专题14.3 两角及一边证全等（ASA、AAS）（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题14.3 两角及其一边证全等（ASA、AAS） 教学目标 掌握ASA、AAS的定义以及判定方法，能够熟练掌握由已知条件选择合适的方法判定三角形的全等。 教学重难点 1. 重点 （1） 用“ASA”判定全等； （2） 用“AAS”判定全等； 2. 难点 （1）添加条件形成“ASA、AAS”的全等判定方法； （2）判断判定全等的依据； （3）用“ASA、AAS”证明全等。 知识点01 角边角（ASA）判定三角形全等 1. 角边角（ASA）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【即学即练1】 1．如图，AE∥DF，AE＝DF，若利用“ASA”来判定△AEC≌△DFB，则需添加的条件是（　　） A．∠E＝∠F B．AC＝BD C．∠E＝∠DBF D．EC＝BF 【即学即练2】 2．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 【即学即练3】 3．如图，点C在线段BD上，CE∥AB，BC＝CE，∠ACB＝∠E．求证：△ABC≌△DCE． 知识点02 角角边（AAS）判定三角形全等 1. 角角边（AAS）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角 及其 其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【即学即练1】 4．如图，∠C＝∠D，再添加条件 　 　 可以用AAS定理判定△ABD≌△BAC． 【即学即练2】 5．如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，∠A＝∠D，不添加辅助线，能直接判定△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．HL 【即学即练2】 6．已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且∠B＝∠D．求证：△ABC≌△CDE． 题型01 添加条件形成ASA的全等判定方法 【典例1】如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，若用“ASA”判定△ABC≌△DEF，则添加的一个条件是 　 　 ． 【变式1】如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE．添加下列条件之一，可以直接利用“ASA”判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠C＝∠E D．∠ABC＝∠D 【变式2】如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C．若利用“ASA”得到△ABF≌△DCE，需要添加的条件是（　　） A．∠AFB＝∠DEC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．AF＝DE 题型02 添加条件形成AAS的全等判定方法 【典例1】如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需添加条件（　　） A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB 【变式1】如图，已知∠1＝∠2，要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为 　 　 ． 【变式2】如图，∠C＝∠D＝90°，若利用AAS证明△ABC≌△BAD，需添加的条件是 　 　 ．（写出一种即可） 题型03 判定全等的依据—ASA 【典例1】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．HL 【变式1】如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【变式2】如图，小敏不小心把书上的三角形撕掉了一角，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小敏画图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 题型04 判定全等的依据—AAS 【典例1】如图，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 【变式1】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠B，则△ACD≌△ABD的依据是（　　） A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS 【变式2】如图，BE，CD是△ABC的高，且∠ABC＝∠ACB，判定△BCD≌△CBE的依据是 　 　 .（填写字母即可） 题型05 用ASA判定证明全等 【典例1】如图，已知A、B、D、E在同一直线上，AD＝BE，BC∥EF，∠A＝∠EDF，求证：△ABC≌△DEF． 【变式1】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE． 【变式2】如图，点D是△ABC的边BC上一点，且∠ADB＝∠BAC，在AB边上截取AE＝BD．过点E作EF∥BC交AC于点F． （1）△AEF和△DBA全等吗？为什么？ （2）连接DF，若∠ADB＝100°，∠ADF＝57°，求∠EFD的度数． 【变式3】如图，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F． （1）求证：△ACD≌△FBD； （2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面积． 题型06 用AAS判定证明全等 【典例1】如图，点A，D，C，F在同一直线上，∠B＝∠E，AB∥DE，AD＝CF．求证：△ABC≌△DEF． 【变式1】如图，点E，F在AC上，AB∥CD，∠B＝∠D，且AF＝CE． （1）△ABE与△CDF全等吗？请说明理由； （2）BE与DF平行吗？为什么？ 【变式2】如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E是BC的中点，BF∥AC交DE的延长线于点F． （1）试说明：△CDE≌△BFE； （2）若CA＝CB，CE＝6，BF＝4，求AD的长． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED． （1）求证：△ABD≌△EDC． （2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数． 