专题14.1 全等三角形及其性质（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题14.1 全等三角形及其性质 教学目标 1. 掌握全等形和全等三角形的概念，并能够熟练的判断图形的全等。 2. 掌握全等三角形的相关概念及其性质，并能够熟练的运用全等的性质解决线段与角的相应问题。 教学重难点 1. 重点 （1）全等形及其全等三角形的概念； （2）全等三角形的性质。 2. 难点 （1）全等三角形的性质求线段； （2）全等三角形的性质求角； （3）利用全等三角形的性质证明线段或角的关系。 知识点01 全等形的概念 1. 全等形的概念： 和 完全一样的两个图形叫做全等形。即能够 的两个图形叫做全等形。 【即学即练1】 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 全等三角形及其相关概念 1. 全等三角形的概念： 和 完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够 的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的相关概念： 如图，若△ABC与△DEF全等。则其中： 能够重合的点叫做全等三角形的 。 能够重合的边叫做全等三角形的 。 能够重合的角叫做全等三角形的 。 用符号“≌”连接，读作 。表示 。对应点必须写在对应的位置。 【即学即练1】 2．如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角． 知识点03 全等三角形的性质 1. 全等三角形的性质： 由全等三角形的性质及其相关概念可知： ①全等三角形的对应边 。对应角也 。 ②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别 。 ③全等的两个三角形它们的周长和面积分别 。 【即学即练1】 3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 【即学即练2】 已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 【即学即练3】 如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【即学即练4】 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点．若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（　　） A．20 B．23 C．24 D．26 【即学即练5】 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DP＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．40 B．42 C．45 D．48 【即学即练6】 如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【即学即练7】 9．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高． （1）求证：∠ABE＝∠ACF； （2）当△ABD≌△GCA时，AD与AG的位置关系如何，请说明理由． 题型01 判断全等形 【典例1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各组图形中是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 题型02 全等三角形的性质的熟悉 【典例1】如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是（　　） A．∠BAD＝∠CDE B．BC＝DE C．AB＝AD D．AB＝BD 【变式1】如图，已知△ABC≌△DCB，则以下结论“①AC＝DB；②BC＝BD；③∠A＝∠D；④∠ABD＝∠DCA．”中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE＝ED；②AE⊥DE；③BC＝AB+CD；④AB∥DC中成立的是（　　） A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．仅①②③④ 【变式3】如图，已知△ACE≌△DBF，下列结论中正确的个数是（　　） ①AC＝DB；②AB＝DC；③∠1＝∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE＝S△DFB；⑥BC＝AE． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型03 利用全等的性质求线段 【典例1】如图，点E，F在线段AC上，△ADE≌△CBF，AE＝5，CE＝3，那么EF的长度是（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 【变式1】如图，点E在线段AC上，△ABC≌△CED，AB＝3cm，CD＝5cm，DE＝7cm，则线段AE的长度为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式2】如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝3，则CD的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3】如图，△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，AC与DE相交于点M，DF＝5，AM＝2，则MC的长度是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 利用全等的性质求角 【典例1】如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝36°，∠C'＝24°，则∠B＝（　　） A．60° B．100° C．120° D．135° 【变式1】如图，△ABC≌△ADE，∠B＝55°，∠E＝15°，∠BAE＝90°，则∠BAD的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【变式2】如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【变式3】如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝4：3，则∠DBC的度数为（　　） A．12° B．18° C．24° D．36° 题型04 利用全等的性质解决周长或面积问题 【典例1】如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝105°，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到△DEF的位置．