意义是的三次方，的三倍，与的和 【答案】C 【分析】本题考查代数式与文字描述之间的对应关系，逐一分析各选项的表达式及其意义是否一致即可. 【详解】解：选项A：表示x的2倍与3的和，描述正确； 选项B：表示x与3的差的两倍，即先求差再乘2，描述正确； 选项C：的代数式是x与y的乘积除以2，而选项中描述为“x与y的和除以2”，混淆了“乘积”与“和”，描述错误； 选项D：表示a的三次方、a的三倍与2的和，描述正确； 综上，错误的选项为C， 故选：C 【变式2】．惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的实际意义是解题的关键． 用含的代数式将第二天游客人数表示出来，第二天游客人数减第一天游客人数即得代数式“”，从而可判断它的意义． 【详解】解：根据题意，第二天游客人数是人， 则第二天比第一天多的游客人数（人）， ∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数． 故选：B． 【变式3】．用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 【答案】C 【分析】本题考查代数式，根据题意列代数式是解题的关键． 逐项列代数式，能用表示的即正确，否则就是错误的． 【详解】解：A、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，正确，故此选项不符合题意； B、若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量，正确，故此选项不符合题意； C、若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数，原说法，故此选项符合题意； D、若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型05 列代数式 【典例1】．用字母表示下列各数： (1)a的3倍与y的一半的差； (2)m与n的和的平方与m，n的积的和； (3)比x与y的差的2倍小1的数； (4)x的与y的和的． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字，字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义；分清数量关系；规范地书写． （1）a的3倍表示为5a，y的一半表示为，然后把它们相减即可； （2）m与n的和的平方表示为，m，n的积表示为，然后把它们相加即可； （3）与的差为，差的 2 倍是，再减1即可； （4）的即，它与的和为，和的为． 【详解】（1）解：a的3倍与y的一半的差可表示为； （2）解：m与n的和的平方与m，n的积的和可表示为； （3）解：比x与y的差的2倍小1的数可表示为； （4）解：x的与y的和的可表示为． 【变式1】．王华跟同学在某面馆吃饭，表中为此面馆的套餐情况．已知他们总共点了10份意大利面，x杯饮料，2份沙拉，则他们点了 份A餐． A餐：一份意大利面 B餐：一份意大利面加一杯饮料 C餐：一份意大利面加一杯饮料加一份沙拉 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，根据x杯饮料则再B和C餐中点了x份意大利面． 则可得出点了A餐份． 【详解】解：∵x杯饮料则再B和C餐中点了x份意大利面． ∴点了A餐份， 故答案为： 【变式2】．用代数式表示： (1)购买a斤苹果和b斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费__________元； (2)把a元存入银行，存期两年，年利率为，到期时的利息为__________元； (3)甲、乙两地相距．李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时；后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．则公交车的速度为__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，熟练掌握速度、路程、时间关系，利息的计算公式． （1）分别表示出苹果和香蕉的花费，相加即可； （2）根据利息本金利率时间列出代数式即可； （3）根据速度列出代数式即可． 【详解】（1）解：购买a斤苹果和b斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费元， 故答案为：； （2）解：把a元存入银行，存期两年，年利率为，到期时的利息为：元， 故答案为：； （3）解：公交车的速度为， 故答案为：． 题型06 已知字母的值，求代数式的值 【典例1】．当时，代数式的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式的值．把代入代数式进行求解即可． 【详解】解：把代入代数式得：； 故选：D． 【变式1】．当，时，代数式的值是（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把，代入所求式子中求解即可． 【详解】解：当，时，， 故选：D． 【变式2】．若的相反数是2，，且，则的值是（    ） A．3 B．3或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值的意义，以及相反数的定义，解题的关键是确定x、y的值．根据题意，结合 ，求出x、y的值，然后求出答案． 【详解】解：∵的相反数是2， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 故选：D． 【变式3】．若，则的值是（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型07 已知代数式的值，求代数式的值 【典例1】．