1．如图，能用ASA来判断△ACD≌△ABE，需要添加的条件是（　　） A．∠AEB＝∠ADC，AC＝AB B．∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C．AC＝AB，AD＝AE D．AC＝AB，∠C＝∠B 2．如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD∥BC，若想利用“AAS”说明△ADF≌△CBE，需要添加的条件是（　　） A．∠D＝∠B B．∠A＝∠C C．BE＝DF D．AD＝CB 3．如图，在△DEC和△BFA中，点A，E，F，C在同一直线上，已知AB∥CD，且AB＝CD，若利用“ASA”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（　　） A．EC＝FA B．∠A＝∠C C．∠D＝∠B D．BF＝DE 4．如图，AB∥CD，且AB＝CD，则△ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 5．如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是（　　） A．∠EAC＝∠FAB B．∠EAF＝∠EDF C．△ACN≌△ABM D．AM＝AN 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AD上一点，连接CE，AB＝CE，∠B＝∠CED，若BD＝4，AE＝2，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝9，CD＝4，则AD的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 9．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 10．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 11．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB．若运用ASA判定△ADF≌△CBE，则需添加条件 　 　 ；若运用AAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件 　 　 ；若运用SAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件 　 　 ． 12．如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，若AB＝8，AD＝3，则DC＝　 　 ． 13．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 　 　 ． 14．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，延长BC至点E，使，连接DE并延长交AC边于点F，若DE＝EF，则AC＝　 　 ． 16．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP． 17．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，试说明：△ABC≌△ADE的理由． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 19．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB． （1）求证：△AED≌△CEF； （2）连接BE，若BE平分∠ABC，CA平分∠BCF，且∠ABE＝25°，求∠A的度数． 20．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G． （1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°． 求证：①△BDF≌△ADC； ②FG+DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.3 两角及其一边证全等（ASA、AAS） 教学目标 掌握ASA、AAS的定义以及判定方法，能够熟练掌握由已知条件选择合适的方法判定三角形的全等。 教学重难点 1. 重点 （1） 用“ASA”判定全等； （2） 用“AAS”判定全等； 2. 难点 （1）添加条件形成“ASA、AAS”的全等判定方法； （2）判断判定全等的依据； （3）用“ASA、AAS”证明全等。 知识点01 角边角（ASA）判定三角形全等 1. 角边角（ASA）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角及其夹边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【即学即练1】 1．如图，AE∥DF，AE＝DF，若利用“ASA”来判定△AEC≌△DFB，则需添加的条件是（　　） A．∠E＝∠F B．AC＝BD C．∠E＝∠DBF D．EC＝BF 【答案】A 【解答】解：添加条件：∠E＝∠F，理由如下： 由平行线性质可知∠A＝∠D， 又AE＝DF，∠E＝∠F， ∴△AEC≌△DFB（ASA）， 故选：A． 【即学即练2】 2．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 【答案】D 【解答】解：∵AC∥DF， ∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 所以△ABC≌△DEF的依据是ASA， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【即学即练3】 3．如图，点C在线段BD上，CE∥AB，BC＝CE，∠ACB＝∠E．求证：△ABC≌△DCE． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵CE∥AB， ∴∠ABC＝∠ECD， 在△ABC和△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（ASA）． 知识点02 角角边（AAS）判定三角形全等 1. 角角边（AAS）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角 及其 其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【即学即练1】 4．如图，∠C＝∠D，再添加条件 　∠ABD＝∠BAC　 可以用AAS定理判定△ABD≌△BAC． 