若∠C＝30°，AC＝BC＝9，DG＝3，则阴影部分的面积为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式2】如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A＝∠D＝90°，AB＝3，DG＝1，AG＝2，则梯形CFDG的面积是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例2】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D、E是CD上一点，若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 【变式1】如图，在△ABC中，AD是高，点E在线段AD上．若△ABD≌△CED，AB＝10，BC＝14，则△CED的周长为（　　） A．10 B．20 C．24 D．28 【变式2】一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 　 　 ． 题型04 利用全等证明线段的关系或角的关系 【典例1】如图，已知△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°．记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝90° C．2β﹣α＝45° D．α＝2β 【变式1】如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（　　） A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180° 【变式2】如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【变式3】如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 【变式4】如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． （1）你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？ （2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？ 1．在下列各组图形中，是全等的图形是（　　） A． B． C． D． 2．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（　　） A．BE＝EC B．BC＝EF C．AC＝DF D．△ABC≌△DEF 3．如图，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，CD＝6，AD＝3．若四边形OPCE≌四边形ABCD，则PD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，已知△AOB≌△COD，AB与CD交于点P，若∠AOD＝82°，∠COB＝142°，则∠BPC的度数为（　　） A．140° B．138° C．148° D．150° 5．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠1和∠2的关系为（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠1+90°＝∠2 D．∠1+∠2＝180° 6．如图，点B、E、C、F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC＝8，BF＝11.5，则EC的长为（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 7．如图，△EFG≌NMH，△EFG的周长为15cm，HM＝6cm，EF＝4cm，EH＝1cm，则HG等于（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 8．如图，△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，且BC＝4，则△DBC的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 9．如图，△ABC≌△DEC，∠B＝∠DEF＝90°，点B，E，C，F在一条直线上．已知AB＝10，DO＝4，BF＝20，BE＝6，则△OEC的面积为（　　） A．24 B．26 C．32 D．48 10．如图，已知△AOB≌△COD，下列说法： ①∠ABO＝∠CBO； ②OB是△ABC的中线； ③AB∥CD； ④△COD与△BOC面积相等． 其中正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3＝　 　 ． 12．如图，△ABC≌△DBC，E是AB延长线上一点，BF平分∠DBE，若∠ACB＝120°，∠A＝α，则∠EBF＝　 　 ．（用含α的式子表示） 13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，则△ADE的周长为 　 　 cm． 14．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 　 　 ． 15．如图，△ABC≌△DEC，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线过点E，与AD交于点M．若BM＝BA，则∠EDC的度数为　 　 °． 16．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 17．如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 18．如图，B，C，D三点在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝5，BC＝12，CE＝13． （1）求△ABC的周长． （2）求△ACE的面积． 19．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图①，当t＝　 　 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 20．已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.1 全等三角形及其性质 教学目标 1. 掌握全等形和全等三角形的概念，并能够熟练的判断图形的全等。 2. 掌握全等三角形的相关概念及其性质，并能够熟练的运用全等的性质解决线段与角的相应问题。 教学重难点 1. 重点 （1）全等形及其全等三角形的概念； （2）全等三角形的性质。 2. 难点 （1）全等三角形的性质求线段； （2）全等三角形的性质求角； （3）利用全等三角形的性质证明线段或角的关系。 知识点01 全等形的概念 1. 全等形的概念： 形状 和 大小 完全一样的两个图形叫做全等形。