若 ，则等于（    ） A．2022 B．2021 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】．已知，则代数式的值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【分析】 本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． 【解析】解：∵， ∴． 故选B． 【变式2】．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了代数式求值．将看作整体，将代数式的分解成的形式，构造出，整体代值，求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ． 即：． 故选：A． 题型08 求代数式的值（程序框图） 【典例1】．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的求值，通过输入输出的计算得到规律是解决本题的关键． 按运算程序先计算，通过计算结果找出规律，利用规律得结论． 【详解】解：输入， 是奇数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是奇数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是奇数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是奇数， 输出； 依次类推，输出的结果分别为，，，，，循环， ， 故第次输出的结果是； 故选：D 【变式1】．按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，把各自的值代入运算程序中计算，使其结果为1即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：A、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； B、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； C、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； D、把，输入， ∵， ∴，符合题意． 故选：D． 【变式2】．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算，则输出的是，．．．，则第2024次输出的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的求值，理解程序中的框图以及能找到输出值的规律是解题的关键． 把代入程序中计算，以此类推得到一般性的规律，即可确定出第2024次输出的结果． 【详解】解：当时， 第1次的输出结果为， 第2次的输出结果为， 第3次的输出结果为， 第4次的输出结果为， 第5次的输出结果为， 第6次的输出结果为， 第7次的输出结果为， 第8次的输出结果为， ， 从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次， ， 第2024次的结果与第次的结果一样， 第2024次输出的结果是． 故选B． 题型09 规律题 【典例1】．按一定规律排列的代数式：，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的多项式中各单项式的特点，探索出一般规律是解题的关键． 通过观察各单项式的系数和次数，可得规律第个多项式为． 【详解】解：∵， ∴第个多项式为， 故选：B． 【变式1】．如图，用火柴棒摆出的系列图案，第1个图形用了3根火柴棒，第2个图形用了5根火柴棒……，按此规律，那么第n个图形用的火柴棒的根数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【详解】解：因为第一个三角形需要三根火柴棍，再每增加一个三角形就增加2根火柴棒， 所以有n个三角形，则需要根火柴棍． 故选：B． 【变式2】．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2025个图案中涂有阴影的小正方形个数是（    ） A．8101 B．8103 C．4051 D．4053 【答案】A 【分析】本题主要考查图形规律探索与代数式求值，熟练找出图案中阴影小正方形个数的变化规律并归纳出通用表达式是解题的关键．先找出图案中阴影小正方形个数的规律，得出第个图案中阴影小正方形个数的表达式，再代入计算． 【详解】解：第个图案中阴影小正方形个数：； 第个图案中阴影小正方形个数：； 第个图案中阴影小正方形个数：； …… 由此可推，第个图案中阴影小正方形个数为． 当时，阴影小正方形个数为 故选：A ． 一、单选题 1．以下各式不是代数式的是（      ） A． B． C． D．a 【答案】C 【分析】根据代数式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】、、a是代数式； 是等式，不是代数式； 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的定义，从而完成求解． 2．甲数比乙数的3倍大2，若甲数为x，则乙数为（   ） A．3x－2 B．3x+2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式，根据甲数比乙数的3倍大2，可知甲数减去2是乙数的3倍，再除以3即可得到结果. 【详解】根据题意，得乙数为 . 选D. 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 3．