【答案】∠ABD＝∠BAC（或∠ABC＝∠BAD）． 【解答】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB，∠ABD＝∠BAC， ∴△ABD≌△BAC； 同理，∠C＝∠D，AB＝AB，∠ABC＝∠BAD， ∴△ABD≌△BAC． 故答案为：∠ABD＝∠BAC（或∠ABC＝∠BAD）． 【即学即练2】 5．如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，∠A＝∠D，不添加辅助线，能直接判定△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．HL 【答案】C 【解答】解：根据题意，在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， 综上所述只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【即学即练2】 6．已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且∠B＝∠D．求证：△ABC≌△CDE． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵C是AE的中点， ∴AC＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（AAS）． 题型01 添加条件形成ASA的全等判定方法 【典例1】如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，若用“ASA”判定△ABC≌△DEF，则添加的一个条件是 　∠B＝∠E　 ． 【答案】∠B＝∠E． 【解答】解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴判定△ABC≌△DEF，则添加的一个条件是∠B＝∠E． 故答案为：∠B＝∠E． 【变式1】如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE．添加下列条件之一，可以直接利用“ASA”判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠C＝∠E D．∠ABC＝∠D 【答案】C 【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD，AC＝AE， ∴当添加∠C＝∠E时，△ABC≌△ADE（ASA）． 故选：C． 【变式2】如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C．若利用“ASA”得到△ABF≌△DCE，需要添加的条件是（　　） A．∠AFB＝∠DEC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．AF＝DE 【答案】A 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BF＝CE， ∵∠B＝∠C， A．添加∠AFB＝∠DEC，可利用角边角证明△ABF≌△DCE， 故本选项符合题意； B．添加AB＝DC，可利用边角边证明△ABF≌△DCE， 故本选项不符合题意； C．添加∠A＝∠D，可利用角角边证明△ABF≌△DCE， 故本选项不符合题意； D．添加AF＝DE，无法证明△ABF≌△DCE， 故本选项不符合题意； 故选：A． 题型02 添加条件形成AAS的全等判定方法 【典例1】如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需添加条件（　　） A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA， ∴补充AD＝BC，OA＝OB不能证明△ACB≌△BDA， 补充BD＝AC，由SAS证明△ACB≌△BDA， 补充∠D＝∠C，由AAS可证明△ACB≌△BDA， 故选：C． 【变式1】如图，已知∠1＝∠2，要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为 　∠A＝∠C　 ． 【答案】∠A＝∠C． 【解答】解：由题意得，BD＝DB，∠1＝∠2， 要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为∠A＝∠C， 故答案为：∠A＝∠C． 【变式2】如图，∠C＝∠D＝90°，若利用AAS证明△ABC≌△BAD，需添加的条件是 　∠ABC＝∠BAD（答案不唯一）　 ．（写出一种即可） 【答案】∠ABC＝∠BAD（答案不唯一）． 【解答】解：在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（AAS）， ∴利用AAS证明△ABC≌△BAD，需添加的条件是∠ABC＝∠BAD（答案不唯一）． 故答案为：∠ABC＝∠BAD（答案不唯一）． 题型03 判定全等的依据—ASA 【典例1】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．HL 【答案】B 【解答】解：∵在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， 故选：B． 【变式1】如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【答案】B 【解答】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是ASA． 故选：B． 【变式2】如图，小敏不小心把书上的三角形撕掉了一角，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小敏画图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】C 【解答】解： 由图形可知该三角形的两角及其夹边是确定的， ∴可利用ASA画一个和该三角形全等的三角形， 故选：C． 题型04 判定全等的依据—AAS 【典例1】如图，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 【答案】B 【解答】解：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（AAS）， 故选：B． 【变式1】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠B，则△ACD≌△ABD的依据是（　　） A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS 【答案】A 【解答】解：在△ACD和△ABD中， ， ∴△ACD≌△ABD（AAS）， 故选：A． 