即能够 完全重合 的两个图形叫做全等形。 【即学即练1】 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意； 故选：D． 知识点02 全等三角形及其相关概念 1. 全等三角形的概念： 形状 和 大小 完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的相关概念： 如图，若△ABC与△DEF全等。则其中： 能够重合的点叫做全等三角形的 对应点 。 能够重合的边叫做全等三角形的 对应边 。 能够重合的角叫做全等三角形的 对应角 。 用符号“≌”连接，读作 全等于 。表示 △ABC≌△DEF 。对应点必须写在对应的位置。 【即学即练1】 2．如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角． 【答案】对应边是BC和EF，AB和DE，AC和DF；对应角是∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点， ∴这两个三角形的对应边是：BC和EF，AB和DE，AC和DF； 对应角是：∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF． 知识点03 全等三角形的性质 1. 全等三角形的性质： 由全等三角形的性质及其相关概念可知： ①全等三角形的对应边 相等 。对应角也 相等 。 ②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别 对应相等 。 ③全等的两个三角形它们的周长和面积分别 对应相等 。 【即学即练1】 3．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 【答案】A 【解答】解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∴BE＝CD，B成立，不符合题意； ∠ADB＝∠AEC， ∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意； ∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意； AC不一定等于CD，A不成立，符合题意， 故选：A． 【即学即练2】 已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 【答案】A 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴α＝50°． 故选：A． 【即学即练3】 如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝5cm， ∵BF＝7cm，BC＝5cm， ∴CF＝7﹣5＝2（cm）， ∴EC＝EF﹣CF＝3cm， 故选：C． 【即学即练4】 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点．若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（　　） A．20 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【解答】解：∵△BDE≌△CDA， ∴DE＝DA，BE＝CA， ∴△BDE的周长BD+DE+BE＝BD+DA+CA＝BA+CA， ∵AB＝14，AC＝10， ∴BA+CA＝14+10＝24， 即△BDE的周长为24， 综上所述，只有选项C正确，符合题意，． 故选：C． 【即学即练5】 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DP＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．40 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10， ∴PE＝DE﹣DP＝10﹣4＝6， ∴S四边形PDFC＝S梯形ABEP（AB+PE）•BE（10+6）×6＝48． 故选：D． 【即学即练6】 如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【答案】B 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴， 整理得，α＝2β． 故选：B． 【即学即练7】 9．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高． （1）求证：∠ABE＝∠ACF； （2）当△ABD≌△GCA时，AD与AG的位置关系如何，请说明理由． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）AD⊥AG，理由见解答． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°， ∴∠ABE＝∠ACF； （2）解：AD⊥AG， 理由：∵△ABD≌△GCA， ∴∠ADB＝∠GAC， ∵∠ADB是△ADE的一个外角， ∴∠ADB＝∠DAE+∠AEB， ∵∠GAC＝∠GAD+∠DAE， ∴∠AEB＝∠GAD＝90°， ∴AD⊥AG． 题型01 判断全等形 【典例1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误； B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误； C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误； D、两个图形能够完全重合，故本选项正确． 故选：D． 【变式1】下列各组图形中是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．是全等图形，符合题意； B．钝角三角形和直角三角形，形状不同，不是全等图形，不符合题意； C．两个圆大小不同，不是全等图形，不符合题意； D．两个正方形大小不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】B 【解答】解：全等的两个图形是①和③， 故选：B． 题型02 全等三角形的性质的熟悉 【典例1】如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是（　　） A．∠BAD＝∠CDE B．BC＝DE C．AB＝AD D．AB＝BD 【答案】D 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴BC＝DE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CDE， 即选项A、选项B、选项C正确，选项D不一定正确， 故选：D． 【变式1】如图，已知△ABC≌△DCB，则以下结论“①AC＝DB；②BC＝BD；③∠A＝∠D；④∠ABD＝∠DCA．”