下面用数学语言叙述代数式﹣b，其中表达正确的是（　　） A．a与b差的倒数 B．b与a的倒数的差 C．a的倒数与b的差 D．1除以a与b的差 【答案】C 【分析】根据代数式的意义，可得答案． 【详解】用数学语言叙述代数式﹣b为a的倒数与b的差， 故选：C． 【点睛】此题考查了代数式，解决问题的关键是结合实际，根据代数式的特点解答． 4．七年级有6个班，每个班平均有n个学生，并且七年级一共有30位老师，则七年级共有师生（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】根据题意，根据平均数求得所有学生人数，再加上老师的人数即为师生总人数，据此列出代数式即可． 【详解】因为其有6个班，每个班平均有n个学生，所以七年级学生总数为人，又七年级共有30位老师，故七年圾共有师生人 故选A 【点睛】本题考查了列代数式，根据题意列代数式是解题的关键． 5．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，十位数字为x，那么这个两位数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用个位数字是十位数字的2倍，且十位数字为x可将个位数表示出来，再结合“该数=10×十位数字＋个位数字”即可求解． 【详解】解：根据“个位数字是十位数字的2倍，且十位数字为x” ， 则个位数字是2x， ∴这个两位数为， 故选：B． 【点睛】本题考查根据题意列代数式，得到题目中的数量关系是解本题的关键． 6．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准降低了元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟元，则原收费标准每分钟为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设原收费标准每分钟为x元，则根据题意，以现在的收费标准为等量关系，列出等式，表示出原收费标准即可． 【详解】设原收费标准每分钟为x元， 由题意得，（x-a）（1-25%）=b， （x-a）×75%=b， x-a=b， x=b+a． 故选B． 【点睛】解答本题的实质是实现从基本数量关系的语言表述到用字母表示一种转化，设出未知数，借助方程，列出等式，从而求出答案． 7．某工厂原计划每天生产个零件，现实际每天多生产个零件，则生产个零件提前完成的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】生产m个零件提前的天数=原计划生产m个零件需要的天数-实际生产m个零件需要的天数，把相关数值代入即可． 【详解】∵原计划生产m个零件需要的天数为，实际生产m个零件需要的天数为， ∴生产m个零件提前的天数为. 故选B. 【点睛】考查列代数式，得到生产m个零件提前的天数的等量关系是解题的关键. 8．当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．将代入可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2026， ∴， ∴， ∴当时， ， 故选：B． 二、填空题 9．一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意列式即可． 【详解】根据题意得，一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利元． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握总利润=单件利润×件数． 10．某地出租车的收费标准是：3千米以内(包括3千米)为起步价收5元，3千米以后每千米价为1.5元． (1)若某人乘坐了1.5千米，则应收费 元； (2)若某人乘坐了6千米，则应收费 元； (3)若某人乘坐了x千米(x＞3)的路程，则应收费 元．(只列式，不计算) 【答案】 5   9.5 [1.5(x－3)＋5] 【详解】(1)小于3千米，所以收费5元. (2)5+（6-3）9.5元. （3）（x-3）. 11．一条河的水流速度是，船在静水中的速度是，则该船在这条河流中逆水行驶的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，船在逆水行驶中的速度公式等．根据题意利用逆水速等于船速减水速，继而列代数式即可． 【详解】解：∵一条河的水流速度是，船在静水中的速度是， ∴该船在这条河流中逆水行驶的速度：， 故答案为：． 12．用代数式表示： （1）f的11倍再加上2可以表示为 ； （2）一个数a的与这个数的和可以表示为 ； （3）一个教室有2扇门和4扇窗户，n个这样的教室有 扇门和 扇窗户； （4）产量由增长后，达到 ． 【答案】 / / / 【分析】根据语句直接列式即可解决． 【详解】解：根据题意可得： （1）f的11倍再加上2可以表示为； （2）一个数a的与这个数的和可以表示为； （3）一个教室有2扇门和4扇窗户，n个这样的教室有扇门和扇窗户； （4）产量由增长后，达到， 故答案为：；；；；． 【点睛】此题考查了列代数式，理解并熟悉基本的数学语言，是解决此类问题的关键． 13．若，则的值是 ． 【答案】2026 【分析】根据得继而得到，根据，变形计算即可. 本题考查了已知式子的值求代数式的值，熟练变形是解题的关键. 【详解】解：，得，， 故， 故 ， 故答案为：. 14．如图，在一个长为，宽为的长方形内剪去两个半径为的扇形，则空白部分的面积为 （用含的整式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，熟练掌握圆的面积公式．