【变式2】如图，BE，CD是△ABC的高，且∠ABC＝∠ACB，判定△BCD≌△CBE的依据是 　AAS　 .（填写字母即可） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵BE，CD是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 在△BCD与△CBE中， ， ∴△BCD≌△CBE（AAS）， 故答案为：AAS． 题型05 用ASA判定证明全等 【典例1】如图，已知A、B、D、E在同一直线上，AD＝BE，BC∥EF，∠A＝∠EDF，求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AD＝BE， ∴AD﹣BD＝BE﹣BD， ∴AB＝DE， ∵BC∥EF， ∴∠ABC＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【变式1】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）． 【变式2】如图，点D是△ABC的边BC上一点，且∠ADB＝∠BAC，在AB边上截取AE＝BD．过点E作EF∥BC交AC于点F． （1）△AEF和△DBA全等吗？为什么？ （2）连接DF，若∠ADB＝100°，∠ADF＝57°，求∠EFD的度数． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）23°． 【解答】解：（1）△AEF和△DBA全等吗，理由如下： ∵EF∥BC， ∠AEF＝∠B， 在△AEF和△DBA中， ， ∴△AEF≌△DBA（ASA）； （2）∵∠ADB＝100°，∠ADF＝57°， ∴∠BDF＝∠ADB+∠ADF＝157°， ∴∠CDF＝180°﹣∠BDF＝23°， ∵EF∥BC， ∴∠EFD＝∠CDF＝23°． 【变式3】如图，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F． （1）求证：△ACD≌△FBD； （2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面积． 【答案】（1）见详解； （2）． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDF＝∠CDA＝90°＝∠BEA， ∴∠DBF+∠A＝∠A+∠DCA＝90°， ∴∠DBF＝∠DCA， 在△ACD和△FBD中， ， ∴△ACD≌△FBD（ASA）； （2）解：∵△ACD≌△FBD，DF＝2， ∴DA＝DF＝2， ∴AB＝BD+DA＝7， ∵CD＝BD＝5， ∴． 题型06 用AAS判定证明全等 【典例1】如图，点A，D，C，F在同一直线上，∠B＝∠E，AB∥DE，AD＝CF．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠EDF， ∵AD＝CF， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 【变式1】如图，点E，F在AC上，AB∥CD，∠B＝∠D，且AF＝CE． （1）△ABE与△CDF全等吗？请说明理由； （2）BE与DF平行吗？为什么？ 【答案】（1）全等，见解析； （2）平行，见解析． 【解答】解：（1）△ABE与△CDF全等；理由如下： ∵AF＝CE， ∴AF+EF＝CE+EF， ∴AE＝CF， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）BE∥DF；理由如下： ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠BEF， ∴BE∥DF． 【变式2】如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E是BC的中点，BF∥AC交DE的延长线于点F． （1）试说明：△CDE≌△BFE； （2）若CA＝CB，CE＝6，BF＝4，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）8． 【解答】（1）证明：∵BF∥AC， ∴∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠F， ∵E是边BC的中点， ∴CE＝EB， 在△CDE与△BFE中， ， ∴△CDE≌△BFE（AAS）； （2）解：∵△CDE≌△BFE， ∴BF＝CD＝4， ∵E是边BC的中点， ∴CB＝2CE＝12， ∴CA＝CB＝12， ∴AD＝CA﹣CD＝12﹣4＝8． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED． （1）求证：△ABD≌△EDC． （2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）70°． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠EDC， 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△EDC， ∴DB＝CD，∠DEC＝∠A＝120°， ∵∠BDC＝2∠1，∠2＝∠1， ∴∠BDC＝2∠2， ∵∠BDC+∠2＝2∠2+∠2＝60°， ∴∠2＝20°， ∴∠BDC＝40°， ∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB（180°﹣∠BDC）（180°﹣40°）＝70°． 1．如图，能用ASA来判断△ACD≌△ABE，需要添加的条件是（　　） A．∠AEB＝∠ADC，AC＝AB B．∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C．AC＝AB，AD＝AE D．AC＝AB，∠C＝∠B 【答案】D 【解答】解：由图可知， ∠DAC＝∠EAB， 当添加条件∠AEB＝∠ADC，AC＝AB时，△ACD≌△ABE（AAS），故选项A不符合题意； 当添加条件∠AEB＝∠ADC，CD＝BE时，△ACD≌△ABE（AAS），故选项B不符合题意； 当添加条件AC＝AB，AD＝AE时，△ACD≌△ABE（SAS），故选项C不符合题意； 当添加条件AC＝AB，∠C＝∠B时，△ACD≌△ABE（ASA），故选项D不符合题意； 故选：D． 2．如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD∥BC，若想利用“AAS”说明△ADF≌△CBE，需要添加的条件是（　　） A．∠D＝∠B B．∠A＝∠C C．BE＝DF D．