中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△DCB， ∴AC＝BD，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，∠DBC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠DCA， 故①③④正确． 故选：C． 【变式2】如图所示，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE＝ED；②AE⊥DE；③BC＝AB+CD；④AB∥DC中成立的是（　　） A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．仅①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴AE＝ED，①成立； ∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴∠AEB＝∠D，又∠DEC+∠D＝90°， ∴∠DEC+∠ABE＝90°，即∠AED＝90°， ∴AE⊥DE，②成立； ∵Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴AB＝EC，BE＝CD，又BC＝BE+EC， ∴BC＝AB+CD，③成立； ∵∠B+∠C＝180°， ∴AB∥DC，④成立， 故选：D． 【变式3】如图，已知△ACE≌△DBF，下列结论中正确的个数是（　　） ①AC＝DB；②AB＝DC；③∠1＝∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE＝S△DFB；⑥BC＝AE． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：∵△ACE≌△DBF， ∴AC＝DB，①正确； ∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝DC，②正确； ∠ACE＝∠DBF， ∴∠1＝∠2，③正确； ∠A＝∠D， ∴AE∥DF，④正确； S△ACE＝S△DFB⑤正确； BC与AE不一定相等，⑥错误， 故选：C． 题型03 利用全等的性质求线段 【典例1】如图，点E，F在线段AC上，△ADE≌△CBF，AE＝5，CE＝3，那么EF的长度是（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【解答】解：∵△ADE≌△CBF， ∴CF＝AE＝5， ∴EF＝CF﹣CE＝5﹣3＝2， 故选：A． 【变式1】如图，点E在线段AC上，△ABC≌△CED，AB＝3cm，CD＝5cm，DE＝7cm，则线段AE的长度为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△CED， ∴AB＝CE＝3cm，AC＝CD＝5cm， ∴AE＝AC﹣CE＝5﹣3＝2（cm）． 故选：A． 【变式2】如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝3，则CD的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解答】解：△ABD≌△ACE， ∴AB＝AC＝6，AD＝AE＝3， ∴CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3， 即CD的长度为3， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【变式3】如图，△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，AC与DE相交于点M，DF＝5，AM＝2，则MC的长度是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF＝5， ∵AM＝2， ∴MC＝AC﹣AM＝5﹣2＝3， 故选：C． 题型04 利用全等的性质求角 【典例1】如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝36°，∠C'＝24°，则∠B＝（　　） A．60° B．100° C．120° D．135° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C'，∠C'＝24°， ∴∠C＝∠C'＝24°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣36°﹣24°＝120°， 故选：C． 【变式1】如图，△ABC≌△ADE，∠B＝55°，∠E＝15°，∠BAE＝90°，则∠BAD的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝55°， ∴∠D＝∠B＝55°， ∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣55°﹣15°＝110°， ∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE＝110°﹣90°＝20°， 故选：B． 【变式2】如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴BC＝CE，∠DCE＝∠ACB， ∴∠CEB＝∠B＝70°， ∴∠ECB＝180°﹣∠CEB﹣∠B＝40°， ∵∠ACD+∠ACE＝∠ECB+∠ACE， ∴∠ACD＝∠ECB＝40°． 故选：B． 【变式3】如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝4：3，则∠DBC的度数为（　　） A．12° B．18° C．24° D．36° 【答案】A 【解答】解：∵∠A：∠C＝4：3， ∴设∠A＝4x°，∠C＝3x°， ∴∠ABC＝180°﹣4x°﹣3x°＝180°﹣7x°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBC，AB＝BD， ∴∠CBE＝∠ABD， ∵AB＝DB， ∴∠ADB＝∠A＝4x°， ∴∠ABD＝180°﹣4x°﹣4x°＝180°﹣8x°， ∴∠CBE＝180°﹣8x°， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴180°﹣7x°+180°﹣8x°＝180°， ∴x＝12， ∴∠DBC＝∠ADB﹣∠C＝x°＝12°． 故选：A． 题型04 利用全等的性质解决周长或面积问题 【典例1】如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝105°，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，AD＝AB＝2， ∴∠BAD＝∠EAC＝90° ∴△ABD的面积AB•AD2×2＝2， ∵△ABC的面积＝△ADE的面积， ∴阴影的面积＝△ABD的面积＝2． 故选：A． 【变式1】如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到△DEF的位置．