用长方形面积减去一个半圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 三、解答题 15．用代数式表示 ①的平方的3倍与5的差 ②比的倒数与的倒数的和大1的数 ③，两数的平方和减去它们乘积的2倍 ④，两数的平方差除以，两数的和的平方． 【答案】①；②；③；④． 【分析】本题考查列代数式，正确的翻译句子，是解题的关键： ①先表示的平方，再表示3倍，最后减5可得； ②分别表示出、的倒数，再求和，最后加1； ③先表示出、的平方和，再表示、乘积2倍，最后相减； ④表示出、的平方差，再表示出两数和的平方，最后相除． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 16．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 17．下列用字母表示数的写法中哪些不规范，请改正过来． (1)3x＋1；(2)m×n－3；(3)2×y；(4)a·m＋b×n元；(5)a÷(b＋c)；(6)a－1÷b． 【答案】见解析 【分析】（1）根据数与字母相乘的规则判断即可； （2）根据字母与字母相乘的规则判断即可； （3）根据数与字母相乘的规则判断即可； （4）根据字母与字母相乘的规则判断即可； （5）根据除号一般用分数线表示的规则判断即可； （6）根据除号一般用分数线表示的规则判断即可． 【详解】解：(1)3x＋1书写规范； (2)m×n－3应该是mn－3； (3)2×y应该是2y； (4)a·m＋b×n元应该是(am＋bn)元； (5)a÷(b＋c)应该是 ； (6)a－1÷b应该是a－． 【点睛】本题主要考查代数式的书写，掌握代数式的书写要求是解题的关键． 18．（1）当时，求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）把，代入代数式求解即可； （2）把，代入代数式求解即可． 【详解】解：（1）把，代入得； 原式； （2）把，代入： 原式． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 19．2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功．同学们倍受鼓舞，开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用a、b的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算三角形、长方形以及梯形面积然后相加即可； （2）将具体数值代入上述结果即可． 本题考查了列代数式以及求值，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：截面面积 ； （2）解：当，时， ． 20．综合与探究 问题情境：如图1是牛顿摆的示意图，它由7根等距离的细线分别连接一颗相同的小铁球组成．在牛顿摆静止状态下，可将每个小铁球的最低处抽象成点．同学们利用牛顿摆和数轴进行探究． 初步分析：（1）如图2，将牛顿摆放在数轴的上方，此时铁球④的最低点在数轴上对应的数为0，铁球⑥的最低点在数轴上对应的数为5，则铁球①的最低点在数轴图2上对应的数为________； 深入探究：（2）如图3，将牛顿摆放在数轴的上方，铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为，．勤学小组提出如下问题，请你解答． 问题1：当，时，铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为________； 问题2：铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为________（用含，的代数式表示）； 问题3：点是数轴上的一点，若点到铁球⑦最低点的距离是铁球①与⑤最低点距离的2倍，则点在数轴上对应的数为________（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）（2），，或 【分析】（1）先求出每两个铁球之间的距离，进而可求出铁球①的最低点在数轴图2上对应的数． （2）根据铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为，，可得每两个铁球之间的距离为个单位，利用有理数的加法即可求出铁球⑦的最低点在数轴上对应的数，以及铁球⑦的最低点在数轴上对应的数的代数式．分P点在铁球⑦的左侧和右侧两种情况，根据数轴上两点之间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，列代数式即可表示出点在数轴上对应的数． 【详解】解：（1）∵铁球④在数轴上对应的数为0，铁球⑥在数轴上对应的数为5， ∴每两个铁球之间的距离为个单位， ∴铁球①的最低点在数轴图2上对应的数为． 故答案为： （2）∵铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为，， ∴每两个铁球之间的距离为个单位， 问题1：当，时，， ∴铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为； 问题2：铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为； 问题3：∵铁球①与铁球⑤的距离为， ∴点到铁球⑦最低点的距离为． 当P点在铁球⑦的左侧是，P点表示的数为 ， 当P点在铁球⑦的右侧是，P点表示的数为 ． 故答案为：，，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，以及列代数式和代数式的加减．求出每两个铁球之间的距离是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$