AD＝CB 【答案】A 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， ∵AF＝CE， ∴A、添加∠D＝∠B，可利用AAS说明△ADF≌△CBE，故本选项符合题意； B、添加∠A＝∠C，不能说明△ADF≌△CBE，故本选项不符合题意； C、添加BE＝DF，不能说明△ADF≌△CBE，故本选项不符合题意； D、添加AD＝CB，可利用SAS说明△ADF≌△CBE，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．如图，在△DEC和△BFA中，点A，E，F，C在同一直线上，已知AB∥CD，且AB＝CD，若利用“ASA”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（　　） A．EC＝FA B．∠A＝∠C C．∠D＝∠B D．BF＝DE 【答案】C 【解答】解：需添加的条件是∠D＝∠B， 理由是：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， 在△DEC和△BFA中， ， ∴△DEC≌△BFA（ASA）， 故选：C． 4．如图，AB∥CD，且AB＝CD，则△ABE≌△CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， 又∵∠AEB＝∠CED（对顶角相等），AB＝CD， ∴可用ASA或AAS进行△ABE≌△CDE的判定． 故选：D． 5．如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是（　　） A．∠EAC＝∠FAB B．∠EAF＝∠EDF C．△ACN≌△ABM D．AM＝AN 【答案】B 【解答】解：∵△ABE≌△AFC， ∴∠EAB＝∠CAF，AC＝AB，∠C＝∠B， ∴∠EAC＝∠FAB，故A正确； 在△ACN与△ABM中， ∴△ACN≌△ABM（ASA），故C正确； ∴AM＝AN，故D正确； 故选：B． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AD上一点，连接CE，AB＝CE，∠B＝∠CED，若BD＝4，AE＝2，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDE＝90°， ∵∠B＝∠CED，AB＝CE， ∴△ABD≌△CED（AAS）， ∴BD＝DE，AD＝CD， ∵BD＝4，AE＝2， ∴DE＝4， ∴CD＝AD＝DE+AE＝6， 故选：B． 7．如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【解答】解：∵BD是△ABC的中线， ∴CD＝AD， ∵AE∥CF，△ADE的面积为3， ∴∠DFC＝∠E， 在△CDF和△ADE中， ， ∴△CDF≌△ADE（AAS）， ∴S△CDF＝S△ADE＝3， ∵CF是△BCD的中线， ∴BF＝DF， ∴S△CBF＝S△CDF＝3， ∴S△ABD＝S△CBD＝2S△CDF＝6， ∴S△ABC＝2S△ABD＝12， 故选：C． 8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝9，CD＝4，则AD的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠F＝∠CDE，∠FBE＝∠C， ∵E为BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（AAS）， ∴BF＝CD，EF＝ED， ∵B＝9，CD＝4， ∴CD＝4， ∴AF＝AB+BF＝13， ∵AE⊥DE，EF＝ED， ∴AE是线段DF的垂直平分线， ∴AD＝AF＝13． 故选：C． 9．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【解答】解：AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠DBF＝∠CAD， 在△ACD和△BFD中， ， ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴DF＝DC， ∵AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12， ∴， ∴CD＝4， ∴DF＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝2， 故选：B． 10．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA， 在△ABE和△CAF中，， ∴△ABE≌△CAF（ASA）， ∴△ACF的面积＝△ABE的面积， ∴△ACF与△BDE的面积之和＝△ABE与△BDE的面积之和， ∵△ABC的面积为18，CD＝2BD， ∴△ABD的面积18＝6， ∴△ACF与△BDE的面积之和＝△ABD的面积＝6； 故选：A． 11．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB．若运用ASA判定△ADF≌△CBE，则需添加条件 　∠A＝∠C或AD∥BC　 ；若运用AAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件 　∠D＝∠B　 ；若运用SAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件 　DF＝BE　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：若运用ASA判定△ADF≌△CBE，则需添加条件∠A＝∠C或AD∥BC．理由如下： ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE． ∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C． 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）； 若运用AAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件∠D＝∠B．理由如下： ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE． 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）； 若运用SAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件DF＝BE．理由如下： ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE． 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故答案为：∠A＝∠C或AD∥BC；∠D＝∠B；DF＝BE． 