若∠C＝30°，AC＝BC＝9，DG＝3，则阴影部分的面积为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【解答】解：过G作GH⊥EF于H， ∵将一个三角形沿着一定方向平移到△DEF的位置， ∴△ABC≌△DEF， ∴DF＝AC＝9，EF＝BC＝9，∠F＝∠C＝30°， ∵DG＝3， ∴FG＝6， ∵GH⊥EF， ∴∠GHF＝90°， ∴GHFG＝3， ∴阴影部分的面积（3+9）×3＝18． 故选：B． 【变式2】如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A＝∠D＝90°，AB＝3，DG＝1，AG＝2，则梯形CFDG的面积是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，AB＝3， ∴DE＝AB＝3， ∵DG＝1， ∴EG＝3﹣1＝2， ∵△ABC≌△DEF， ∴S△ABC＝S△DEF， ∴都减去△GEC的面积得：梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积， 即S梯形CFDG（AB+EG）AG（3+2）×2＝5， 故选：A． 【典例2】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D、E是CD上一点，若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【解答】解：∵△BDE≌△CDA， ∴DE＝DA，BE＝CA， ∴△BDE的周长BD+DE+BE＝BD+DA+CA＝BA+CA， ∵AB＝14，AC＝10， ∴△BDE的周长为BA+CA＝14+10＝24． 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，AD是高，点E在线段AD上．若△ABD≌△CED，AB＝10，BC＝14，则△CED的周长为（　　） A．10 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【解答】解：∵△ABD≌△CED， ∴ED＝BD，EC＝AB， ∵△CED的周长＝ED+DC+EC，BC＝14，AB＝10， ∴△CED的周长＝BD+DC+AB＝BC+AB＝14+10＝24， 即△CED的周长为24， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【变式2】一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 　17　 ． 【答案】17． 【解答】解：∵三角形的三边长为x，5，7的三角形，与另一个三边长为3，y，5的三角形全等， ∴x＝3，y＝7， 当以x为腰时， ∴三角形的三边为3，3，7， ∵3+3＜7， ∴不能够组成三角形， 当以y为腰时， ∴三角形的三边为7，7，3， ∵3+7＞7， ∴能组成三角形， ∴三角形的周长＝3+7+7＝17， 故答案为：17． 题型04 利用全等证明线段的关系或角的关系 【典例1】如图，已知△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°．记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝90° C．2β﹣α＝45° D．α＝2β 【答案】D 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴∠OAB＝∠DAC，AB＝AC， ∴∠BAC＝∠OAD＝α． ∵BC∥OA， ∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣β． 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴α+90°﹣β+90°﹣β＝180°， 解得α＝2β， 所以α与β之间的数量关系为α＝2β． 故选：D． 【变式1】如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（　　） A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180° 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∵△BED≌△CFE， ∴∠B＝∠C＝90°α，∠BDE＝∠FEC， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°α）＝90°α， ∴∠FEC+∠BED＝90°α， ∵∠FED＝θ，∠FEC+∠BED+∠FED＝180°， ∴90°α+θ＝180°， ∴α+2θ＝180°， 故选：B． 【变式2】如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【答案】（1）AB∥DE，理由见解析． （2）7． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 【变式3】如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）2cm； （2）AC与DB垂直，理由见解析． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝5cm． ∴DE＝BD﹣BE＝2cm； （2）AC与DB垂直，理由如下： ∵△ABD≌△EBC， ∴∠EBC＝∠ABD． 又∵∠ABD+∠EBC＝180°， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴DB⊥AC． 【变式4】如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． （1）你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？ （2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）BD＝DE+CE‘ 理由：∵△BAD≌△ACE， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE， 即BD＝DE+CE． （2）△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE， 理由是：∵△BAD≌△ACE， ∴∠E＝∠ADB＝90°（添加的条件是∠ADB＝90°）， ∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°＝∠E， ∴BD∥CE． 1．在下列各组图形中，是全等的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是全等的图形，故本选项符合题意； B、不是全等的图形，故本选项不符合题意； C、不是全等的图形，故本选项不符合题意； D、不是全等的图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（　　） A．BE＝EC B．BC＝EF C．AC＝DF D．△ABC≌△DEF 【答案】A 【解答】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF ∴Rt△ABC≌Rt△DEF ∴BC＝EF，AC＝DF 所以只有选项A是错误的， 故选：A． 3．如图，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，CD＝6，AD＝3．若四边形OPCE≌四边形ABCD，则PD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵四边形OPCE≌四边形ABCD，BC＝10， ∴BC＝PC＝10． ∵CD＝6， ∴PD＝PC﹣CD＝10﹣6＝4． 故选：B． 4．如图，已知△AOB≌△COD，AB与CD交于点P，若∠AOD＝82°，∠COB＝142°，则∠BPC的度数为（　　） A．140° B．138° C．148° D．150° 【答案】D 【解答】解：∵△AOB≌△COD， ∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C， ∴∠BOD＝∠AOC， ∵∠AOD＝82°，∠COB＝142°， ∴∠AOC（142°﹣82°）＝30°， ∵∠OMC＝∠PMA，∠C＝∠A， ∴∠APM＝∠AOC＝30°， ∴∠BPC＝180°﹣∠APM＝150°． 故选：D． 5．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠1和∠2的关系为（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠1+90°＝∠2 D．∠1+∠2＝180° 【答案】D 【解答】解： 由题意得：AB＝ED，BC＝DF，∠EDF＝∠ABC＝90°， ∴△ABC≌△EDF（SAS）， ∴∠DEF＝∠1， ∴∠1+∠2＝180°． 故选：D． 6．如图，点B、E、C、F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC＝8，BF＝11.5，则EC的长为（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 【答案】B 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，BC＝8， ∴EF＝BC＝8， ∵BF＝11.5， ∴EC＝BC+EF﹣BF ＝8+8﹣11.5 ＝4.5， 故选：B． 7．如图，△EFG≌NMH，△EFG的周长为15cm，HM＝6cm，EF＝4cm，EH＝1cm，则HG等于（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】A 【解答】解：∵△EFG≌△NMH， ∴MN＝EF＝4cm，FG＝MH，△HMN的周长＝△EFG的周长＝15cm， ∴FG﹣HG＝MH﹣HG， 即FH＝GM＝1cm， ∵△EFG的周长为15cm， ∴HM＝15﹣6﹣4＝5cm， ∴HG＝5﹣1＝4cm， 故选：A． 8．如图，△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，且BC＝4，则△DBC的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解答】解：∵△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10， ∴△DOC的周长为10，OB＝OC， ∴△DBC的周长＝DO+OB+DC+BC ＝DO+OC+DC+BC ＝△DOC的周长+BC ＝10+4 ＝14． 故选：C． 9．如图，△ABC≌△DEC，∠B＝∠DEF＝90°，点B，E，C，F在一条直线上．已知AB＝10，DO＝4，BF＝20，BE＝6，则△OEC的面积为（　　） A．24 B．26 C．32 D．48 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，AB＝10，BE＝6， ∴AB＝DE＝10，BC＝EF， ∴BC﹣EC＝EF﹣EC， ∴BE＝CF＝6， ∵DO＝4，BF＝20， ∴OE＝DE﹣DO＝6，EC＝BF﹣BE﹣CF＝8， ∵∠DEF＝90°， ∴△OEC的面积为OE•EC6×8＝24． 故选：A． 10．如图，已知△AOB≌△COD，下列说法： ①∠ABO＝∠CBO； ②OB是△ABC的中线； ③AB∥CD； ④△COD与△BOC面积相等． 其中正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵△AOB≌△COD， ∴∠ABO＝∠D，原说法错误，不符合题意； ②∵△AOB≌△COD， ∴AO＝CO． ∴OB是△ABC的中线．正确，符合题意； ③∵△AOB≌△COD， ∴∠A＝∠OCD． ∴AB∥CD．正确，符合题意； ④∵△AOB≌△COD， ∴OD＝OB，且△COD的边OD上的高与△BOC的边OB上的高相等． ∴△COD与△BOC面积相等，正确，符合题意， 综上所述，说法正确的有②③④，共3个． 故选：C． 11．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3＝　135°　 ． 【答案】135°． 【解答】解：如图， 根据题意得DE＝BC，EC＝AB，GF＝GC，∠DEC＝∠ABC＝∠FGC＝90°， ∴△CGF为等腰直角三角形， ∴∠2＝45°， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（SAS）， ∴∠1＝∠DCE， ∵∠DCE+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°． 故答案为135°． 12．如图，△ABC≌△DBC，E是AB延长线上一点，BF平分∠DBE，若∠ACB＝120°，∠A＝α，则∠EBF＝　30°+α　 ．（用含α的式子表示） 【答案】30°+α． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝α， 则∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣120°﹣α＝60°﹣α， ∵△ABC≌△DBC， ∴∠DBC＝∠ABC＝60°﹣α， ∴∠EBD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（60°﹣α+60°﹣α）＝60°+2α， ∵BF平分∠DBE， ∴∠EBF∠EBD＝30°+α， 故答案为：30°+α． 13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，则△ADE的周长为 　7　 cm． 【答案】7． 【解答】解：∵△CBD≌△EBD， ∴CD＝DE，BE＝BC＝6cm， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2（cm）， ∴△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+CD+AD＝AE+AC＝2+5＝7（cm）． 故答案为：7． 14．如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是 　（﹣2，0）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△AOB≌△COD， ∴OD＝OB， ∴点D的坐标是（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． 15．如图，△ABC≌△DEC，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线过点E，与AD交于点M．若BM＝BA，则∠EDC的度数为　22.5　 °． 【答案】22.5． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，BM是∠ABC的平分线， ∴∠ABM＝∠CBM＝45°， 又∵BM＝BA， ∴∠BAM＝∠BMA， ∴， ∵△ABC≌△DEC， ∴∠BAC＝∠EDC，∠ACB＝∠DCE，AC＝DC，BC＝EC， ∴∠CEB＝∠CBE＝45°， ∴∠BCE＝180°﹣∠CEB﹣∠CBE＝90°， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝∠CDA＝45°， ∴∠BAC＝∠BAM﹣∠CAD＝22.5°， ∴∠EDC＝22.5°． 故答案为：22.5． 16．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 【答案】（1）∠F＝35°，DH＝6． （2）AB∥DE，理由见解析． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠ACB，DE＝AB＝8， ∴DH＝DE﹣EH＝8﹣2＝6， ∵∠A＝85°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°， ∴∠F＝∠ACB＝35°； （2）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE． 17．如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【答案】（1）BF⊥CE，理由见解析； （2）30°． 【解答】解：（1）BF⊥CE，理由： ∵△ABC≌△DEC，∠B＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°， ∴∠BGC＝180°﹣∠B﹣∠BCG＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BF⊥CE； （2）由（1）知∠E＝30°， ∵AC∥DE， ∴∠ACG＝∠E＝30°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACG＝60°﹣30°＝30°． 18．如图，B，C，D三点在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝5，BC＝12，CE＝13． （1）求△ABC的周长． （2）求△ACE的面积． 【答案】（1）30； （2）． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△CDE， ∴AC＝CE＝13， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+12+13＝30，即△ABC的周长为30； （2）∵△ABC≌△CDE， ∴AC＝CE＝13，∠ACB＝∠CED， ∵∠D＝90°， ∴∠CED+∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∴△ACE的面积13×13，即△ACE的面积为． 19．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s． （1）如图①，当t＝　或　 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1， 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CPBCcm， 此时，点P移动的距离为AC+CP＝12， 移动的时间为：3秒， ②当点P在BA上时，如图①﹣2 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PDAB，即点P为BA中点， 此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9cm， 移动的时间为：3秒， 故答案为：或； （2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F； ①当点P在AC上，如图②﹣1所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， ∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）cm/s， ②当点P在AB上，如图②﹣2所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， 即点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm， ∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）cm/s， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF， 点Q的运动速度为cm/s或cm/s． 20．已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 【答案】（1）AC⊥CE，理由见解答过程； （2）AC⊥BE，理由见解答过程； （3）9． 【解答】解：（1）AC⊥CE，理由如下： ∵AB⊥BD， ∴∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵△ABC≌△CDE， ∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°， ∴AC⊥CE； （2）AC⊥BE，理由如下： ∵△ABC≌△BDE， ∴∠A＝∠EBD，∠ACB＝∠E， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∴∠EBD+∠ACB＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴AC⊥BE； （3）∵S△ABC＝12，AF：CF＝3：1， ∴S△BFCS△ABC＝3， ∵△ABC≌△BDE， ∴S△BDE＝S△ABC＝12， ∴四边形CDEF的面积＝12﹣3＝9． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$