12．如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，若AB＝8，AD＝3，则DC＝　5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在△ABD和△ACE中 ， ∴△ABD≌△ACE， ∴AB＝AC＝8， ∴CD＝AC﹣AD＝8﹣3＝5． 故答案为5． 13．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 　50　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AE⊥AB，AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH， ∴∠FED＝∠EFA＝∠BGA＝90°， ∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠EAF＝∠ABG， ∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG， ∴△EFA≌△ABG（AAS）， ∴AF＝BG，AG＝EF． 同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG． 故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16 故S（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50． 故答案为50． 14．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为 　1或　 ． 【答案】1或． 【解答】解：由题意知，AP＝t，BP＝8﹣t，BQ＝xt， △ACP与△BPQ全等，∠A＝∠B， ∴分两种情况求解： ①当△ACP≌△BPQ时，AP＝BQ，即t＝xt，解得x＝1； ②当△APC≌△BPQ时，AP＝BP，即t＝8﹣t，解得t＝4，AC＝BQ，即6＝xt，解得； 综上所述，x的值是1或， 故答案为：1或． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，延长BC至点E，使，连接DE并延长交AC边于点F，若DE＝EF，则AC＝　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：如图，过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G， ∵BD⊥AB， ∴∠ABC＝90°﹣∠DBC＝∠BDG， ∵AB＝BD，∠ACB＝90°＝∠G， ∴△ABC≌△BDG（AAS）， ∴DG＝BC＝6，BG＝AC， 在△CFE和△GDE中， ， ∴△CFE≌△GDE（AAS）， ∴， ∴CG＝CE+EG＝3+3＝6， ∴AC＝BG＝BC+CG＝6+6＝12， 故答案为：12． 16．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN， ∴∠M+∠MSN＝∠MSN+∠PSQ， ∴∠M＝∠PSQ； 在△MNS与△SQP中， ， ∴△MNS≌△SQP（AAS）． 17．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，试说明：△ABC≌△ADE的理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明： ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， ∵∠B+∠1＝∠ADE+∠3，且∠1＝∠3， ∴∠B＝∠ADE， 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE（AAS）． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 19．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB． （1）求证：△AED≌△CEF； （2）连接BE，若BE平分∠ABC，CA平分∠BCF，且∠ABE＝25°，求∠A的度数． 【答案】（1）见解析； （2）65°． 【解答】（1）证明：∵E为AC中点， ∴AE＝CE， ∵CF∥AB． ∴∠A＝∠ACF， 在△AED 和△CEF中， ∴△AED≌△CEF（ASA）； （2）解：∵BE 平分∠ABC，∠ABE＝25°， ∴∠ABC＝2∠ABE＝50°， ∵CF∥AB． ∴∠ABC+∠BCF＝180°，∠A＝∠ACF， ∴∠BCF＝180°﹣∠ABC＝130°， ∵CA平分∠BCF， ∴， ∴∠A＝65°． 20．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G． （1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°． 求证：①△BDF≌△ADC； ②FG+DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD； ∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90° 又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC； ∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA） ②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC； ∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°， ∴∠AGF＝∠BAD， ∴FA＝FG； ∴FG+DC＝FA+DF＝AD． （2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD． 理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形， ∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF； ∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°， ∴∠DFB＝∠DCA； 又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD， ∴△BDF≌△ADC（AAS）； ∴DF＝DC， ∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $